Hangganan

Mula sa Wikipediang Tagalog, ang malayang ensiklopedya
Tumalon sa: nabigasyon, hanapin

Ang hangganan(limit) ng isang punsiyon ay isang pangunahing konsepto sa kalkulo at matematikal na analisis tungkol sa pag-aasal ng isang punsiyon kung ito ay malapit sa ibinigay na input.

Depinisyon[baguhin]

Simpleng depinisyon[baguhin]

Ang isang punsiyong f ay nagtatalaga ng isang output f(x) sa bawat input x. Ang punsiyon ay may hangganan(limit) na L sa isang input na c kung ang output ng f(x) ay "malapit" sa L habang ang input na x ay "malapit" sa c. Samakatuwid, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa L habang ang x ay papalapit ng papalapit sa c. Ang f(x) ay maaaring gawing malapit sa halaga ng L kung ang input na x ay gagawing malapit sa halaga ng c ngunit hindi eksakstong c. Ang karaniwang notasyon ng hangganan ay:

\quad\lim_{x\to c} f(x) = L

Ito ay binabasa bilang "ang hangganan(limit) ng f ng x habang ang x ay papalapit sa c". Halimbawa, ang punsiyon na titignan natin ay f(x)=x^2 at interasado tayong malaman ang hangganan(limit) ng punsiyong ito habang ang x ay papalapit sa 2. Ang isang paraan para malaman ang hangganan(limit) ay ang pagpili ng mga halagang malapit sa 2 at kwentahin ang bawat napiling mga halaga sa punsiyong f(x)=x^2. Makita sa sumusunod na tabla ang mga output ng punsiyon sa bawat ibinigay na input:

x 1.7 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999
f(x)=x^2 2.89 3.24 3.61 3.8025 3.9601 3.996001

Sa susunod na tabla, atin namang kukwentahin ang mga input na mas malaki sa 2:

x 2.3 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001
f(x)=x^2 5.29 4.84 4.41 4.2025 4.0401 4.004001

Ating makikita mula sa mga tabla sa itaas na kung ang x ay papalapit ng papalapit sa 2, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa 4 kahit hindi natin isasaalang alang kung ang x ay papalaki o papaliit sa halaga ng 2. Sa dahilang ito, magiging sigurado tayo na ang hangganan ng x^2 habang ang x ay papalapit sa 2 ay 4 o ayon sa notasyon ng hangganan, "ang f(x)=x^2 ay may hanganan(limit) na 4 habang ang input ay papalapit sa 2".

\quad\lim_{x\to 2} x^2=4

Pormal na depinisyon[baguhin]

Pormal na depinisyon ng hangganan

Itakda ang f(x) bilang isang punsiyon na inilalarawan sa bukas na interbal na D na naglalaman ng c, maliban sa x=c. Itakda ang L bilang isang bilang. Ating masasabi na:

 \lim_{x \to c} f(x) = L

kung sa bawat \varepsilon>0, may umiiral na \delta>0 na sa bawat x\in D ay:

0 < \left| x - c \right| < \delta, ang x ay hindi katumbas ng c

meron tayong:

\left| f(x) - L \right| < \varepsilon.

Ang letrang ε(epsilon) ay maaaring maunawaan na "kamalian"(error) ng halaga ng punsiyon(f(x)) sa hangganan(L) at ang δ(delta) ang "distansiya" ng x sa a. Ang ε ay mapapaliit kung ang δ ay mapapaliit. Kung pipili tayo ng ε, makakahanap tayo ng δ na sa bawat ε, merong δ kung saan ang distansiya ng f(x) at L ay mas maliit sa ε: \left| f(x) - L \right| < \varepsilon kung ang distansiya ng x sa c ay mas maliit sa δ: 0 < \left| x - c \right| < \delta

Halimbawa, ang hangganan ng punsiyong f(x) = x + 7 habang ang x ay papalapit sa 4 ay 11 o sa notasyong hangganan ay:

