Pinakamababang karaniwang maramihan

Sa aritmetika at teoriya ng bilang, ang pinakamababang karaniwang maramihan (Ingles: least common multiple o LCM na tinatawag ding lowest common multiple o smallest common multiple o SCM), ng dalawang buumbilang na a at b, na karaniwang isinusulat bilang lcm(a, b), ay ang pinakamaliit na positibong buumbilang na maaaring hatiin ng parehong a at b.^[1]^[2] Dahil ang paghahati ng buumbilang sa sero ay hindi natutukoy, wasto lamang ang kahulugang kung parehong hindi sero ang a at b.^[3] Gayunman, itinatakda ng ilang may-akda na ang lcm(a, 0) ay katumbas ng 0 para sa lahat ng a, sapagkat ang 0 lamang ang karaniwang maramihan ng a at 0.

Ang pinakamababang karaniwang maramihan ng mga denominator ng dalawang bahagdan ay tinatawag na pinakamababang karaniwang denominador (lowest common denominator o lcd), na ginagamit sa pagdaragdag, pagbabawas, o paghahambing ng mga bahagdan.

Ang pinakamababang karaniwang maramihan ng higit sa dalawang buumbilang a, b, c, at iba pa, na isinusulat bilang lcm(a, b, c, …), ay tinutukoy bilang pinakamaliit na positibong buumbilang na maaaring hatiin ng bawat isa sa a, b, c, at iba pa.^[1]

Pangkalahatang paglalarawan

Ang maramihan (multiple) ng isang bilang ay ang produkto ng bilang na iyon at ng isang buumbilang. Halimbawa, ang 10 ay maramihan ng 5 dahil 5 × 2 = 10, kaya't ang 10 ay maaaring hatiin ng 5 at 2. Dahil ang 10 ang pinakamaliit na positibong buumbilang na maaaring hatiin ng parehong 5 at 2, ito ang pinakamababang karaniwang maramihan ng 5 at 2. Sa parehong prinsipyo, ang 10 din ang pinakamababang karaniwang maramihan ng −5 at −2.

Notasyon

Ang pinakamababang karaniwang maramihan ng dalawang buumbilang a at b ay isinusulat bilang lcm(a, b).^[1] Sa ilang lumang aklat, ginagamit ang anyong [a, b].^[3]^[4]

Halimbawa

\operatorname {lcm} (4,6)

Mga maramihan ng 4:

4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,56,60,64,68,72,76,...

Mga maramihan ng 6:

6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,...

Mga karaniwang maramihan ng 4 at 6 ay ang mga bilang na nasa parehong tala:

12,24,36,48,60,72,...

Sa talang ito, ang pinakamaliit na bilang ay 12. Kaya’t ang pinakamababang karaniwang maramihan ay 12.

Mga gamit

Kapag nagdaragdag, nagbabawas, o naghahambing ng mga simpleng bahagdan, ginagamit ang pinakamababang karaniwang maramihan ng mga denominador dahil maaaring ipahayag ang bawat bahagdan sa parehong denominador. Halimbawa,

{2 \over 21}+{1 \over 6}={4 \over 42}+{7 \over 42}={11 \over 42}

Ginamit ang denominator na 42 dahil ito ang pinakamababang karaniwang maramihan ng 21 at 6.

Problema sa mga tornilyong ngipin

Halimbawa, may dalawang magkaengranaheng tornilyong ngipin (o gear) sa isang makina na may tig-m at n na ngipin. Kung may guhit na nagdurugtong sa gitna ng unang tornilyong ngipin patungo sa ikalawa, ang bilang ng ikot na kailangang gawin ng unang tornilyong ngipin bago muling magtugma ang guhit ay maaaring kalkulahin gamit ang $\operatorname {lcm} (m,n)$ . Ang unang tornilyong ngipin ay dapat umikot ng $\operatorname {lcm} (m,n) \over m$ na beses bago magtugma muli, at sa panahong iyon, ang ikalawang tornilyong ngipin ay umikot ng $\operatorname {lcm} (m,n) \over n$ na beses.

Pagkahanay ng mga planeta

Halimbawa, may tatlong planetang umiikot sa isang bituin at kumukumpleto ng kani-kanilang orbita sa loob ng l, m, at n yunit ng panahon, ayon sa pagkakasunod. Kung nagsimula silang umiikot sa bituin nang magkahanay sa isang linya, muling magkakahanay silang lahat matapos ang $\operatorname {lcm} (l,m,n)$ na yunit ng panahon. Sa oras na ito, nakumpleto ng una, ikalawa, at ikatlong planeta ang $\operatorname {lcm} (l,m,n) \over l$ , $\operatorname {lcm} (l,m,n) \over m$ , at $\operatorname {lcm} (l,m,n) \over n$ na orbita, ayon sa pagkakabanggit.^[5]

Pagkalkula

May ilang paraan upang kalkulahin ang pinakamababang karaniwang maramihan.

Gamit ang pinakamalaking karaniwang tagapaghati

Maaaring kalkulahin ang LCM mula sa pinakamalaking karaniwang tagapaghati (greatest common divisor o GCD) gamit ang pormulang

\operatorname {lcm} (a,b)={\frac {|ab|}{\gcd(a,b)}}.

