Probabilidad

Ang probabilidad (o probability) o pagkakataon ay sumusukat sa pagkatataon na ang isang pangyayari ay mangyayari o magkakatotoo. Ito ay nasa pagitan ng 0 at 1. Kung ang isang pangyayari ay tiyak na mangyayari, ang probabilidad nito ay 1. Habang ang pangyayari ay natitiyak na mangyayari o magkakatotoo, ang probabilidad nito ay lumalapit sa 1. Sa kabilang dako, kung ang isang pangyayari ay siguradong hindi mangyayari, ang probabilidad nito ay 0. Habang ang kasiguruhan ng isang pangyayari ay patungo sa hindi pagkakatotoo, ang probabilidad nito ay patungo sa 0. Ito ay karaniwang ginagamit upang ilarawan ang pag-aasal ng pag-iisip sa isang proposisyon na ang katotohanan ay hindi tiyak. Ang proposisyon na inuusisa ay karaniwang nasa anyong "Ang isa bang spesipikong pangyayari ay mangyayari?". Ang pag-aasal ng pag-iisip ay nasa anyong "Gaano tayo katiyak na ang isang pangyayari ay mangyayari?". Ang katiyakan na kukunin ay maaaring ilarawan sa termino ng isang numerikal na sukat at ang bilang na sa pagitan ng 0 at 1 ang tinatawag nating probabilidad. Kung mas mataas ang probabilidad ng isang pangyayari, mas tiyak tayong makakasiguro na ang pangyayari ay mangyayari. Sa dahilang ito, ang probabidad sa nilalapat na kahulugan ang sukat ng "pagiging-malamang"(likelihood) na ang (randomang) pangyayari ay mangyayari.

Ang konseptong ito ay binigyan ng aksiomatikong matematikal na hango sa teoriya ng probabilidad at malawakang ginagamit sa pag-aaral ng matematika, estadistika, pinansiya, pagsusugal, agham, intelehensiyang artipisyal, pagkatuto ng makina at pilosopiya. Ang probabilidad ay ginagamit upang

Mga interpretasyon

Ang salitang probabilidad ay walang singular na direktang depinisyon para sa praktikal na aplikasyon. Ang katunayan, may mga ilang malalawak na kategorya ng mga interpretasyon ng probabilidad na ang mga tagataguyod ng mga ito ay may hinahawakang mga iba't ibang(at minsan ay magkakasalungat) na mga pananaw tungkol sa pundamental na kalikasan ng probabilidad. Ang mga halimbawa nito ang sumusunod:

1. Prekwenstista(frequentist) ay tumatalakay lamang sa mga probabilidad na may kaugnayan sa mga eksperimento na randoma at maiging-nailalarawan. Ang probabilidad ng isang randomang pangyayari ay tumutukoy sa relatibong prekwensiya ng pangyayari ng kalalabasan ng eksperimento kung uulitin ang eksperimento. Ang mga prekwentista ay tumuturing sa probabilidad bilang relatibong prekwensiya ng pinal na kalalabasan(outcome).
2. Subhektibo(subjectivist) na nagtatakda ng mga bilang sa bawat subhektibong probabilidad(i.e. bilang digri ng paniniwala).
3. Bayesian na kinabibilangan ng kaalamang eksperto gayundin ang mga eksperimental na data upang bumuo ng mga probabilidad. Ang data ay sinasama sa isang punsiyong pagiging-malamang(likelihood funtion). Ang produkto ng prior at ng pagiging-malamang(likelihood) na normalisado ay magreresulta sa isang distribusyong posterior na probabilidad na naglalakip ng lahat ng impormasyon hanggang sa kasalukuyan.

Teoriya

Pangunahing artikulo: Teoriya ng probabilidad

Gaya ng ibang mga teoriya, teoriya ng probabilidad ang representasyon ng mga konseptong probabilistikong sa mga pormal na termino — na ang ibig sabihin ay sa mga terminong maituturing na hiwalay sa mga kahulugan nito. Ang mga pormal na termino ay minamanipula ng mga patakaran ng matematika at lohika at ang anumang mga resulta ay pinapakahulugan o isasalin pabalik sa sakop ng problema. Mayroong mga dalawang mga matagumpay na pagtatangka upang isa-pormula ang probabilidad na tinatawag na pormulasyong Kolmogorov at pormulasyong Cox. Sa pormulang Kolgomorov, ang mga pangkat(set) ay pinapakahulugan bilang mga pangyayari(event) at ang mismong probabilidad bilang sukat sa klase ng mga pangkat. Sa teoremang Cox, ang probabilidad ay nauunawaan bilang primitibo(na ang ibig sabihin na hindi na karagdagang sinusuri para) at ang empasis ay sa pagbuo ng mga konsistenteng pagtatakda ng mga halagang probalidad sa mga proposisyon. Sa parehong mga kaso, ang mga batas ng probabilidad ay pareho maliban sa mga detalyeng teknikal. May mga ibang mga paraan upang isabilang ang kawalang katiyakan(uncertainty) gaya ng teoriyang Dempster-Shafer o teoriya ng posibilidad ngunit ang mga ito ay sarili nito iba at hindi umaayon sa mga batas ng probabilidad na karaniwaang nauunawaan.