\quad\lim_{x\to 4} x + 7=11

Upang patunayan na ang hangganan ay talaga ngang 11, kailangan nating patunayan na kahit ano ang halaga ng \varepsilon na ibinigay, makakahanap tayo ng halaga ng \delta kung saan ang:

\left| f(x) - 11 \right| < \varepsilon

sa tuwing ang:

\left| x - 4 \right| < \delta

Kung itatakda ang \delta=\varepsilon, kailangang patunayan na ang:

\left| f(x) - 11 \right| < \varepsilon

Ngayon, itumbas ang δ sa ε:

\left| x - 4 \right| < \delta = \varepsilon.

Ang resulta ay \left| x - 4 \right| < \varepsilon

Pansinin na ang \left| f(x) - 11 \right| < \varepsilon ay naging katumbas ng \left| x - 4 \right| <  \varepsilon:

\left| f(x) - 11 \right| = \left| x + 7 - 11 \right| = \left| x - 4 \right| < \varepsilon

na siya nating nais patunayan.

Kontinuidad[baguhin]

Ang isang punsiyon na ƒ ay sinasabing tuloy tuloy(continuous) sa c kung ito ay inilalarawan sa c at ang halaga sa c ay katumbas ng hangganan ng f habang ang x ay papalapit sa c:

\lim_{x\to c} f(x) = f(c).

Kung ang kondisyong 0 < |x − c| ay inalis sa depinisyon ng hangganan, ang resultang depinisyon ay katumbas ng pag-aatas na ang f ay maging tuloy tuloy sa c.

Kung ang punsiyong f ay may halagang real, ang hangganan ng f sa p ay L kung at tanging kung ang parehong kanang hangganan at kaliwang hangganan ng f at p ay umiiral at katumbas ng L.

Ang punsiyong f ay tuloy tuloy sa p kung at tanging kung ang hangganan ng f f(x) sa x habang papalapit sa p ay umiiral at katumbas ng f(p). Kung ang f : MN ay isang punsiyon sa pagitan ng mga metrikong espasyo na M at N, kung gayon, ito ay katumbas na f ay binabago ang bawat sekwensiya(sequence) sa M na nagtatagpo(converges) patungo sa p sa sekwensiya sa N na nagtatagopo patungo sa f(p).

Kung ang N ay isang espasyong bektor na normado(normed vector space), ang operasyong hangganan ay linyar sa pagkaunawang: kung ang hangganang f(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L at ang hangganan ng g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay P, kung gayon ang hangganan ng f(x) + g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L + P. Kung ang a ay skalar sa baseng field, kung gayon ang hangganan ng af(x) habang ang x ay papalapit sa p ay aL.

Kung ang f ay isang punsiyon na may halagang real o kompleks, ang pagkuha ng hangganan at umaayon sa mga operasyong alhebraiko, kung ang mga hangganan sa kanang bahagi ng ekwasyon ay umiiral. Ang tawag dito ay Alhebraikong teorema ng hangganan. Ang mga patakaran ng teoremang ito ay ang sumusunod:

\begin{matrix}
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) + g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) + \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x) - g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) - \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)\cdot g(x)) & = & \lim\limits_{x \to p} f(x) \cdot \lim\limits_{x \to p} g(x) \\
\lim\limits_{x \to p} & (f(x)/g(x)) & = & {\lim\limits_{x \to p} f(x) / \lim\limits_{x \to p} g(x)}
\end{matrix}

Sa bawat kaso sa itaas, kung ang hangganan sa kanan ay hindi umiiral o sa huling kaso, ang hangganan sa parehong numerador at denominador ay sero, gayunpaman ang hangganan sa kaliwa na tinatawag na anyong hindi matukoy(indeterminate form) ay maaari pa ring umiral. Ito ay depende sa mga punsiyong f at g. Ang mga patakarang ito ay balido sa isang gilid na mga hangganan sa kaso ng p = ±∞, gayundin sa inpinadong hangganan(infinite limit) gamit ang sumusunod na mga patakaran:

  • q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
  • q × ∞ = ∞ if q > 0
  • q × ∞ = −∞ if q < 0
  • q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

Walang pangakalahatang patakaran sa kaso ng q / 0; ito ay depende sa kung paano ang 0 ay nilalapitan. Ang mga hindi matukoy na anyo gaya ng 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞—are ay hindi sakop ng mga patakarang ito, ngunit ang mga katumbas na hangganan ay matutukoy gamit ang Patakarang L'Hôpital o ang Teorema ng piga.

