Kalkulo

Ang kalkulo (Latin, calculus, isang maliit na bato para sa pagbilang) ay isang sangay ng matematika na pag-aaral ng mga hangganan (limits), punsiyon (functions), deribatibo (derivatives), integral(integrals) at seryeng walang hangganan (infinite series). Ito ay isang pangunahing bahagi ng makabagong edukasyong pampamantasan. May dalawa itong pangunahing sangay, ang Diperensiyal na kalkulo at Integral na kalkulo, na may kaugnayan sa pundamental na teorama ng kalkulo. Ang kalkulo ay pag-aaral ng pagbabago, kung paanong ang heometriya ay pag-aaral ng mga hugis at ang alhebra ay pag-aaral ng ekwasyon. Ang pag-aaral ng kalkulo ay isang daan sa iba pang mas mataas na kurso sa matematika na nakalaan sa pag-aaral ng mga punsiyon at hangganan na tinatawag na pagsusuring matematikal. Malawak na nailalapat ang kalkulo sa agham, ekonomika at inhenyeriya at maaaring lumutas ng mga suliranin na hindi nakakasapat ang alhebra lamang.

Konsepto

Hangganan

Ang hangganan(limit) ng isang punsiyon ay isang pangunahing konsepto sa kalkulo at matematikal na analisis tungkol sa pag-aasal ng isang punsiyon kung ito ay malapit sa ibinigay na input. Ang isang punsiyong f ay nagtatalaga ng isang output f(x) sa bawat input x. Ang punsiyon ay may hangganan(limit) na L sa isang input na a kung ang output ng f(x) ay "malapit" sa L habang ang input na x ay "malapit" sa a. Samakatuwid, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa L habang ang x ay papalapit ng papalapit sa a. Ang f(x) ay maaaring gawing malapit sa halaga ng L kung ang input na x ay gagawing malapit sa halaga ng a ngunit hindi eksakstong a. Ang karaniwang notasyon ng hangganan ay:

$\quad\lim_{x\to a} f(x) = L$

Ito ay binabasa bilang "ang hangganan(limit) ng $f$ ng $x$ habang ang $x$ ay papalapit sa $a$". Halimbawa, ang punsiyon na titignan natin ay $f(x)=x^2$ at interasado tayong malaman ang hangganan(limit) ng punsiyong ito habang ang $x$ ay papalapit sa $2$. Ang isang paraan para malaman ang hangganan(limit) ay ang pagpili ng mga halagang malapit sa 2 at kwentahin ang bawat napiling mga halaga sa punsiyong $f(x)=x^2$. Makita sa sumusunod na tabla ang mga output ng punsiyon sa bawat ibinigay na input:

$x$	1.7	1.8	1.9	1.95	1.99	1.999
$f(x)=x^2$	2.89	3.24	3.61	3.8025	3.9601	3.996001

Sa susunod na tabla, atin namang kukwentahin ang mga input na mas malaki sa 2:

$x$	2.3	2.2	2.1	2.05	2.01	2.001
$f(x)=x^2$	5.29	4.84	4.41	4.2025	4.0401	4.004001

Ating makikita mula sa mga tabla sa itaas na kung ang $x$ ay papalapit ng papalapit sa 2, ang output ng $f(x)$ ay papalapit ng papalapit sa 4 kahit hindi natin isasaalang alang kung ang $x$ ay papalaki o papaliit sa halaga ng 2. Sa dahilang ito, magiging sigurado tayo na ang hangganan ng $x^2$ habang ang $x$ ay papalapit sa 2 ay 4 o ayon sa notasyon ng hangganan, "ang $f(x)=x^2$ ay may hanganan(limit) na 4 habang ang input ay papalapit sa 2".

$\quad\lim_{x\to 2} x^2=4.$

Diperensiasiyon at deribatibo

Ang lihis(slope) m ng isang linya ay inilalarawan bilang ahon(rise) sa ibabaw ng takbo(run), m = Δy/Δx.