Mga aplikasyon

Ang teoriya ng probabilidad ay ginagamit sa pang-araw araw na buhay tulad ng pagsukat ng panganib (risk assessment) at sa pangangalakal sa mga tindahan ng kalakal (commodity market). Ang mga pamahalaan ay tipikal na naglalapat ng mga paraang probabilistiko sa regulasyon ng kapaligiran kung saan ito ay tinatawag na analisis ng daanan. Ang isang mahusay na halimbawa ang epekto ng tinatayang probabilidad ng anumang malawakang alitan sa Gitnang Silangan sa mga presyo ng langis(oil) na may paurong sulong na mga epekto sa ekonomiya sa kabuuan. Ang pagtataya ng isang mangangalakal ng komoditad na ang isang digmaan ay mas malamang laban(versus) sa hindi malamang na magpapataas o magpapaba ng mga presyo ng langis at naghuhudyat sa ibang mga mangagalakal ng opinyong ito. Alinsunod dito, ang mga probabilidad ay hindi tinataya ng independiyente o kinakailangang labis na makatwiran. Ang teoriya ng pag-aasal sa pinansiya ay lumitaw upang ilarawan ang epekto ng gayong pagiisip-ng-grupo sa pagpepresyo, patakaran at sa kapayapaan at alitan.

Maaaring makatwirang masabi na ang pagkakatuklas ng maiging mga paraan upang tayain(assess) at pagsamahin ang probabilidad ng mga pagtataya ay malalim na umapekto sa modernong lipunan. Alinsunod dito, maaaring ito may kahalagahan sa karamihan ng mga mamamayan upang maunawaan kung paanong ang mga kahigtan(odds) at pagtatayang probabilidad ay ginagawa at kung paanong ito ay nag-aambag sa mga reputasyon at mga desisyon lalo na sa demokrasya

Ang isa pang mahalagang aplikasyon ng teoriya ng probabilidad sa pang-araw araw na buhay ang reliabilidad(pagiging maasahan). Maraming mga produkto ng mamimili(consumer) gaya ng mga sasakyan at mga elektroniks ay gumagamit ng teoriya ng reliabilidad sa pagdidisenyo ng produkto upang mabawasan ang probabilidad ng pagpalpak nito. Ang probability ng kapalpakan ay maaaring mag-impluwensiya sa desisyon ng pagmamanupaktura(pagyayari) sa paniniuguro(warranty) ng produkto.

Ang modelong wikang cache at ibang mga wikang estadistikal na ginagamit sa natural na pagpoproseso ng wika ay mga halimbawa din ng mga aplikasyon ng teoriya ng probabilidad.

Pagtatratong matematikal

Tingnan din: Aksiomang probabilidad

Ituring ang isang eksperimento na maaaring maglabas ng bilang ng mga resulta. Ang kalipunan(collection) ng lahat ng mga resulta ay tinatawag na espasyong sampol ng eksperimento. Ang kapangyarihang pangkat (power set) ng espasyong sampol ay nabubuo sa pagtuturing ng lahat ng iba't ibang mga kalipunan ng mga posibleng resulta. Halimbawa, ang pag-ikot ng die ay maaaring lumikha ng anim na mga posibleng resulta. Ang isang kalipunan ng mga posibleng resulta ay nagbibigay ng bilang na odd(bilang na hindi mahahati ng 2) sa die. Samakatuwid, ang pang-ilalim na pangkat (subset) na {1,3,5} ay isang elemento ng kapangyarihang pangkat ng espasyong sampol ng mga pag-ikot ng die. Ang mga kalipunang ito ay tinatawag na mga "pangyayari"(events). Sa kasong ito, ang {1,3,5} ang pangyayari na ang die ay babagsak sa isang bilang na odd. Kung ang mga resulta na aktwal na nangyari ay bumagsak sa isang ibinigay na pangyayari, ang pangyayari ay sinasabing nangyari.

Ang probabilidad ay paraan ng pagtatakda sa bawat pangyayari ng halaga sa pagitan ng sero at isa na may hinihinging kondisyon na ang pangyayari na binubuo ng lahat ng mga posibleng resulta(sa ating halimbawa, ang pangyayaring {1,2,3,4,5,6}) ay tinatakdaan ng halagang isa. Upang maturing na probabilidad, ang pagtatakda ng mga halaga ay dapat sumapat sa hinihinging kondisyon na kung titingnan ang kalipunan ng mga mutual na eksklusibong mga pangyayari(o mga pangyayari na walang parehong resulta e.eg. ang mga pangyayaring {1,6}, {3}, and {2,4}), ang probablidad na kahit sa isa sa mga pangyayari ay mangyayari ay ibinigay ng suma(sum) ng mga probabilidad ng lahat ng mga indibidwal na pangyayari.