Diskontinuidad[baguhin]

Maaalis na diskontinuidad

Ang diskontinuidad(discontinuity) ay punto kung saan ang isang punsiyon ay hindi tuloy tuloy(continuity). Maraming mga instansiya na ito ay maaaring mangyari. Halimbawa, ang punsiyong f(x) = \frac {x^2-9} {x-3} ay hindi tuloy tuloy sa x = 3 dahil kung ilalapat ang hangganan sa puntong ito, ang praksiyon ay magreresulta sa {0} na sa matematika ay hindi matutukoy(undefined). Gayunpaman, ang isang diskontinuidad ay maaalis dahil kung babaguhin ang punsiyon sa puntong ito, maaari nating alisin ang diskontinuidad at gawin ang punsiyon na tuloy tuloy. Upang gawing tuloy tuloy ito, kailangang pasimplehin ang f(x) upang magresulta ng f(x) = \frac {x^2-9} {x-3} = \frac {(x+3)(x-3)} {(x-3)} = \frac {x+3} {1} \cdot \frac {x-3} {x-3}. Maaari na tayong maglarawan ng bagong punsiyon na g(x) kung saan ang g(x) = x + 3. Ang punsiyong ito ay hindi pareho sa orihinal na punsiyong f(x) dahil maaaring tukuyin ang g(x) sa x=3. Ang g(x) ay tuloy tuloy sa x=3 dahil ang \lim_{x\to 3} (x+3) = 6 = g(3). Gayunpaman, sa tuwing ang x\ne 3, f(x)=g(x); ang ating ginawa sa f upang magresulta ng g ay gawin itong matutukoy sa halagang x=3.

Hindi maalis na diskontinuidad

Hindi lahat ng diskontinuidad ay maaaring alisin sa isang punsiyon. Halimbawa ang punsiyon na:

k(x) = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }x > 0 \\ -1, & \mbox{if }x \le 0 \end{matrix}\right.

Dahil ang \lim_{x\to 0} k(x) ay hindi umiiral, walang paraan na maaaring muling tukuyin ang k sa isang punto upang ito'y maging tuloy tuloy sa 0. Ang parehong isang gilid na mga hangganan ay umiiral: \lim_{x\to 0^-} k(x) = -1 at \lim_{x\to 0^+} k(x) = 1 ngunit ang dalawang ito ay hindi magkatumbas kaya ang talangguhit ay tumatalon mula sa isang gilid ng 0 hanggang sa kabila. Sa kasong ito, ang punsiyon ay may "tumatalong diskontinuidad"(jump discontinuity). Ang tumatalong diskontinuidad ay isang uri ng diskontinuidad na hindi maaalis.

Paghahanap ng hangganan[baguhin]

