Logaritmo

Mga operasyon ng Aritmetika

Pagdaragdag (+) $\scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{termino}}\,+\,{\text{termino}}\\\scriptstyle {\text{panagdag}}\,+\,{\text{panagdag}}\end{matrix}}\right\}\,=\,$ ${\begin{matrix}\scriptstyle {\text{dagup}}\\\scriptstyle {\text{suma}}\end{matrix}}$ Pagbabawas (−) $\scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{termino}}\,-\,{\text{termino}}\\\scriptstyle {\text{bawasin}}\,-\,{\text{pamawas}}\end{matrix}}\right\}\,=\,$ ${\begin{matrix}\scriptstyle {\text{diperensiya}}\\\scriptstyle {\text{kaibhan}}\end{matrix}}$ Pagpaparami (×) $\scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{kabuo}}\,\times \,{\text{kabuo}}\\\scriptstyle {\text{damihin}}\,\times \,{\text{parami}}\end{matrix}}\right\}\,=\,$ ${\begin{matrix}\scriptstyle {\text{produkto}}\\\scriptstyle {\text{bunga}}\end{matrix}}$ Paghahati (÷) $\scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{hatiin}}}{\scriptstyle {\text{pahati}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{panakda}}}{\scriptstyle {\text{pamahagi}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,$ ${\begin{matrix}\scriptstyle {\text{hatimbilang}}\\\scriptstyle {\text{kosyente}}\\\scriptstyle {\text{kahatian}}\\\scriptstyle {\text{tagway}}\end{matrix}}$ ${\begin{matrix}\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\text{butal}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\text{ }}\end{matrix}}$ Pagpapalakas $\scriptstyle {\text{base}}^{\text{eksponente}}\,=\,$ $\scriptstyle {\text{lakas}}$ Ugat (√) $\scriptstyle {\sqrt[{\text{antas}}]{\scriptstyle {\text{radikando}}}}\,=\,$ $\scriptstyle {\text{ugat}}$ Logaritmo (log) $\scriptstyle \log _{\text{base}}({\text{lakas}})\,=\,$ $\scriptstyle {\text{logaritmo}}$

Sa matematika, ang logaritmo (mula Espanyol logaritmo) ay ang kabaligtaran ng pagpapalakas. Ibig sabihin, ang logaritmo ng isang partikular na bilang na x ay ang eksponenteng kinakailangan upang mapalakas ang báseng b para magresulta ng x. Sa pinakasimpleng kahulugan, binibilang ng logaritmo kung ilang beses inulit ang iisang salik (factor) sa pagpaparaming paulit-ulit. Halimbawa, dahil $1000=10\times 10\times 10=10^{3}$, ang "ikasampung báse ng logaritmo ng 1000" ay 3, o $\log _{10}(1000)=3$. Isinusulat ang "logaritmo ng x sa ika-b na báse sa anyong $\log _{b}(x)$, o kapag walang panaklong, $\log _{b}x$. Kung hindi ikalilito o di kaya'y di kailangan (tulad ng sa notasyon malaking O), maaari ring maisulat ito nang walang báse, $\log x$.

Sa pangkalahatan, pinapayagan ng pagpapalakas na gamiting ang kahit anong positibong tunay na bilang bilang báse para mapalakas ng kahit anong tunay na lakas na parating nagreresulta ng isang positibo, kaya parating magkakaiba ang lalabas na y kung kukunin ang logaritmo ng dalawang bilang na b at x ($\log _{b}(x)$), basta ba hindi 1 ang b. Ang pinaka-relasyon sa pagitan ng pagpapalakas at logaritmo ay ${\textstyle \textstyle \log _{b}(x)=y}$, eksakto ang sagot kung ${\textstyle \textstyle b^{y}=x}$, ${\textstyle \textstyle x>0}$, ${\textstyle \textstyle b>0}$, at ${\textstyle \textstyle b\neq 1}$. Halimbawa, ${\textstyle \textstyle \log _{2}(64)=6}$, at ${\textstyle \textstyle 2^{6}=64}$.

Ang ikasampung báse ng logaritmo (${\textstyle \textstyle b=10}$) ay tinatawag na isang karaniwang logaritmo (common logarithm). Madalas itong ginagamit sa larangan ng agham at inhenyeriya. Ang likas na logaritmo (natural logarithm) ay gumagamit ng di-nagbabagong halaga na ${\textstyle \textstyle e}$ (${\textstyle \textstyle b\approx 2.718}$) bilang báse nito. Ginagamit naman ito kalimitan sa larangan ng matematika at pisika, dahil sa mas simpleng integral nito at deribatibo. Ang tambalang logaritmo (binary logarithm) naman ay gumagamit ng 2 (${\textstyle \textstyle b=2}$) bilang báse nito. Madalas itong ginagamit sa larangan ng agham pangkompyuter. Isang halimbawa ng mga malukong bunin (concave functions) ang mga logaritmo.

Unang ipinakilala ni John Napier noong 1614 ang mga logaritmo bilang isang paraan para mapadali ang pagkakalkula. Ginamit agad ito ng mga nabigador, siyentipiko, inhinyero, agrimensor (land surveyors), at ng iba pang mga propesyonal para makapagkompyut ng mga kalkulasyong may mataas na katiyakan nang mas madali. Gamit ng mga talahanayan ng logaritmo, kayang mapalitan ng simpleng pagtingin sa mga ito at pagdaragdag ang mga dati'y matrabahong pagpaparami sa mga bilang na may maraming tambilang (multi-digit numbers). Posible ito dahil sa isang napakaimportanteng katotohanan: ang logaritmo ng isang produkto ay ang suma ng mga logaritmo ng bawat salik, $\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y$, basta ba ang b, x, at y ay mga positibo at hindi 1 ang b. Maaari ring makapagkalkula nang mas mabilis gamit ng mga slide rule, na base rin sa mga logaritmo, nang hindi gumagamit ng talahanayan, ngunit mas mababa ang katiyakan sa sagot nito. Galing kay Leonhard Euler ang kaalaman tungkol sa mga logaritmo na kilala sa kasalukuyan. Kinonekta niya ang mga ito sa mga buning nagpapalakas (exponential functions) noong ika-18 siglo, at nagpakilala sa paggamit sa titik na e bilang báse ng mga likas na logaritmo.

Pinapaiksi at binabawasan ng mga iskalang logaritmo ang mga kantidad na may malalaki't mahahabang saklaw. Halimbawa, ang yunit na desibel ay isang yunit na nagpapakita sa mga lebel bilang mga logaritmo, madalas para sa mga lakas ng signal at hagkis (amplitude), kung saan ang karaniwang halimbawa nito ay ang presyur ng tunog. Sa kimika, isang sukatáng logaritmo ang pH para matukoy ang kaasiman (acidity) ng isang malikidong solusyon. Madalas ginagamit ang logaritmo sa mga pormulang pang-agham, gayundin sa pagsukat sa kung gaano kakomplikado ang mga algoritmo, pati na rin sa mga bagay heometrikal tulad ng mga praktal (fractal). Tumutulong ang mga ito sa paglarawan sa tagway ng dalas (frequency ratios) ng mga pagitan sa musika (musical intervals), lumalabas sa mga pormula para mabilang ang mga pangunahing bilang (prime numbers) o mag-aproksima ng mga factorial, magbigay-linaw sa ilang mga modelo sa sikopisika (psychophysics), at iba pang mga disiplina.

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.