Deribatibong logaritmiko

Ang Deribatibo ng logaritmiko (Ingles:logarithmic derivative) ay ginagamit sa paghanap ng deribatibo ng isang punsiyon na logaritmiko.

Deribasyon ng deribatibo ng logaritmiko

Ang deribatibo ng punsiyong logaritmiko ay mahahango gamit ang "diperensiyang kosiyente"

Ang pormula ng diperensiyang kosiyente ay:

$f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$,

Ang deribatibo ng punsiyong nasa anyong $y = \ln\left(x\right)$ ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:

Ilagay ang magkabilang panig sa kapangyarihan ng e upang alisin ang logaritmo sa kanang panig.

$e^y = x$

Ngayon, ilapat ang patakarang kadena at katangian ng deribatibo ng eksponensiyal. Tapos kunin ang deribatibo ng parehong panig.

$\frac{dy}{dx} \cdot e^y = 1$

Ang resulta ay:

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}$

Kung ihahalili ang orihinal na ekwasyon ng x = e^y, ang resulta ay:

Deribatibo ng Natural na Logaritmo $\frac{d}{dx}\ln\left(x\right) = \frac{1}{x}\,\!$

Kung nanaisin, maaari nating isagawa ang proseso sa itaas upang mahango ang deribatibo ng pangkalahatang base, ngunit mas madali kung gagamitin ang katangian ng logs:

$\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)}$

Dahil ang 1 / ln(b) ay isang konstante, maaaring ilipat sa labas ng deribatibo:

$\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(x)$

Ang resulta ay:

Deribatibo ng Logaritmo $\frac{d}{dx}\log_b\left(x\right) = \frac{1}{x\ln\left(b\right)}\,\!$