Kung ang isang punsiyon ay naglalarawan ng rasyonal, trigonometriko, logaritmiko at eksponensiyal na mga punsiyon at ang bilang na c ay nasa sakop ng punsiyon, kung gayon ang hangganan sa c ay hanganan sa halaga ng punsiyon sa c. Kung ang c ay wala sa sakop ng punsiyon, kung gayon sa maraming instansiya(gaya ng sa rasyonal na punsiyon), ang sakop ng punsiyon ay kinabibilangan ng lahat ng punto na malapit sa c ngunit hindi mismong sa c. Ang isang halimbawa ay kung nais nating hanapin ang \lim_{x\to 0} \frac{x}{x}, kung saan ang sakop ay kinabibilangan ng lahat ng mga bilang maliban sa sero. Sa instansiyang ito, upang mahanap ang \lim_{x\to c}f(x) kailangan nating maghanap ng punsiyon na g(x) na katulad ng f(x) maliban sa butas(hole) sa c. Ang mga hangganan ng f atg ay pareho gaya ng makikita sa depinisyon ng hangganan. Sa depinisyon ito, ang hangganan ay depende sa f(x) lamang sa mga punto kung ang x ay malapit sa c ngunit hindi katumbas nito, kaya ang hangganan sa c ay hindi dumidepende sa halaga ng punsiyon sa c. Samakatuwid, kung ang \lim_{x\to c} g(x)=L, \lim_{x\to c} f(x) = L. At dahil sa ang sakop ng ating bagong punsiyon ay kinabibilangan ng c, maaari na natin ilapat ang hangganan sa c(kung ipagpalagay nating ang punsiyon ay naglalarawan pa rin sa rasyonal, trigonometriko, logaritmiko, at eksponensiyal na mga punsiyon). Ang resulta ay \lim_{x\to c} f(x) = g(c). Sa ating halimbawa, ang pagkakansela ng x sa numerador at denominador ay nagreresulta sa g(x)=1 na katumbas ng f(x)=x/x sa lahat ng mga punto maliban sa sero. Ang hangganan ay \lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = \lim_{x\to 0} 1 = 1. Sa pangkalahatan, kung kukwentahin ang mga hangganan ng mga rasyonal na punsiyon, ang isang mabuting ideya ay maghanap ng mga karaniwang mga paktor sa numerador at denominador.

Merong intansiya na ang hanggangan ay hindi umiiral:

  • May pagitan: Kung may pagitan(hindi lamang sa isang punto) kung saan ang punsiyon ay hindi matutukoy. Halimbawa, sa punsiyong f(x) = \sqrt{x^2 - 16}, ang \lim_{x\to c}f(x) ay hindi umiiral kung ang -4\le c\le4. Walang paraan na malalapitan ang gitna ng grapo. Upang ang hangganan ay umiral, ang punto ay dapat malalapitan mula sa kaliwa at kanang gilid.
  • Tumatalon: Kung ang grapo(talangguhit) ay biglang tumatalon sa ibang antas, ang hangganan ay hindi umiiral sa puntong ito ng pagtalon. Halimbawa, kung itatakda ang f(x) na maging pinakamalaking intedyer na \le x. Kung gayon, kung ang c ay isang intedyer kung ang x ay papalapit sa c mula sa kananf(x)=c, habang ang x ang c ay papalapit mula f(x)=c-1. Sa gayon, ang \lim_{x\to c} f(x) ay hindi iiral.
  • Bertikal na asymptote: Kung ang grapo ay nagiging sobrang taas habang papalapit sa sero gaya ng sa punsiyong f(x) = {1 \over x^2}
Habang ang ƒ ay papalapit sa puntong P, ang ƒ ay nagpapaurong sulong(oscillates) mula ƒ(a) patungo sa ƒ(b) ng walang hanggang bilang at hindi nagtatagpo(converges).
  • Walang hangganang osilasyon(pag urong sulong). Kung ang grapo ay patuloy na tumataas sa taas at babagsak sa ilalim ng linyang horisontal. Sa ibang salita, ang grapo ay nag-aasal ng ganito ng walang hanggan kung ito ay papalapit sa isang halaga ng x. Gayunpaman, kung ang taas ng bawat osilasyon ay papaliit habang ang grapo ay papalapit sa isang partikular na halaga ng x, maaaring ito ay may hangganan. Ang halimbawa nito ay ang punsiyong trigonometriko na f(x) = \sin {1 \over x}. Habang ang x ay papalapit sa 0, ang punsiyon ay patuloy na nagpapaurong sulong sa pagitan ng -1 at 1. Ang katunayan, ang \sin(1/x) ay nagpapaurong sulong sa walang hanggang bilang sa interbal ng 0 at anumang positibong halaga ng x. Ang punsiyong sine ay katumbas ng sero sa tuwing angx=k\pi kung saan ang k ay isang positibong intedyer. Sa pagitan ng bawat dalawang intedyer na k, ang \sin x ay nagpapaurong sulong sa pagitan ng 0 at -1 o 0 at 1. Samakatuwid, ang \sin(1/x)=0 sa bawat x=1/(k\pi). Sa bawat magkasunod na mga pares ng halagang 1/(k\pi) at 1/[(k+1)\pi], ang \sin(1/x) ay nagpapaurong sulong mula sa 0 patungo sa -1 o mula 1 pabalik sa 0. Maaaring mapansin na mayroong walang hanggang bilang ng mga pares na ito at ito'y nasa pagitan ng 0 at 1/\pi. Merong may hangganang bilang ng mga gayong pares sa pagitan ng positibong halaga ng x at1/\pi kaya may walang hangganang bilang sa pagitan ng anumang positibong halaga ng x at 0. Sa ating pangangatwiran, maaari nating mahinuha na habang ang x ay papalapit sa 0 mula sa kanan, ang punsiyong \sin(1/x) ay hindi papalapit sa anumang spesipikong halaga. Samakatuwid, ang \lim_{x\to 0} \sin(1/x) ay hindi umiiral.

