Maksima at minima: Pagkakaiba sa mga binago
No edit summary |
No edit summary |
||
Linya 8: | Linya 8: | ||
==Depinisyong analitikal== |
==Depinisyong analitikal== |
||
Ang isang may halangang-[[real na bilang|real]] na punsiyong ''f'' na inilalarawan sa isang [[real na linya]] ay sinasabing may '''lokal (o relatibong) puntong maximum''' sa puntong ''x''<sup>∗</sup> kung may umiiral na isang ε > 0 kung saan ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≥ ''f''(''x'') sa tuwing ang |''x'' − ''x''<sup>∗</sup>| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na '''maximum''' ng punsiyon. Gayundin, ang isang punsiyon ay may '''lokal na puntong''' sa ''x''<sup>∗</sup>, kung ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≤ ''f''(''x'') sa tuwing ang |''x'' − ''x''<sup>∗</sup>| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na '''minimum''' ng punsiyon. |
Ang isang may halangang-[[real na bilang|real]] na punsiyong ''f'' na inilalarawan sa isang [[real na linya]] ay sinasabing may '''lokal (o relatibong) puntong maximum''' sa puntong ''x''<sup>∗</sup> kung may umiiral na isang ε > 0 kung saan ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≥ ''f''(''x'') sa tuwing ang |''x'' − ''x''<sup>∗</sup>| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na '''maximum''' ng punsiyon. Gayundin, ang isang punsiyon ay may '''lokal na puntong minimum''' sa ''x''<sup>∗</sup>, kung ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≤ ''f''(''x'') sa tuwing ang |''x'' − ''x''<sup>∗</sup>| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na '''minimum''' ng punsiyon. |
||
Ang isang punsiyon ay may '''global''' (o '''absolutong''') '''puntong maximum''' sa''x''<sup>∗</sup> kung ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≥ ''f''(''x'') para sa lahat ng ''x''. Gayundin, ang isang punsiyon ay may'''global (o absolutong) puntong minimum''' sa ''x''<sup>∗</sup> kung ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≤ ''f''(''x'') para sa lahat ng ''x''. Ang mga puntong global na maximum at global na minumum ay kilala bilang [[arg max]] at arg min: ang argumento (input) kung saan ang maximum(o minimum) ay umiiral. |
Ang isang punsiyon ay may '''global''' (o '''absolutong''') '''puntong maximum''' sa''x''<sup>∗</sup> kung ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≥ ''f''(''x'') para sa lahat ng ''x''. Gayundin, ang isang punsiyon ay may'''global (o absolutong) puntong minimum''' sa ''x''<sup>∗</sup> kung ang ''f''(''x''<sup>∗</sup>) ≤ ''f''(''x'') para sa lahat ng ''x''. Ang mga puntong global na maximum at global na minumum ay kilala bilang [[arg max]] at arg min: ang argumento (input) kung saan ang maximum(o minimum) ay umiiral. |
||
''Tinatakdaang mga sakop''(Restricted domains): Maaaring may maxima at minima para isang punsiyon na ang [[sakop (matematika)| |
''Tinatakdaang mga sakop''(Restricted domains): Maaaring may maxima at minima para isang punsiyon na ang [[sakop (matematika)|sakop]] ay hindi kinabibilangan ng lahat ng mga [[real na bilang]]. Ang isang may halagang-real na punsiyon na ang sakop ay anumang [[hanay]] ay maaaring magkaroon ng global na maximum at minimum. Maaari ring ito ay mayroong mga puntong lokal na maxima at lokal na minima ngunit tanging sa mga punto ng hanay na sakop kung saan ang konseptong [[kapitbahay (matematika)|kapitbahayan]](neighborhood) ay inilalarawan. Ang isang kapitbahayan ay gumagampan ng papel na hanay ng x upang ang |''x'' − ''x''<sup>∗</sup>| < ε. |
||