Ang diperesiasyon ay isang paraan upang kwentahin deribatibo ang rate o halaga ng pagbabago(rate of change) ng output ng punsiyon ayon sa ibinigay na input. Kung ang input ng punsiyon ay kumakatawan sa oras, ang deribatibo ay kumakatawan sa pagbabago ng punsiyon ayon sa pagbabago ng oras. Halimbawa, kung ang punsiyong y=f(x) ay tumatanggap ng oras bilang input at ang output ang posisyon ng bola sa oras ng ibinigay na input, ang deribatibo ng f(x) ang pagbabago ng posisyon ng bola sa ibinigay na oras o ang belosidad ng bola.

Upang maunawaan ang pagkwenta ng rate ng pagbabago ng punsiyon ayon sa input, tignan natin ang ekwasyong linyar na y = mx + b, kung saan ang x ay independiyenteng bariabulo, ang y ang dependiyenteng bariabulo, at ang b ang y na intersept. Ang "rate ng pagbabago" ng isang punsiyong linyar ay makukwenta sa pamamagitan ng pormula ng slope o lihis kung saan ang x1 at y1 ang unang punto at ang x2 at y2 ang ikalawang punto sa linya:

$lihis(slope)=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

Ang slope ng tangent ng isang punsiyong linyar ay ang mismong linya ng punsiyong ito. Ang tawag dito ay "konstanteng rate ng pagbabago" dahil ang rate ng pagbabago na kinakatawan ng lihis(slope) ay konstant.

Ang deribatibo ang lihis(slope) ng linyang tangent sa isang punto ng isang kurba(curve)

Dahil sa ang karamihan ng mga punsiyon sa matematika ay mga kurba(curve) at hindi linyar, ang "rate ng pagbabago" ng mga punsiyong ito sa bawat punto ay hindi konstant. Maaaring matantya ang lihis(slope) ng tangent sa isang punto(instantaneous rate of change) ng isang kurba sa pamamagitan ng isang secant na isang linya na dumadaan sa dalawang punto ng isang kurba. Ang lihis(slope) ng dalawang punto ng secant ay kumakatawan sa pagbabago ng input(average rate of change) kung saan ang h ay kumakatawan sa dagdag na halaga ng input. Mapapansin sa larawan sa baba na habang ang distanya ng 2 punto ng secant na P at Q ay papaliit o papalapit sa sero, ang linyang secant na L ay nagiging tangent sa puntong $x_0$

Ang dalawang punto ng secant sa linya sa itaas na larawan ay:

$P \left( x_0, f\left( x_0 \right) \right)$

at

$Q \left( x_0+h, f\left( x_0+h \right) \right)$

Ang lihis(slope) na $m_h$ ng 2 puntong ito ay matutukoy kung gagamitin ang pormula ng lihis(slope) ng linyar na punsiyon:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Sa paghalili ng mga punto sa pormula ng lihis(slope) ang ating ekwasyon ay :

$m_h = \frac{f\left( x_0+h \right) - f\left( x_0 \right)}{\left(x_0 + h \right) - x_0}.$

Dahil sa ang subtraksiyong ng x0 at xo ay sero sa denominador, ang matitira lamang ay h:

$m_h = \frac{f\left( x_0+h \right) - f\left( x_0 \right)}{h}.$

Dahil sa ang $h$ na sero ay magreresulta ng dibisyon ng sero na nagreresulta sa hindi matukoy na output o error, ang tangent ay matutukoy kung hahahapin ang hangganan(limit) ng lihis(slope) ng secant na papalapit sa sero.

$\lim_{h \to 0}{f(a+h) - f(a)\over{h}}.$

Ang tawag sa prosesong ito ng diperensiasiyon ay "difference quotient". Dahil sa masyadong kumplikado at nakakapagod ang prosesong ito, may mga shortcut(mabilis na paraan) upang malutas ang deribatibo ng mga punsiyon:

• Patakarang konstante: $\frac{d}{dx}\left[c\right]=0.$
• Patakarang konstante: Para sa anumang nakatakdang real na bilang na $c$ na pinarami(multiplied) ng isang punsiyon, ang deribatibo ang konstante na pinarami ng deribatibo ng punsiyon,