Mga basikong(basic) patakaran ng hangganan at pagpapatunay nito[baguhin]

Konstanteng patakaran para sa mga hangganan

Kung ang b at c ay mga konstante, ang hangganan ay:  \lim_{x\to c} b = b.

Upang mapatunayan na ang  \lim_{x\to c} f(x) = b, kailangan nating hanapin ang isang \delta>0 na sa bawat \varepsilon>0, \left|b-b\right|<\varepsilon sa tuwing \left|x-c\right|<\delta. \left|b-b\right|=0 at \varepsilon>0, kaya \left|b-b\right|<\varepsilon ay idependiyenteng masasapatan sa bawat halaga ng \delta; samakatuwid, maaari tayong pumili ng anumang \delta na ating naisin at ang \varepsilon na kundisyon ay totoo.

Identidad na patakaran para sa mga hangganan

Kung ang c ay isang konstante, ang hangganan ay:  \lim_{x\to c} x = c.

Upang patunayan ang  \lim_{x\to c} x = c, kailangan nating humanap ng \delta>0 na sa bawat \varepsilon>0, \left|x-c\right|<\varepsilon sa tuwing ang \left|x-c\right|<\delta. Kung pipiliin \delta=\varepsilon, ito ay sasapat sa kondisyon.

Skalar na patakarang produkto para sa mga hangganan

Ipagpalagay na ang \lim_{x\to c} f(x) =L sa may hangganan na L at ang k ay konstante. Kung gayon, ang  \lim_{x\to c} k f(x) = k \cdot \lim_{x\to c} f(x) =  k L

