Parirami

Sa matematika, ang parirami^[1]^[2] (Ingles: square) o kuwadrado (mula Kastila: cuadrado, "parisukat") ay ang resulta ng pagpaparami sa isang bilang gamit ang sarili niya. Isinusulat ito sa anyong $x 2$ , kung saan ang $x$ ay ang bilang na paparamihin. Isinusulat rin ito sa anyong pinalawig: $x \times x$ . Parehas lang ang parirami sa proseso ng pagpapalakas ng bilang sa ikalawang antas.

Ang parirami ng isang buumbilang ay tinatawag ring kuwadradong bilang (Ingles: square number) o perpektong parirami (Ingles: perfect square). Sa alhebra, malimit na ginagamit ang parirami di lamang sa mga bilang kundi maging sa mga damikay (Ingles: polynomial) at iba pang mga ekspresyon o halaga. Halimbawa, ang parirami ng linyar na damikay na $x + 1$ ay ang kwadratikong damikay na $(x + 1) 2 = x 2 + 2 x + 1$ .

Isa sa mga pinakamahahalagang katangian ng parirami ay ang pagkakapareho ng parirami ng $x$ sa kabaligtarang pandagdag na $- x$ . Ibig sabihin, sumasakto ito sa identidad na $x 2 = (- x) 2$ . Maaari rin itong tingnan bilang isang tukol na bunin.

Sa mga tunay na bilang

Ang grap ng pariraming punsiyon $y = x 2$ ay isang parabola.

Ipinapaliwanag ng operasyong parirami ang isang tunay na punsiyon na tinatawag na pariraming punsiyon (Ingles: square function o squaring function). Ang kaniyang sakop ay buong tunay na linya, at ang kaniyang imahe ay pangkat ng mga tunay na bilang na di-negatibo.

Pinananatili ng pariraming punsiyon ang pagsasaayos ng mga positibong bilang: mayroon ang mas malalaking bilang ng mas malalaking parirami. Sa madaling salita, ang parirami ay monotonong punsiyon (Ingles: monotonic function) nasa interbalong [0, +∞). Para sa mga negatibong bilang, mayroon ng mas malalaking parirami ang mga bilang na may mas malalaking ganap na halaga, kaya ang parirami ay punsiyon na monotona na nagbabawas (Ingles: monotonically decreasing function) nasa interbalong (−∞,0]. Kaya ang sero ay (global na) minimum ng pariraming punsiyon. Ang pariraming $x 2$ ng isang bilang $x$ ay menos kaysa sa $x$ (kumbaga $x 2 < x$ ) kung at lamang kung $0 < x < 1$ , kumbaga, kung kinabibilangan ng $x$ ang bukas na interbalong (Ingles: open interval) (0,1). Ipinapahiwatig ito na ang parirami ng isang buumbilang hindi kailamnan ay menos kaysa sa orihinal na bilang $x$ .

Ang bawa't isang positibong tunay na bilang ay parirami ng eksaktong dalawang bilang, isang laging positibo at ibang laging negatibo. Ang sero ay parirami ng isang lanang bilang: mismo. Dahil sa ito, puwedeng ipaliwanag ang punsiyon ng pariugat.

Hindi puwedeng hanapin ang pariugat ng isang negatibong bilang sa loob ng sistema ng mga tunay na bilang, dahil ang mga parirami ng lahat ng tunay na bilang ay di-negatibo. Ang kawalan ng tunay na mga pariugat para sa mga negatibong bilang ay nagagamit para lumawak ang sistema ng mga tunay na bilang para sumaklaw ng mga komplikadong bilang, sa pamamagitan ng pasok ng imahinaryong bilang $i$ , kapares ng dalawang pariugat −1.

Ang propyedad na "bawa't isang di-negatibong tunay na bilang ay parirami" ay lumawak sa nosyon ng tunay na tikom ng kampo (Ingles: real closed field), isang kampong inaayos (Ingles: ordered field) kung saan bawa't isang di-negatibong elemento ay parirami at mayroon ang bawa't isang polinomial na may kakaibang grado (Ingles: odd degree) ng isang ugat. Hindi maaaring itangi ang mga tunay na tikom ng kampo mula sa kampo ng mga tunay na bilang sa mga alhebraikong propyedad: bawa't isang propyedad ng mga tunay na bilang, na naisasalarawan sa pamamagitan ng lohika ng unang orden (kumbaga, isang pormula kung saan mga baryable na inilalarawan ng ∀ o ∃ ay kinakatawan ang mga elemento, hindi ang mga pangkat), ay totoo para sa bawa't isang tunay na tikom ng kampo, at namang ang bawa't isang propyedad ng lohika ng unang orden, na ay totoo para sa isang espesipikong tunay na tikom ng kampo, ay totoo din para sa mga tunay na bilang.

