Samahan (matematika): Pagkakaiba sa mga binago

Browse history interactively

← Nakaraang pagkakaiba Susunod na pagkakaiba →

Content deleted Content added

VisualWikitext

Inline

Pagbabago noong 07:27, 4 Marso 2021

samahán ng dalawang pangkat: $A \cup B \cup C$ .

Sa teorya ng pangkat, ang samahán, (Ingles: union, ipinapakita ng simbolong $\cup$ ) o unyon (mula Kastila unión) ng isang koleksyon ng mga pangkat ay ang lahat ng mga elemento sa koleksyon na iyon.^[1] Isa ito sa mga pangunahing operasyong ginagamit sa mga pangkat.

Kahulugan

Ang samahán ng dalawang pangkat na A at B ay ang pangkat ng mga elemento na nasa A, nasa B, o nasa parehong A at B:

A

Halimbawa, kung A = {1, 3, 5, 7} at ang B = {1, 2, 4, 6, 7}, edi ang A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Isa pang mas komplikadong halimbawa ang nasa ibaba:

A = {x ay isang buumbilang > 1}

B = {x ay isang gansal na buumbilang > 1}

A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6, ...}

Bilang isa pang halimbawa, wala sa samahán ng pangkat ng mga pangunahing bilang ${2, 3, 5, 7, 11, ...}$ at pangkat ng mga tukol na bilang ${2, 4, 6, 8, 10, ...}$ ang bilang na 9, dahil hindi ito pangunahin o tukol.

Di maaaring humigit sa isang kopya kada pangkat ang mga elemento ng mga pangkat, kaya naman ang samahán ng mga pangkat na ${1, 2, 3}$ at ${2, 3, 4}$ ay ${2, 3, 4}$ . Walang epekto sa kardinalidad ng pangkat o maging sa laman nito ang pagkakaroon ng maraming magkakatumbas na elemento sa pangkat na iyon.

Mga katangian

Isang operasyong asosyatibo ang samahánng tambalan; ibig sabihin, para sa kahit anong pangkat na $A$ , $A$ , at $A$ :

A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.

Maaaring gawin ang mga operasyon sa kahit anong ayos, at maaari ring matanggal ang mga panaklong dahil hindi ito magreresulta sa kalituhan. Komutatibo ang samahán, kaya naman maaaring maisulat din ang mga pangkat sa kahit anong ayos.

Ang walang lamang pangkat (empty set) ay isang elementong identidad para sa operasyon ng samahán. Ibig sabihin, $A \cup \emptyset = A$ , para sa kahit anong pangkat na $A$ . Sinusunod nito ang mga tuntunin ng paghihiwalay.

Dahil bumubuo ng isang alhebrang Boolean ang mga samahan at salubungan nagbabahagi ang salubungan sa samahán,

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

at nagbabahagi naman ang samahán sa salubungan:

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

.^[2]

Sa isang pangkalahatang pangkat, maaaring maisulat ang samahán base sa mga operasyon ng salubungan at komplemento bilang:

A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}

kung saan ipinapakita ng nakaangat na ^C ang komplementong nakadepende sa pangkalahatang pangkat.

Panghuli, di-nababago ang isang pangkat na sinama sa sarili niya, o sa madaling salita, idempotente ito:

A\cup A=A

Sanggunian

↑ Weisstein, Eric W. "Union" [Pagsasama]. Wolfram's Mathworld. Inarkibo mula sa orihinal noong Pebrero 7, 2009. Nakuha noong Pebrero 25, 2021.
↑ "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Nakuha noong 2020-09-05.

Kawing panlabas

Hazewinkel, Michiel, pat. (2001), "Union of sets", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Walang hanggang Samahan at Salubungan sa ProvenMath Mga batas ni De Morgan na pormal na pinatunayan mula sa mga batlain (axiom) ng teorya ng pangkat.

[1] Weisstein, Eric W. "Union" [Pagsasama]. Wolfram's Mathworld. Inarkibo mula sa orihinal noong Pebrero 7, 2009. Nakuha noong Pebrero 25, 2021.

[:32-2] "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Nakuha noong 2020-09-05.

[1]

[2]