Dahil sa binigyan tayo ng \lim_{x\to c} f(x) =L, mayroon isang punsiyon na tawagin nating \delta_{f}(\varepsilon), na sa bawat \varepsilon>0, \left|f(x)-L\right|<\varepsilon sa tuwing ang \left|x-c\right|<\delta_{f}(\varepsilon). Ngayon, kailangan nating humanap ng \delta_{kf}(\varepsilon) na sa lahat ng \varepsilon>0, \left|k f(x)-k L\right|<\varepsilon sa tuwing ang \left|x-c\right|<\delta_{kf}(\varepsilon).
Una, ipagpalagay natin na ang k>0. \left|k f(x)-k L\right| = k \left|f(x)-L\right|<\varepsilon, kaya ang \left|f(x)-L\right|<\varepsilon/k. Sa kasong ito, kung itatakda ang \delta_{kf}(\varepsilon)=\delta_{f}(\varepsilon/k), ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganans.
Ngayon kung ipagpalagay nating ang k=0. Dahil sa ang f(x) ay may hangganan sa x=c, alam natin sa depinisyon ng hangganan na ang f(x) ay inilalarawan sa bukas na interbal na D na naglalaman ng c (maliban siguro kung sa c mismo). Sa partikular, alam nating ang f(x) ay hindi lumalaki sa inpinidad sa loob ng D (maliban na lang siguro sa c, ngunit hindi ito makakaapekto sa hangganan), kaya ang  0 f(x)=0 sa D. Dahil sa ang k f(x) ay isang konstanteng punsiyon na 0 sa D, ang hangganan na  \lim_{x\to c} k f(x) = 0 sa pamamagitan ng konstanteng patakaran para sa mga hangganan.
Ngayon, ipagpalagay na ang k<0. \left|k f(x)-k L\right| = -k \left|f(x)-L\right|<\varepsilon, kaya ang \left|f(x)-L\right|<-\varepsilon/k. Sa kasong ito, kung itatakda ang \delta_{kf}(\varepsilon)=\delta_{f}(-\varepsilon/k), ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganan.

patakaran suma(sum) para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang \lim_{x\to c} f(x) =L and \lim_{x\to c} g(x) =M. Kung gayon, ang

 \lim_{x\to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x\to c} f(x) +  \lim_{x\to c} g(x) =  L + M

Dahil sa binigyan tayo ng \lim_{x\to c} f(x) =L at \lim_{x\to c} g(x) =M, mayroon dapat mga punsiyon na tawagin nating \delta_{f}(\varepsilon) at \delta_{g}(\varepsilon), na sa lahat ng \varepsilon>0, \left|f(x)-L\right|<\varepsilon sa tuwing ang \left|x-c\right|<\delta_{f}(\varepsilon), at .\left|g(x)-M\right|<\varepsilon sa tuwing ang \left|x-c\right|<\delta_{g}(\varepsilon).
Kung idagdag ang dalawang inekwalidad ay magreresulta ng \left|f(x)-L\right| + \left|g(x)-M\right| < 2\varepsilon. Sa pamamagitan ng inekwalidad ng tatsulok, mayroon tayong \left|f(x)-L\right| + \left|g(x)-M\right| \geq \left|(f(x)-L)+(g(x)-M)\right|=\left|(f(x)+g(x))-(L+M)\right|, kaya mayroon tayong \left|(f(x)+g(x))-(L+M)\right|<2\varepsilon sa tuwing ang \left|x-c\right|<\delta_{f}(\varepsilon) at \left|x-c\right|<\delta_{g}(\varepsilon). Itakda natin ang \delta_{fg}(\varepsilon) na maging mas maliit sa \delta_{f}(\varepsilon/2) at \delta_{g}(\varepsilon/2). Sa gayon, ang \delta ito ay sasapat sa depinisyon ng hangganan para sa \lim_{x\to c} [f(x) + g(x)] na mayroon hangganan na  L + M .

Diperensiyang patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang \lim_{x\to c} f(x) =L at \lim_{x\to c} g(x) =M. Kung gayon,

 \lim_{x\to c} [f(x) - g(x)] = \lim_{x\to c} f(x) -  \lim_{x\to c} g(x) =  L - M

Ilarawan ang h(x)=-g(x). Sa pamamagitan ng patakaran produkto para sa mga hangganan, \lim_{x\to c}h(x)=-M. Sa pamamagitan ng patakaran suma para sa mga hangganan, \lim_{x\to c}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to c}(f(x)+h(x))=L-M.

patakaran produkto para sa mga hangganan

Ipagpalagay nating ang \lim_{x\to c} f(x) =L at \lim_{x\to c} g(x) =M. Kung gayon, ang  \lim_{x\to c} [f(x) g(x)] = \lim_{x\to c} f(x) \lim_{x\to c} g(x) = L M