Ang probabilidad ng isang pangyayari na A ay isinusulat na P(A), p(A) o Pr(A). Ang matematikal na depinisyong ito ng probabilidad ay maaaring palawigin sa mga inpinidong(infinite) mga espasyong sample at kahit sa mga hindi mabibilang(uncountable) na mga espasyong sample gamit ang konsepto ng sukat.

Ang kabaligtaran o komplemento ng isang pangyayaring A ang pangyayaring [hindi A] (na ang ibig sabihin ay ang pangyayari ng A na hindi ito mangyayari). Ang probabilidad nito ay ibinibigay bilang P(not A) = 1 - P(A). Halimbawa, ang tsansa(chance) ng hindi pagbagsak sa bilang na anim sa isang may anim na pisnging die ay 1 – (chance of rolling a six) $=1-{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {5}{6}}$.

Kung ang parehong mga pangyayaring A at B ay nangyari sa isang pagsasagawa ng eksperimento, ito ay tinatawag na interseksiyon o distibusyong pinagsama ng A at B at isinusulat bilang $P(A\cap B)$.

Independiyenteng probabilidad

Kung ang dalawang pangyayaring A at B ay independiyente, ang pinagsamang probabilidad(joint probability) ay

$P(A{\mbox{ and }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B),\,$. Halimbawa, kung ang dalawang barya(coin) ay inihagis, ang tsansa na ito ay lalabas na parehong ulo(o pisnging may may larawan ng ulo) ay ${\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{4}}.$

Mutual na eksklusibo

Kung ang pangyayaring A o pangyayaring B o ang parehong pangyayari ay lumabas sa isang pagsasagawa ng eksperimento, ito ay tinatawag na union ng mga pangyayaring A at B at isinusulat bilang $P(A\cup B)$. Kung ang dalawang mga pangyayari ay mutual na eksklusibo, ang probabilidad na isa sa mga pangyayaring ito ay mangyayari ay

$P(A{\mbox{ or }}B)=P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

Halimbawa, ang tsansa ng pagbagsak sa bilang na 1 o 2 sa isang anim-na-pisnging die ay $P(1{\mbox{ or }}2)=P(1)+P(2)={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}={\tfrac {1}{3}}.$

Hindi mutual na eksklusibo

Kung ang mga pangyayari ay hindi mutual na eksklusibo, kung gayon,

$\mathrm {P} \left(A{\hbox{ or }}B\right)=\mathrm {P} \left(A\right)+\mathrm {P} \left(B\right)-\mathrm {P} \left(A{\mbox{ and }}B\right).$

Halimbawa, kung huhugot ng isang kard na randoma mula sa regular na deck ng mga kard, ang tsansa na ang mahugot ay isang puso o harapang kard na(J,Q,K) (o ng kard na parehong puso at harapan) ay ${\tfrac {13}{52}}+{\tfrac {12}{52}}-{\tfrac {3}{52}}={\tfrac {11}{26}}$ dahil sa ang isang deck ay may 52 kard kung saan ito ay may 13 na puso, 12 na harapan at 3 na parehong ito. Dito, ang mga posibilidad na sinasama sa "3 na parehong puso at harapan" ay kasama sa bawat "13 puso" at "12 harapan" ngunit dapat lamang bilangin bilang isa.

Kondisyonal na probabilidad

Ang kondisyonal na probabilidad ang probabilidad ng isang pangyayaring A kung nangyari ang isa pang pangyayaring B. Ang kondisyonal na probabilidad ay isinusulat bilang P(A|B) at binabasang "ang probabilidad ng A sa ibinigay na B". Ito ay inilalarawan bilang

$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.\,$

Kung ang $P(B)=0$, kung gayon ang $P(A\mid B)$ ay hindi mailalarawan. Pansinin na sa kasong ito, ang A at B ay independiyente(hindi magkaugnay).

Buod ng mga probabilidad

Pangyayri	Probabilidad
A	$P(A)\in [0,1]\,$
hindi A	$P(A')=1-P(A)\,$
A o B	${\begin{aligned}P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\\&=P(A)+P(B)\qquad {\mbox{if A and B are mutually exclusive}}\\\end{aligned}}$
A at B	${\begin{aligned}P(A\cap B)&=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)\\&=P(A)P(B)\qquad {\mbox{if A and B are independent}}\\\end{aligned}}$
A kung ibinigay ang B	$P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}\,$