Samahan (matematika): Pagkakaiba sa mga binago

Browse history interactively

← Nakaraang pagkakaiba Susunod na pagkakaiba →

Content deleted Content added

VisualWikitext

Inline

Pagbabago noong 20:31, 27 Mayo 2021

Samahán ng dalawang hanay: $A \cup B \cup C$ .

Sa teorya ng hanay, ang samahán, (Ingles: union, ipinapakita ng simbolong $\cup$ ) o unyon (mula Kastila unión) ng isang koleksyon ng mga hanay ay ang lahat ng mga elemento sa koleksyon na iyon.^[1] Isa ito sa mga pangunahing operasyong ginagamit sa mga hanay.

Kahulugan

Ang samahán ng dalawang hanay na $A$ at $B$ ay ang hanay ng mga elemento na nasa $A$ , nasa $B$ , o nasa parehong $A$ at $B$ :

A \cup B = {x : x \in A o x \in B}

Halimbawa, kung $A = {1, 3, 5, 7}$ at ang $B = {1, 2, 4, 6, 7}$ , edi ang $A \cup B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$ . Isa pang mas komplikadong halimbawa ang nasa ibaba:

A = {x ay isang buumbilang > 1}

B = {x ay isang gansal na buumbilang > 1}

A \cup B = {2, 3, 4, 5, 6, ...}

Bilang isa pang halimbawa, wala sa samahán ng hanay ng mga pangunahing bilang ${2, 3, 5, 7, 11, ...}$ at hanay ng mga tukol na bilang ${2, 4, 6, 8, 10, ...}$ ang bilang na 9, dahil hindi ito pangunahin o tukol.

Di maaaring humigit sa isang kopya kada hanay ang mga elemento ng mga hanay, kaya naman ang samahán ng mga hanay na ${1, 2, 3}$ at ${2, 3, 4}$ ay ${2, 3, 4}$ . Walang epekto sa kardinalidad ng hanay o maging sa laman nito ang pagkakaroon ng maraming magkakatumbas na elemento sa hanay na iyon.

Mga katangian

Isang operasyong asosyatibo ang samahán ng tambalan; ibig sabihin, para sa kahit anong hanay na $A$ , $B$ , at $C$ :

A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.

Maaaring gawin ang mga operasyon sa kahit anong ayos, at maaari ring matanggal ang mga panaklong dahil hindi ito magreresulta sa kalituhan. Komutatibo ang samahán, kaya naman maaaring maisulat din ang mga hanay sa kahit anong ayos.

Ang walang-lamang hanay (empty set) ay isang elementong identidad para sa operasyon ng samahán. Ibig sabihin, $A \cup \emptyset = A$ , para sa kahit anong hanay na $A$ . Sinusunod nito ang mga tuntunin ng dishunsiyon.

Dahil bumubuo ng isang alhebrang Boolean ang mga samahan at salubungan nagbabahagi ang salubungan sa samahán,

A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)

at nagbabahagi naman ang samahán sa salubungan:

A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)

.^[2]

Sa isang uniberso, maaaring maisulat ang samahán base sa mga operasyon ng salubungan at komplemento bilang:

A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}

kung saan ipinapakita ng nakaangat na ^C ang komplementong nakadepende sa uniberso.

Panghuli, di-nababago ang isang hanay na sinama sa sarili niya:

A\cup A=A

Sanggunian

↑ Weisstein, Eric W. "Union" [Pagsasama]. Wolfram's Mathworld. Inarkibo mula sa orihinal noong Pebrero 7, 2009. Nakuha noong Pebrero 25, 2021.
↑ "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Nakuha noong 2020-09-05.

Kawing panlabas

Hazewinkel, Michiel, pat. (2001), "Union of sets", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Walang hanggang Samahan at Salubungan sa ProvenMath Mga batas ni De Morgan na pormal na pinatunayan mula sa mga batlain (axiom) ng teorya ng hanay.

[1] Weisstein, Eric W. "Union" [Pagsasama]. Wolfram's Mathworld. Inarkibo mula sa orihinal noong Pebrero 7, 2009. Nakuha noong Pebrero 25, 2021.

[:32-2] "Set Operations | Union | Intersection | Complement | Difference | Mutually Exclusive | Partitions | De Morgan's Law | Distributive Law | Cartesian Product". www.probabilitycourse.com. Nakuha noong 2020-09-05.