Itakda natin ang \varepsilon na maging kahit anong positibong bilang. Ang pagpapalagay na ito ay nagpapahiwatig ng pag-iral mga positibong bilang na \delta_{1}, \delta_{2}, \delta_{3} na ang

(1)\qquad\left|f(x)-L\right|<\frac{\varepsilon}{2(1+\left|M\right|)} kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta_{1}
(2)\qquad\left|g(x)-M\right|<\frac{\varepsilon}{2(1+\left|L\right|)} kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta_{2}
(3)\qquad\left|g(x)-M\right|<1 when 0<\left|x-c\right|<\delta_{3}

Ayon sa ikatlong kondisyon, makikita natin na ang:

\left|g(x)\right|=\left|g(x)-M+M\right|\leq\left|g(x)-M\right|+\left|M\right|<1+\left|M\right| when 0<\left|x-c\right|<\delta_{3}

Ipagpalagay nating ang 0<\left|x-c\right|<\min\{\delta_{1},\delta_{2},\delta_{3}\} at gamit ang (1) at (2) makakamit natin ang

\begin{align}\left|f(x)g(x)-LM\right|&=\left|f(x)g(x)-Lg(x)+Lg(x)-LM\right|\\
&\leq\left|f(x)g(x)-Lg(x)\right|+\left|Lg(x)-LM\right|\\
&=\left|g(x)\right|\cdot\left|f(x)-L\right|+\left|L\right|\cdot\left|g(x)-M\right|\\
&<(1+\left|M\right|)\frac{\varepsilon}{2(1+\left|M\right|)}+(1+\left|L\right|)\frac{\varepsilon}{2(1+\left|L\right|)}\\
&=\varepsilon
\end{align}

Kosiyenteng patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang \lim_{x\to c} f(x) =L and \lim_{x\to c} g(x) =M and M \neq 0. Kung gayon, ang

 \lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x\to c} f(x)}{\lim_{x\to c} g(x)} = \frac{L}{M}

Kung maipapakita nating ang \lim_{x\to c}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}, kung gayon ay maaari tayong maglarawan ng isang punsiyon na h(x) bilang h(x)=\frac{1}{g(x)} at gamitin ang patakaran produkto para sa mga hangganan upang patunayan ang teorema. Kaya kailangan lang nating patunayan na ang \lim_{x\to c}\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{M}.
Itakda natin ang \varepsilon na maging anumang positibong bilang. Ang pagpapalagay ay nagpapahiwatig ng pag-iral ng mga positibong mga bilang na \delta_{1}, \delta_{2} na sa

(1)\qquad\left|g(x)-M\right|<\varepsilon\left|M\right|(1+\left|M\right|) kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta_{1}
(2)\qquad\left|g(x)-M\right|<1 kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta_{2}

Ayon sa ikalawang kondisyon, makikita nating ang

\left|g(x)\right|=\left|g(x)-M+M\right|\leq\left|g(x)-M\right|+\left|M\right|<1+\left|M\right| kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta_{2}

na nagpapahiwatig na:

(3)\qquad\left|\frac{1}{g(x)}\right|>\frac{1}{1+\left|M\right|} kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta_{2}

Ipagpalagay nating na ang 0<\left|x-c\right|<\min\{\delta_{1},\delta_{2}\} at gamit ang (1) at (3), makakamit natin ang:

\begin{align}\left|\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{M}\right|&=\left|\frac{M-g(x)}{Mg(x)}\right|\\
&=\left|\frac{g(x)-M}{Mg(x)}\right|\\
&=\left|\frac{1}{g(x)}\right|\cdot\left|\frac{g(x)-M}{M}\right|\\
&<\frac{1}{1+\left|M\right|}\cdot\left|\frac{g(x)-M}{M}\right|\\
&<\frac{1}{1+\left|M\right|}\cdot\left|\frac{\varepsilon\left|M\right|(1+\left|M\right|)}{M}\right|\\
&=\varepsilon
\end{align}
Teorema: Teorema ng piga(squeeze)
Ipagpalagay nating ang g(x) \le f(x) \le h(x) ay totoo sa lahat ng x sa isang bukas na interbal na naglalaman ng c, maliban sa x=c mismo. Ipagpalagay din nating ang \lim_{x\to c}g(x)=\lim_{x\to c}h(x)=L. Kung gayon, ang \lim_{x\to c}f(x)=L.