Sa heometriya

May maraming pangunahing gamit ng pariraming punsiyon sa heometriya.

Ipinapakita ng pangalan ng pariraming punsiyon ang kaniyang kahalagan sa kahulugan ng sukat, dahil sa ang sukat ng parisukat na mga tabi ng haba ng $h$ ay katumbas sa $h 2$ . Kwadratiko na nagdedepende ang sukat sa laki: ang sukat ng hugis na $n$ beses mas malaki ay $n 2$ beses mas malawak. Totoo para sa mga sukat ng tatlong dimensiyon pati na rin ang plano: halimbawa, ang pang-ibabaw na sukat ng espera ay kasukat sa parirami ng niyang radius, isang katotohanan na na ay ipinapakita ng pisika sa pamagitan ng batas ng kabaligtarang parirami (Ingles: inverse-square law) na inilalarawan kung gaano ang lakas ng pisikal na puwersa bilang balani ay nagkakaiba ayon sa distansiya.

Ang pariraming punsiyon ay kaugnay sa distansiya sa pamamagitan ng teorema ni Pitagoras at niyang heneralisasyon, ang batas ng paralelogram. Ang distansiyang Euclideano hindi ay makinis na punsiyon (Ingles: smooth function): ang grap ng punsiyon ng tatlong dimensiyon, ng distansiya mula sa matatag na punto, ay bumubuo ng balisuso, na may puntong di-kinis nasa dulo ng balisuso. Gayunman, ang parirami ng distansiya (na nangangahulugan na $d 2$ o $r 2$ ), na may isang paraboloide bilang kaniyang grap, ay makinis at analitikong punsiyon (Ingles: analytic function).

Ang produktong tuldok ng Euclidyanong bektor at mismo ay katumbas sa parirami ng niyang haba: $v \cdot v = v 2$ . Ito ay napapapalawak sa mga kwadratikong porma sa mga espasyong linyar via ang produktong panloob. Ang tensor ng tigal (Ingles: inertia tensor, tingnan din: tensor, tigal) sa mekanika ay halimbawa ng kwadratikong porma. Ipinapakita ang isang kwadratikong ugnay ng momento ng tigal sa laki (haba).

Walang hangganan para sa mga triple ni Pitagoras. dahil sa proporsiyonal ang mga bilang na kinabibilangan. Halimbawa, $32 + 4 2 = 5 2$ = $62 + 8 2 = 10 2$ , habang $52 + 12 2 = 13 2$ = $102 + 24 2 = 26 2$ , atbp. Mas heneral na, para sa isang triple ni Pitagoras, $(ka) 2$ + $(kb) 2$ = $(kc) 2$ , kung saan $k$ ay anumang tunay na bilang.

Sa alhebrang basal at teorya ng bilang

Ipinapaliwanag ang pariraming punsiyon sa anumang kampo o singsing. Isang elemento sa imahe ng itong punsiyon at tinatawag na parirami, at mga imbersong imahe ng isang parirami ay tinatawag na pariugat.

Lalo na mahalaga ang nosyon ng parirami sa mga kampong Z/pZ na binubuo ng mga bilang modulo kakaibang pangunahing bilang $p$ . Isang elementong di-sero ng itong kampo ay tinatawag na kwadratikong latak (Ingles: quadratic residue) kung parirami nasa Z/pZ, at kung hindi, kwadratikong di-latak. Ang sero, maski isang parirami, hindi ay ipinalalagay na kwadratikong latak. Mayroon ang bawa't isang ganitong kampo ng eksaktong $(p - 1)/2$ na kwadratikong latak at ng eksaktong $(p - 1)/2$ na kwadratikong di-latak. Bumubuo ang mga kwadratikong latak ng isang grupo sa ilalim ng pagpaparami. Malawak na ginagamit ng mga propyedad ng mga kwadratikong latak sa teorya ng bilang.

Mas heneral na, sa mga singsing, maaaring magkaroon ang pariraming punsiyon ng kakaibang mga propyedad na minsan na ginagamit para magbukod ng mga singsing.

Puwedeng sero ang parirami ng ilang elementong di-sero. Ang isang komutatibong singsing (Ingles: commutative ring), kung saan ang parirami ng isang elementong di-sero hindi kailanman ay sero, ay tinatawag na singsing na nababawasan (Ingles: reduced ring). Mas heneral na, nasa isang komutatibong singsing, ang isang radikal na ideal ay ideal $I$ kung saan ang $x^{2}\in I$ ay ipinapahiwatig na $x\in I$ . Mahahalaga ang parehong nosyon nasa alhebraikong heometriya, dahil sa Nullstellensatz ni Hilbert.