[1]

[2]

@@ Linya 1: / Linya 1: @@
+[[Talaksan:Venn0111.svg|thumb|200x200px| Samahán ng dalawang hanay: {{Math|''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C''}}.]]
-[[Talaksan:Venn0111.svg|thumb|200x200px| Samahán ng dalawang pangkat: {{Math|''A'' ∪ ''B'' ∪ ''C''}}.]]
+[[Talaksan:Venn_0111_1111.svg|thumb|200x200px| Samahán ng tatlong hanay: {{Math|''A'' ∪ ''B''}}.]]
-[[Talaksan:Venn_0111_1111.svg|thumb|200x200px| Samahán ng tatlong pangkat: {{Math|''A'' ∪ ''B''}}.]]
 [[Talaksan:Example_of_a_non_pairwise_disjoint_family_of_sets.svg|thumb|200x200px| Ang samahán ng {{Math|''A''}}, {{Math|''B''}}, {{Math|''C''}}, {{Math|''D''}}, at {{Math|''E''}} ay ang lahat-lahat maliban lamang sa puting lugar.]]
-Sa [[teorya ng pangkat]], ang '''samahán''', ([[Wikang Ingles|Ingles]]: ''union'', ipinapakita ng simbolong {{Math|∪}}) o '''unyon''' (mula [[Wikang Kastila|Kastila]] ''unión'') ng isang koleksyon ng mga [[Pangkat (matematika)|pangkat]] ay ang lahat ng mga [[Elemento (matematika)|elemento]] sa koleksyon na iyon.<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Union.html|title=Union|author=Weisstein, Eric W|publisher=Wolfram's Mathworld|access-date=Pebrero 25, 2021|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20090207202412/http://mathworld.wolfram.com/Union.html|archive-date=Pebrero 7, 2009|trans-title=Pagsasama}}</ref> Isa ito sa mga pangunahing operasyong ginagamit sa mga pangkat.
+Sa [[teorya ng hanay]], ang '''samahán''', ([[Wikang Ingles|Ingles]]: ''union'', ipinapakita ng simbolong {{Math|∪}}) o '''unyon''' (mula [[Wikang Kastila|Kastila]] ''unión'') ng isang koleksyon ng mga [[Hanay (matematika)|hanay]] ay ang lahat ng mga [[Elemento (matematika)|elemento]] sa koleksyon na iyon.<ref>{{cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/Union.html|title=Union|author=Weisstein, Eric W|publisher=Wolfram's Mathworld|access-date=Pebrero 25, 2021|url-status=live|archive-url=https://web.archive.org/web/20090207202412/http://mathworld.wolfram.com/Union.html|archive-date=Pebrero 7, 2009|trans-title=Pagsasama}}</ref> Isa ito sa mga pangunahing operasyong ginagamit sa mga hanay.
 == Kahulugan ==
-Ang samahán ng dalawang pangkat na {{Math|''A''}} at {{Math|''B''}} ay ang pangkat ng mga elemento na nasa {{Math|''A''}}, nasa {{Math|''B''}}, o nasa parehong {{Math|''A''}} at {{Math|''B''}}:
+Ang samahán ng dalawang hanay na {{Math|''A''}} at {{Math|''B''}} ay ang hanay ng mga elemento na nasa {{Math|''A''}}, nasa {{Math|''B''}}, o nasa parehong {{Math|''A''}} at {{Math|''B''}}:
 : {{Math|''A'' ∪ ''B'' {{=}} {''x'': ''x'' ∈ ''A'' o ''x'' ∈ ''B''<nowiki>}</nowiki>}}
@@ Linya 15: / Linya 14: @@
 : {{Math|1=''A'' ∪ ''B'' = {2, 3, 4, 5, 6, ...<nowiki>}</nowiki>}}
-Bilang isa pang halimbawa, wala sa samahán ng pangkat ng mga [[pangunahing bilang]] {{Math|{2, 3, 5, 7, 11, ...<nowiki>}</nowiki>}} at pangkat ng mga [[Kapantayan (matematika)|tukol]] na bilang {{Math|{2, 4, 6, 8, 10, ...<nowiki>}</nowiki>}} ang bilang na 9, dahil hindi ito pangunahin o tukol.
+Bilang isa pang halimbawa, wala sa samahán ng hanay ng mga [[pangunahing bilang]] {{Math|{2, 3, 5, 7, 11, ...<nowiki>}</nowiki>}} at hanay ng mga [[Kapantayan (matematika)|tukol]] na bilang {{Math|{2, 4, 6, 8, 10, ...<nowiki>}</nowiki>}} ang bilang na 9, dahil hindi ito pangunahin o tukol.