$\frac{d}{dx}\left[cf(x)\right] = c \frac{d}{dx}\left[f(x)\right]$

• Patakaran ng linyar na punsiyon: Para sa anumang mga real na bilang na $m$ at $c$,

$\frac{d}{dx}\left[mx+c\right]=m$

• Patakarang kapangyarihan(power rule):$f'(x) = nx^{n-1}.\,$
• Patakarang kadena(chain rule) :$h'(x) = f'(g(x)) g'(x).\,$
• Patakarang produkto(product rule) :$\dfrac{d}{dx}(u\cdot v)=u\cdot \dfrac{dv}{dx}+v\cdot \dfrac{du}{dx}$.
• Patakarang kosiyente(quotient rule):$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}\quad$
• deribatibo ng eksponensyal:

$\frac{d}{dx}e^x = e^x$

$\frac{d}{dx}a^x = \ln(a)a^x$

• deribatibo ng logaritmiko:

$\frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x},\qquad x > 0$

$\frac{d}{dx}\log_a(x) = \frac{1}{x\ln(a)}$

• deribatibo ng mga punsiyong trigonometriko:

$(\sin x)' = \cos x \,$	$(\sin^{-1} x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\cos x)' = -\sin x \,$	$(\cos^{-1} x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,$	$(\tan^{-1} x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$(\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$(\sec^{-1} x)' = { 1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$(\csc^{-1} x)' = -{1 \over |x|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,$	$(\cot^{-1} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,$

Gaya ng makikita sa itaas, ang 2 karaniwang notasyon ng deribatibo ay:

• notasyong Leibniz: : $\frac{dy}{dx}$
• notasyong Lagrange:

$f'\;$ para sa unang deribatibo

$f''\;$ para sa ikalawang deribatibo o deribatibo ng unang deribatibo

$f'''\;$ para sa ikatlong deribatibo o deribatibo ng ikalawang deribatibo

Integrasyon at integral

Aproksimasyon ng area ng kurbang √x mula 0 hanggang 1,■ gamit ang limang parihaba at ■ labilandalawang parihaba

Ang Integrasyon ay ang paghahanap ng "integral" o area ng isang kurba(curve). Upang maunawaan natin ang konsepto ng integral, kailangan nating maunawaan ang pagtukoy ng area gamit ang pagtatantya(approximation). Ang area ng isang kurba ay matatantya kung ang mga area ng mga parihaba(rectangle) sa ilalim ng kurba ay susumahin(sum) o pagsamamahin. Kung gagamit tayo ng mas maraming mga parihaba, mas mabuting aproksimasyon ng area ng kurba ang ating makakamit. Ang konsepto ng isang integral ay ang pagpapadami ng mga bilang ng mga parihaba(rectangle) sa ilalim ng kurba na aabot sa sobrang daming bilang(infinity). Ang pagpadami ng mga parihabang ito ay makakamit gamit ang hangganan(limit) o ang ideya na habang papalapit sa sero ang haba ng mga parihabang ito o papanipis ng papapanipis ang mga parihabang ito, mas madami tayong mapagkakasyang parihaba sa ilalim ng kurba.

Para maintindihan ang konseptong ito, tignan natin ang kurba sa larawan sa kanan na y = f(x) sa pagitan ng x = 0 at x = 1, kung saan ang punsiyon ay inililalarawan ng f(x) = √x. Nais nating malaman ang area sa ilalim ng punsiyong ito sa pagitan ng 0 hanggang 1. Tawagin natin ang area na ito na integral ng f. Ang notasyon ng integral na ito ay:

$\int_0^1 \sqrt x \, dx \,\!.$

Sa unang aproksimasyon gamit ang mga parihabang kulay kahel(orange), ang suma(sum) ng mga area ng mga parihabang ito ay eksaktong 1. Ang tunay na halaga ng area ng kurba na ito ay mas maliit sa 1. Kung pararamihin natin ang mga parihaba sa loob ng kurba gaya ng mga parihabang kulay berde, mas makakamit natin ang mas mabuting aproksimasyon. Kung susumahin(sum) ang mga area ng mga parihabang kulay berde, ang resulta ay mas mabuting aproksimasyon ng area ng kurba:

$\textstyle \sqrt {\frac {1} {5}} \left ( \frac {1} {5} - 0 \right ) + \sqrt {\frac {2} {5}} \left ( \frac {2} {5} - \frac {1} {5} \right ) + \cdots + \sqrt {\frac {5} {5}} \left ( \frac {5} {5} - \frac {4} {5} \right ) \approx 0.7497\,\!$

Ngayon tignan natin kung paano kwentahin ang area ng kurba gamit ang operasyong integrasyon: Una, kailanging hanapin natin ang antideribatibo(integral) ng punsiyong ating nilulutas na: f(x) = √x. Ang antideribatibo ay: F(x) = ²⁄₃x^3/2. Ngayon isubtrak ang halaga ng F(1) sa halaga ng F(0), kung saan ang 0 at 1 ang mga hangganan ng kurba. Ang "eksaktong" area ng kurbang √x ay:

$\int_0^1 \sqrt x \,dx = \int_0^1 x^{\frac{1}{2}} \,dx = F(1)- F(0) = 0.666666667$

Ang integral ay isa ring antideribatibo o inberso (kabalagtiran) ng isang deribatibo.

Mga pundamental na pormula sa pagkwenta ng integral ng isang punsiyon

Ang integral ang area(S) ng punsiyong f(x) mula a hanggang b

$\int dx = x + C$

$\int x^n\,{\rm d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ }n \ne -1$

$\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C$

$\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C$

$\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin {x \over a} + C$

$\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos {x \over a} + C$

$\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec {|x| \over a} + C$

$\int \ln(x) \,dx = x \ln(x) - x + C,$

$\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C$

$\int e^x\,dx = e^x + C$

$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C$

$\int a^{ln(x)}\,dx =\int x^{ln(a)}\,dx=\frac{x\,a^{ln(x)}}{\ln{a}+1} + C=\frac{x\,x^{ln(a)}}{\ln{a}+1} + C$

$\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C$

$\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C$

$\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C$

$\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C$

$\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C$

$\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C$

$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$

$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C$

$\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C$

$\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C$

$\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C$

$\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C$

$\int \sec^3 x \, dx = \frac{1}{2}\sec x \tan x + \frac{1}{2}\ln|\sec x + \tan x| + C$

$\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx$

$\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx$

$\int \arctan{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C$

$\int \sinh x \, dx = \,cosh x + C$

$\int \cosh x \, dx = \sinh x + C$

$\int \tanh x \, dx = \ln| \cosh x | + C$

$\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C$

$\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C$

$\int \coth x \, dx = \ln| \sinh x | + C$

$\int \mbox{sech}^2 x\, dx = \tanh x + C$

$\int \operatorname{arcsinh} x \, dx = x \operatorname{arcsinh} x - \sqrt{x^2+1} + C$

$\int \operatorname{arccosh} x \, dx = x \operatorname{arccosh} x - \sqrt{x^2-1} + C$

$\int \operatorname{arctanh} x \, dx = x \operatorname{arctanh} x + \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C$

$\int \operatorname{arccsch}\,x \, dx = x \operatorname{arccsch} x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C$

$\int \operatorname{arcsech}\,x \, dx = x \operatorname{arcsech} x- \arctan{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C$

$\int \operatorname{arccoth}\,x \, dx = x \operatorname{arccoth} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C$

Mga paraan ng pagkwenta sa integral ng mga komplikadong punsiyon

• Integrasyon sa substitusyon (Integration by substitution)
• Integrasyon ng mga bahagi (Integration by parts)
• Integrasyon ng pagiiba ng order(Changing the order of integration)
• Trigonometrikong substitusyon (Integration by trigonometric substitution)
• Integrasyon gamit ang parsyal na praksyon( Integration by partial fractions)
• Integrasyon sa pagpapaliit (Integration by reduction formulae)
• Integrasyon gamit ang parametrikong deribatibo (Integration using parametric derivatives)
• Integrasyon gamit ang pormula ni Euler (Integration using Euler's formula)
• Diperentasyon sa ilalim ng integral na senyas (Differentiation under the integral sign)
• Integrasyong kontur (Contour integration)