Ang elemento ng isang singsing na ay katumbas sa sarili nitong parirami ay tinatawag na idempotente. Nasa anumang singsing ang 0 at 1 ay idempotente. Walang ibang idempotente nasa mga kampo at mas heneral na nasa integral na sakop. Gayunman, mayroon ang singsing ng mga buumbilang modulo $n$ ng $2 k$ idempotente, kung saan $k$ ay dami ng tanging pangunahing paktor ng $n$ . Ang isang komutatibong singsing kung saan bawa't isang elemento ay katumbas sa kaniyang parirami (bawa't isang elemento ay idempotente) ay tinatawag na singsing ni Boole.

Nasa isang singsing na ganap na inaayos (Ingles: totally ordered ring) $x 2 \geq 0$ para sa anumang $x$ . Saka, $x 2 = 0$ kung at lamang kung $x = 0$ .

Nasa isang superkomutatibong alhebra kung saan 2 ay imbertible, ang parirami ng anumang kakaibang elemento ay katumbas sa sero.

Kung A ay komutatibong semigrupo,

\forall x,y\in A\quad (xy)^{2}=xyxy=xxyy=x^{2}y^{2}.

Sa wika ng mga kwadratikong porma, sumasabi ang itong pagkakapantay na pariraming punsiyon ay isang "porma na inaatim ng kumposisyon." Talaga, ang pariraming punsiyon ay pundasyon na binubuo ang ibang mga kwadratikong porma na inaatim ng kumposisyon. Pinasok ang paraan ni L. E. Dickson para gumawa ng mga oktoniyon mula sa mga kwaterniyon sa pamamagitan ng pagdodoble. Ang itong paraan ng pagdodoble ay pormal na ipinaliwanag ni A. A. Albert kung sino nag-umpisa sa kampo ng mga tunay na bilang ℝ at pariraming punsiyon, na idinoble para tamuhin ang kampo ng mga komplikadong bilang na may kwadratikong pormang $x 2 + y 2$ , na idinoble ulit para tamuhin ang mga kwaterniyon. Ang paraan ng pagdodoble ay tinatawag na konstruksiyon nina Cayley at Dickson, at napalawak para bumuo ng mga alhebra na may dimensiyong 2ⁿ sa tapat ng isang kampong F na may imbolusyon.

Ang pariraming punsiyong z² ay "pamantayan" (Ingles: norm) ng alhebrang kumposisyon ℂ, kung saan ang identidad ng punsiyon ay bumubuo ng tribial na imbolusyon para umpisahan ang mga konstruksiyon nina Cayley at Dickson na nagdudulot ng bikompleks, bikwaterniyon, at bioktoniyong alhebrang kumposisyon.

Sa mga komplikadong bilang

Sa mga komplikadong bilang, ang pariraming punsiyong $z\to z^{2}$ ay dobleng takip (Ingles: cover) sa muwang na bawa't ibang komplikadong bilang na di-sero ay nagkakaroon eksakto na dalawang pariugat.

Ang parirami ng ganap na halaga ng isang komplikadong bilang ay tinatawag na kaniyang ganap na parirami. Ito ay bunga ng komplikadong bilang at niyang komplikadong konhugado, at katumbas sa suma ng mga parirami ng tunay at imahinaryong mga bahagi ng komplikadong bilang.

Ang ganap na parirami ng isang komplikadong bilang ay laging isang tunay na bilang na di-negatibo, sero kung at lang kung ang komplikadong bilang ay sero. Mas madali para tuusin kaysa sa ganap na halaga (walang pariugat), at ay makinis na punsiyon na may mga tunay na halaga. Dahil sa itong dalawang propyedad, madalas na minamabuti ng ganap na parirami sa ganap na halaga para sa mga eksplisitong tuos at kapag kinabilangan ng mga paraan ng pagsusuring matematikal (halimbawa, optimisasyong matematikal o integrasyon).

Ibang mga gamit

Kahit saan may mga parirami nasa alhebra, at mas heneral na, nasa halos na bawa't isang sangay ng matematika, pati na rin nasa pisika kung saan ang maraming yunit ng kasukatan ay ipinapaliwanag sa pamamagitan ng mga parirami at kabaligtarang parirami.

Mga sanggunian

↑ "parirami": Del Rosario, Gonsalo (1969). Salcedo, Juan (pat.). Maugnaying Talasalitaang Pang-agham Ingles-Pilipino (sa wikang Filipino). Maynila, Pilipinas: Lupon sa Agham. p. {{{pahina}}}.
↑ "parirami". Tagalog Dictionary (sa wikang Ingles). Nakuha noong Marso 31, 2021.

[1] "parirami": Del Rosario, Gonsalo (1969). Salcedo, Juan (pat.). Maugnaying Talasalitaang Pang-agham Ingles-Pilipino (sa wikang Filipino). Maynila, Pilipinas: Lupon sa Agham. p. {{{pahina}}}.

[2] "parirami". Tagalog Dictionary (sa wikang Ingles). Nakuha noong Marso 31, 2021.

[1]

[2]