-Di maaaring humigit sa isang kopya kada pangkat ang mga elemento ng mga pangkat, kaya naman ang samahán ng mga pangkat na {{Math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} at {{Math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ay {{Math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}}. Walang epekto sa [[kardinalidad]] ng pangkat o maging sa laman nito ang pagkakaroon ng maraming magkakatumbas na elemento sa pangkat na iyon.
+Di maaaring humigit sa isang kopya kada hanay ang mga elemento ng mga hanay, kaya naman ang samahán ng mga hanay na {{Math|{1, 2, 3<nowiki>}</nowiki>}} at {{Math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}} ay {{Math|{2, 3, 4<nowiki>}</nowiki>}}. Walang epekto sa [[kardinalidad]] ng hanay o maging sa laman nito ang pagkakaroon ng maraming magkakatumbas na elemento sa hanay na iyon.
 == Mga katangian ==
-Isang operasyong [[Katangiang asosyatibo|asosyatibo]] ang samahán ng tambalan; ibig sabihin, para sa kahit anong pangkat na {{Math|''A''}}, {{Math|''B''}}, at {{Math|''C''}}:
+Isang operasyong [[Katangiang asosyatibo|asosyatibo]] ang samahán ng tambalan; ibig sabihin, para sa kahit anong hanay na {{Math|''A''}}, {{Math|''B''}}, at {{Math|''C''}}:
 : <math>A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.</math>
-Maaaring gawin ang mga operasyon sa kahit anong ayos, at maaari ring matanggal ang mga panaklong dahil hindi ito magreresulta sa kalituhan. [[Katangiang komutatibo|Komutatibo]] ang samahán, kaya naman maaaring maisulat din ang mga pangkat sa kahit anong ayos.
+Maaaring gawin ang mga operasyon sa kahit anong ayos, at maaari ring matanggal ang mga panaklong dahil hindi ito magreresulta sa kalituhan. [[Katangiang komutatibo|Komutatibo]] ang samahán, kaya naman maaaring maisulat din ang mga hanay sa kahit anong ayos.
-Ang [[walang-lamang pangkat]] (''empty set'') ay isang [[elementong identidad]] para sa operasyon ng samahán. Ibig sabihin, {{Math|1=''A'' ∪ ∅ = ''A''}}, para sa kahit anong pangkat na {{Math|''A''}}. Sinusunod nito ang mga tuntunin ng [[dishunsiyon]].
+Ang [[walang-lamang hanay]] (''empty set'') ay isang [[elementong identidad]] para sa operasyon ng samahán. Ibig sabihin, {{Math|1=''A'' ∪ ∅ = ''A''}}, para sa kahit anong hanay na {{Math|''A''}}. Sinusunod nito ang mga tuntunin ng [[dishunsiyon]].
 Dahil bumubuo ng isang alhebrang Boolean ang mga samahan at [[Salubungan (matematika)|salubungan]] nagbabahagi ang salubungan sa samahán,
@@ Linya 42: / Linya 41: @@
 kung saan ipinapakita ng nakaangat na <sup>C</sup> ang komplementong nakadepende sa uniberso.
-Panghuli, di-nababago ang isang pangkat na sinama sa sarili niya:
+Panghuli, di-nababago ang isang hanay na sinama sa sarili niya:
 : <math>A \cup A = A </math>
@@ Linya 52: / Linya 51: @@
 * {{Springer|title=Union of sets|id=p/u095390}}
-* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Walang hanggang Samahan at Salubungan sa ProvenMath] Mga batas ni De Morgan na pormal na pinatunayan mula sa mga batlain (''axiom'') ng teorya ng pangkat.
+* [http://www.apronus.com/provenmath/sum.htm Walang hanggang Samahan at Salubungan sa ProvenMath] Mga batas ni De Morgan na pormal na pinatunayan mula sa mga batlain (''axiom'') ng teorya ng hanay.
 [[Kategorya:Operasyon sa pangkat]]
 [[Kategorya:Matematika]]