Ang isang [[tuloy tuloy na punsiyon]](may halagang-real) sa isang [[siksik na espasyo|siksik]] na hanay ay palaging kumukuha ng mga halagang maximum at minimum sa hanay na ito. Ang isang mahalagang halimbawa ay isang punsiyon na ang sakop ay isang sarado(at tinakdaan) na [[interbal]] ng mga real na bilang. Ang pag-aatas ng kapitbahayan(neigborhood) ay hindi nagsasama ng isang ''lokal'' na maximum o minimum sa dulongpunto ng isang interbal. Gayunpaman, ang isang dulongpunto ay maaaring isa pa ring ''global'' na maximum o minimum. Kaya ito ay hindi palaging too para sa mga may hangganang |
Ang isang [[tuloy tuloy na punsiyon]](may halagang-real) sa isang [[siksik na espasyo|siksik]] na hanay ay palaging kumukuha ng mga halagang maximum at minimum sa hanay na ito. Ang isang mahalagang halimbawa ay isang punsiyon na ang sakop ay isang sarado(at tinakdaan) na [[interbal]] ng mga real na bilang. Ang pag-aatas ng kapitbahayan(neigborhood) ay hindi nagsasama ng isang ''lokal'' na maximum o minimum sa dulongpunto ng isang interbal. Gayunpaman, ang isang dulongpunto ay maaaring isa pa ring ''global'' na maximum o minimum. Kaya ito ay hindi palaging too para sa mga may hangganang |
Pagbabago noong 21:02, 23 Nobyembre 2011
Sa matematika, ang maximum at minimum(plural: maxima at minima) ng isang punsiyon na magkasamang tinatawag na extrema(singular: extremum) ang pinakamalaki at pinakamaliit na mga halaga na kinukuha ng punsiyon sa isang punto na maaaring nasa ibinigay na kapitbahay(local o relative extremum) o sa sakop ng punsiyon sa kabuuan nito(global o absolute extremum).
Sa pangkalahatan, ang maximum at minimum ng isang hanay)(na inilalarawan sa teoriya ng hanay) ang pinakamalaki at pinakamaliit na elemento sa hanay. Ang mga hindi tinatakdaang walang hangganang mga hanay(unbounded infinite sets) gaya ng hanay ng mga real na bilang ay walang minimum at maximum.
Ang paghahanap ng mga halagang extremum ang pangunahing layunin ng optimisasyon.
Depinisyong analitikal
Ang isang may halangang-real na punsiyong f na inilalarawan sa isang real na linya ay sinasabing may lokal (o relatibong) puntong maximum sa puntong x∗ kung may umiiral na isang ε > 0 kung saan ang f(x∗) ≥ f(x) sa tuwing ang |x − x∗| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na maximum ng punsiyon. Gayundin, ang isang punsiyon ay may lokal na puntong minimum sa x∗, kung ang f(x∗) ≤ f(x) sa tuwing ang |x − x∗| < ε. Ang halaga ng punsiyon sa puntong ito ay tinatawag na minimum ng punsiyon.
Ang isang punsiyon ay may global (o absolutong) puntong maximum sax∗ kung ang f(x∗) ≥ f(x) para sa lahat ng x. Gayundin, ang isang punsiyon ay mayglobal (o absolutong) puntong minimum sa x∗ kung ang f(x∗) ≤ f(x) para sa lahat ng x. Ang mga puntong global na maximum at global na minumum ay kilala bilang arg max at arg min: ang argumento (input) kung saan ang maximum(o minimum) ay umiiral.
Tinatakdaang mga sakop(Restricted domains): Maaaring may maxima at minima para isang punsiyon na ang sakop ay hindi kinabibilangan ng lahat ng mga real na bilang. Ang isang may halagang-real na punsiyon na ang sakop ay anumang hanay ay maaaring magkaroon ng global na maximum at minimum. Maaari ring ito ay mayroong mga puntong lokal na maxima at lokal na minima ngunit tanging sa mga punto ng hanay na sakop kung saan ang konseptong kapitbahayan(neighborhood) ay inilalarawan. Ang isang kapitbahayan ay gumagampan ng papel na hanay ng x upang ang |x − x∗| < ε.
Ang isang tuloy tuloy na punsiyon(may halagang-real) sa isang siksik na hanay ay palaging kumukuha ng mga halagang maximum at minimum sa hanay na ito. Ang isang mahalagang halimbawa ay isang punsiyon na ang sakop ay isang sarado(at tinakdaan) na interbal ng mga real na bilang. Ang pag-aatas ng kapitbahayan(neigborhood) ay hindi nagsasama ng isang lokal na maximum o minimum sa dulongpunto ng isang interbal. Gayunpaman, ang isang dulongpunto ay maaaring isa pa ring global na maximum o minimum. Kaya ito ay hindi palaging too para sa mga may hangganang