Upang maiwasan ang mas malalaking bilang, maaaring gamitin ang kaparehong pormula sa ibang anyo

\operatorname {lcm} (a,b)=|a|\,{\frac {|b|}{\gcd(a,b)}}=|b|\,{\frac {|a|}{\gcd(a,b)}},

kung saan ang resulta ng paghahati ay parating isang buumbilang.

Balido rin ang mga pormulang ito kapag isa lamang sa $a$ o $b$ ang $0$ , dahil $gcd(a, 0) = | a |$ . Subalit kung parehong $0$ ang a at b, magreresulta ito sa dibisyon sa sero; kaya, itinatakda na $lcm(0, 0) = 0$ bilang natatanging kaso.

Upang bumalik sa halimbawa sa itaas:

\operatorname {lcm} (21,6)=6\times {\frac {21}{\gcd(21,6)}}=6\times {\frac {21}{3}}=6\times 7=42.

May mga mabilis na algoritmo tulad ng algoritmong Euclideyano para sa pagkalkula ng gcd nang hindi kailangang ipaktora (factorize) ang mga bilang. Para sa napakalalaking buumbilang, mas mabilis pa ang mga algoritmo para sa tatlong operasyong ito (multiplikasyon, gcd, at dibisyon);. Mas episyente ang pagkalkula kung ang pinakamalaking argumento ng LCM ay hinahati sa gcd ng mga argumento, tulad sa halimbawa sa itaas.

Gamit ang paktorisasyon ng primo

Ayon sa teoremang natatanging paktorisasyon, ang bawat positibong buumbilang na mas malaki sa 1 ay maaaring ipahayag sa iisang paraan bilang produkto ng mga pangunahing bilang. Maaaring ituring ang mga pangunahing bilang bilang mga elementong elementong bumubuo sa mga tambalang bilang.

Halimbawa:

90=2^{1}\cdot 3^{2}\cdot 5^{1}=2\cdot 3\cdot 3\cdot 5.

Ibig sabihin, ang bilang na 90 ay binubuo ng isang 2, dalawang 3, at isang 5 bilang mga paktorang primo.

Ang katotohanang ito ay magagamit upang mahanap ang LCM ng isang hanay ng mga bilang.

Halimbawa: $\operatorname {lcm} (8,9,21)$

Ipaktora ang bawat bilang at isulat ito bilang produkto ng kapangyarihan ng pangunahing bilang.

{\begin{aligned}8&=2^{3}\\9&=3^{2}\\21&=3^{1}\cdot 7^{1}\end{aligned}}

Kunin ang pinakamataas na kapangyarihan (o power) ng bawat pangunahing bilang at imultiplikang lahat. Ang pinakamataas na kapangyarihan ng pangunahing bilang 2, 3, at 7 at 2³, 3², at 7¹, ayon sa pagkakabanggit. Kaya,

\operatorname {lcm} (8,9,21)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 7^{1}=8\cdot 9\cdot 7=504.

Hindi kasing-episyente ang pamamaraang ito kumpara sa paggamit ng GCD, sapagkat walang pangkalahatang mabilis na algoritmo para sa paktorisasyon ng buumbilang.

Maaaring ipakita rin ang pamamaraang ito sa pamamagitan ng dayagramang Venn, kung saan ipinapakita ang mga paktorang primo ng bawat bilang at ang mga magkakapareho sa gitnang bahagi. Makukuha ang LCM sa pamamagitan ng pagmumultiplika ng lahat ng pangunahing bilang sa dayagrama.

Halimbawa:

48 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3

180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5

May dalawang "2" at isang "3" na magkapareho.

Pinakamababang karaniwang maramihan:

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 720

Pinakamalaking karaniwang tagapaghati:

2 \times 2 \times 3 = 12

Produkto:

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 8640

Gumagana rin ang prinsipyong ito para sa pinakamalaking karaniwang tagapaghati (gcd), subalit sa halip na imultiplika ang lahat ng bilang sa daygrama, imumultiplika lamang ang mga pakotrang primo na nasa gitnang bahagi. Kaya't ang gcd ng 48 at 180 ay 2 × 2 × 3 = 12.

Mga pandanda

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (sa wikang Ingles). Nakuha noong 2020-08-30.
↑ Hardy & Wright, § 5.1, p. 48
↑ ^3.0 ^3.1 Long (1972, p. 39)
↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 56)
↑ "nasa spacemath" (PDF). (sa Ingles)

Mga sanggunian

Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition) (sa wikang Ingles), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (sa wikang Ingles) (ika-2nd (na) labas), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory (sa wikang Ingles), Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766

[:1-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Weisstein, Eric W. "Least Common Multiple". mathworld.wolfram.com (sa wikang Ingles). Nakuha noong 2020-08-30.

[2] Hardy & Wright, § 5.1, p. 48

[auto-3] 3.0 ^3.1 Long (1972, p. 39)

[4] Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 56)

[5] "nasa spacemath" (PDF). (sa Ingles)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]