Mula sa mga asumpsiyon, alam nating may umiiral na \delta na kung \left|g(x)-L\right|<\varepsilon at \left|h(x)-L\right|<\varepsilon kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta.
Ang mga inekwalidad na ito ay katumbas ng L-\varepsilon<g(x)<L+\varepsilon at L-\varepsilon<h(x)<L+\varepsilon kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta.
Kung gagamitin ang alam natin na relatibong pag-aayos ng f(x), g(x), at h(x), mayroon tayong
L-\varepsilon<g(x)<f(x)<h(x)<L+\varepsilon kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta.
o
-\varepsilon<g(x)-L<f(x)-L<h(x)-L<\varepsilon kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta.
Kaya ang
\left|f(x)-L\right|<max(\left|g(x)-L\right|,\left|h(x)-L\right|)<\varepsilon kapag ang 0<\left|x-c\right|<\delta.

Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad[baguhin]

Ang hangganan ng punsiyong ito sa inpinidad ay umiiral.
Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad(infinity)

Ang L ang hangganan ng f(x) kung ang x ay papalapit sa \infty kung sa bawat bilang na \varepsilon>0 may umiiral na bilang na \delta na sa tuwing ang x>\delta meron tayong:

\left| f(x) - L \right| < \varepsilon

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

 \lim_{x \to \infty} f(x) = L

o

 f(x) \to L as  x \to \infty.

Ang L ang hangganan ng f(x) kung ang x ay papalapit sa -\infty kung sa bawat bilang na \varepsilon>0, may umiiral na bilang \delta na sa tuwing ang

x<\delta meron tayong:

\left| f(x) - L \right| < \varepsilon

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

 \lim_{x \to -\infty} f(x) = L

o

 f(x) \to L as  x\to -\infty.

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon[baguhin]

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon

Itakda ang f(x) bilang isang punsiyon na inilalarawan sa isang bukas na interbal na D na naglalaman ng c, maliban sa x=c. Ating masasabi na ang:

 \lim_{x \to c} f(x) = \infty

kung sa bawat \varepsilon, may umiiral na \delta>0 kung saan ang lahat ng x\in D ay

0 < \left| x - c \right| < \delta,

meron tayong:

f(x) > \varepsilon.

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

\lim_{x\to c}f(x)=\infty

o

f(x)\to\infty as x\to c.

Ang hangganan ay:

 \lim_{x \to c} f(x) = -\infty

kung sa bawat \varepsilon, may umiiral na \delta>0 kung saan ang lahat ng x\in D ay

0 < \left| x - c \right| < \delta,

Meron tayong:

f(x) < \varepsilon.


Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

\lim_{x\to c}f(x)=-\infty

o

f(x)\to-\infty as x\to c.

Iba pang hangganan[baguhin]

Hangganan ng Logaritmiko at eksponensiyal na punsiyon[baguhin]

\mbox{For } a > 1: \,
\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty
\lim_{x \to \infty} \log_a x = \infty
\lim_{x \to -\infty} a^x = 0
\mbox{If } a < 1: \,
\lim_{x \to -\infty} a^x = \infty

Hangganan ng mga trigonometrikong punsiyon[baguhin]


\lim_{x \to a} \sin x = \sin a
\lim_{x \to a} \cos x = \cos a
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0
\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}
\lim_{x \to n^\pm} \tan \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty \qquad \text{for any integer } n

Espesyal na hangganan[baguhin]

\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^{mx}=e^{mk}
\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}
\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{k}{x}\right)^x=e^k
\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e
\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi

Tignan din[baguhin]