@@ Linya 1: / Linya 1: @@
-Ang '''unyon''' (Ingles: ''union'', may kahulugang "pagsasama", "pagpipisan", "kapisanan", "pagkakaisa", "pagkakaayon") ng mga hanay na {{math|''A''}} at {{math|''B''}} na tinutukoy ng {{math|''A'' ∪ ''B''}} ang hanay ng lahat ng mga bagay na kasapi ng {{math|''A''}}, o {{math|''B''}}, o ng parehong ito. Ang unyon ng {{math|{1, 2, 3} }} at {{math|{2, 3, 4} }} ang hanay na  {{math|{1, 2, 3, 4} }}.
-[[File:Venn0111.svg|thumb|150px|Unyon ng dalawang mga hanay:<br><math>~A \cup B</math>]]
+[[Talaksan:Venn0111.svg|thumb|200x200px| samahán ng dalawang pangkat: {{Math|''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C''}}.]]
-[[File:Venn 0111 1111.svg|thumb|150px|Unyon ng tatlong mga hanay:<br><math>~A \cup B \cup C</math>]]
+[[Talaksan:Venn_0111_1111.svg|thumb|200x200px| samahán ng tatlong pangkat: {{Math|A ∪ B}}.]]
+[[Talaksan:Example_of_a_non_pairwise_disjoint_family_of_sets.svg|thumb|200x200px| Ang samahán ng A, B, C, D, at E ay ang lahat-lahat maliban lamang sa puting lugar.]]
+Sa [[teorya ng pangkat]], ang '''samahán''', (Ingles: ''union'', ipinapakita ng simbolong {{Math|∪}}) o '''unyon''' (mula Kastila ''unión'') ng isang koleksyon ng mga [[Pangkat (matematika)|pangkat]] ay ang lahat ng mga [[Elemento (matematika)|elemento]] sa koleksyon na iyon.<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Union.html|title=Union|author=Weisstein, Eric W|publisher=Wolfram's Mathworld|access-date=Pebrero 25, 2021|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20090207202412/http://mathworld.wolfram.com/Union.html|archive-date=Pebrero 7, 2009|trans-title=Pagsasama}}</ref> Isa ito sa mga pangunahing operasyong ginagamit sa mga pangkat.
+== Kahulugan ==
-[[Kategorya:Teoriya ng hanay]]
+Ang samahán ng dalawang pangkat na ''{{Math|''A''}}'' at ''{{Math|''B''}}'' ay ang pangkat ng mga elemento na nasa ''{{Math|''A''}}'', nasa ''{{Math|''B''}}'', o nasa parehong ''{{Math|''A''}}'' at ''{{Math|''B''}}'':
+: {{Math|A}}
+Halimbawa, kung ''A = {1, 3, 5, 7}'' at ang ''B = {1, 2, 4, 6, 7}'', edi ang ''A'' ∪ ''B'' ''= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}''. Isa pang mas komplikadong halimbawa ang nasa ibaba:
-{{stub|Matematika}}
+: {{Math|1=''A'' = {''x'' ay isang [[buumbilang]] > 1<nowiki>}</nowiki>}}{{Math|1=''B'' = {''x'' ay isang [[Kapantayan (matematika)|gansal]] na buumbilang > 1<nowiki>}</nowiki>}}
+: {{Math|1=''A'' ∪ ''B'' = {2, 3, 4, 5, 6, ...<nowiki>}</nowiki>}}
+Bilang isa pang halimbawa, wala sa samahán ng pangkat ng mga [[pangunahing bilang]] {{Math|{2, 3, 5, 7, 11, ...<nowiki>}</nowiki>}} at pangkat ng mga [[Kapantayan (matematika)|tukol]] na bilang {{Math|{2, 4, 6, 8, 10, ...<nowiki>}</nowiki>}} ang bilang na 9, dahil hindi ito pangunahin o tukol.
+Di maaaring humigit sa isang kopya kada pangkat ang mga elemento ng mga pangkat, kaya naman ang samahán ng mga pangkat na {{Math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} at {{Math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ay {{Math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}}. Walang epekto sa [[kardinalidad]] ng pangkat o maging sa laman nito ang pagkakaroon ng maraming magkakatumbas na elemento sa pangkat na iyon.
+== Mga katangian ==
+Isang operasyong asosyatibo ang samahánng tambalan; ibig sabihin, para sa kahit anong pangkat na {{Math|''A''}}, {{Math|''A''}}, at {{Math|''A''}}:
+: <math>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.</math>
+Maaaring gawin ang mga operasyon sa kahit anong ayos, at maaari ring matanggal ang mga panaklong dahil hindi ito magreresulta sa kalituhan. Komutatibo ang samahán, kaya naman maaaring maisulat din ang mga pangkat sa kahit anong ayos.
+Ang walang lamang pangkat (''empty set'') ay isang elementong identidad para sa operasyon ng samahán. Ibig sabihin, {{Math|1=''A'' ∪ ∅ = ''A''}}, para sa kahit anong pangkat na {{Math|''A''}}. Sinusunod nito ang mga tuntunin ng [[Paghihiwalay (matematika)|paghihiwalay]].
+Dahil bumubuo ng isang alhebrang Boolean ang mga samahan at [[Salubungan (matematika)|salubungan]] nagbabahagi ang salubungan sa samahán,
+: <math>A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)</math>
+at nagbabahagi naman ang samahán sa salubungan:
+: <math>A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)</math> .<ref name=":32">{{Cite web|title=Set Operations {{!}} Union {{!}} Intersection {{!}} Complement {{!}} Difference {{!}} Mutually Exclusive {{!}} Partitions {{!}} De Morgan's Law {{!}} Distributive Law {{!}} Cartesian Product|url=https://www.probabilitycourse.com/chapter1/1_2_2_set_operations.php|access-date=2020-09-05|website=www.probabilitycourse.com}}</ref>
+Sa isang pangkalahatang pangkat, maaaring maisulat ang samahán base sa mga operasyon ng salubungan at komplemento bilang:
+: <math>A \cup B = \left(A^C \cap B^C \right)^C</math>
+kung saan ipinapakita ng nakaangat na <sup>C</sup> ang komplementong nakadepende sa pangkalahatang pangkat.
+Panghuli, di-nababago ang isang pangkat na sinama sa sarili niya, o sa madaling salita, idempotente ito:
+: <math>A \cup A = A </math>
+== Sanggunian ==
+<references />
+== Kawing panlabas ==
+* {{Springer|title=Union of sets|id=p/u095390}}
+* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Walang hanggang Samahan at Salubungan sa ProvenMath] Mga batas ni De Morgan na pormal na pinatunayan mula sa mga batlain (''axiom'') ng teorya ng pangkat.
+[[Kategorya:Operasyon sa pangkat]]