Tatluhing tumbasan

Huwag ikalito sa Kubiko na punsiyon.

Suklaraw ng isang kabisang buuking may tatlong tunay na ugat (kung saan ang curve ay tumatawid sa pahalang na agwatan (axis) sa y = 0 ). Ang kaso na ipinakita ay may dalawang kritikal na punto. Dito, ang kabisa ay ${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{4}}\left(x^{3}+3x^{2}-6x-8\right)\\&={\frac {1}{4}}(x-2)(x+1)(x+4)\end{aligned}}$ at samakatuwid ang tatlong tunay na ugat ay 2, −1 at −4.

Sa mulaing panandaan, ang isang tatluhing tumbasan, buuking tumbasan o kubikong tumbasan (Ingles: cubic equation) sa isang aligin ay isang tumbasan sa anyong$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ kung saan hindi sero ang a.

Sa lahatan, ang kubikong tumbasan sa $n$ aligin ay tumbasang maisusulat sa anyong

$$P(\underbrace {x,y,z...a} _{n{\text{ beses}}})=0$$

Kung saan isang damikay ang P sa ikatlong antas o digri.

Ibinabang buukin

SInasabing nasa ibinabang anyo ang mga buuking tumbasang nasa anyong$$t^{3}+pt+q$$Bagaman mas simple ito kaysa sa lahatang kubiko, sila ay nagsisilbing batayan sapagka't maisusulat ang lahat ng buukin sa anyong ito sa pamamagitan ng pagpapalit ng aligin.

Kung$$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$$ at ititumbas ang $x$ sa halagang$$x=t-{\frac {b}{3a}}$$ nagbibigay ng kubiko (sa t) na walang takay sa t².

Pagkatapos hatiin sa a, makukuha ang ibinabang tumbasang$$t^{3}+pt+q=0,$$kung saan$${\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}$$

Nauugnay ang mga ugat $x_{1},x_{2},x_{3}$ ng orihinal na tumbasan sa mga ugat $t_{1},t_{2},t_{3}$ ng ibinabang anyo sa pamamagitan ng mga ugnayang$$x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},$$ at $i=1,2,3$.

Sanyo ni Cardan

Pangunahing artikulo: Sanyo ni Cardan

Kinilala si Gerolamo Cardano (kilala rin sa ngalang Cardan) sa paglathala ng unang sanyo para sa paglutas ng mga buuking tumbasan, na iniugnay niya kanila Scipione del Ferro at Niccolo Fontana Tartaglia sa pagkatuklas nito. Bagaman para sa ibinababang buukin ang pormula, magagamit ito sa lahatang anyo sapagka't maisusulat ang lahat ng tumbasang kubiko sa ibinabang anyo.

Sinasaad ng sanyo ni Cardan na kung$$t^{3}+pt+q=0$$kung saan tunay na bilang ang p at q kung saan positibo ang ${\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}$ (nangangahulugang negatibo ang talangi ng tumbasan), samakatuwid may tunay na ugat ang tumbasan na katumbas sa:$${\sqrt[{3}]{u_{1}}}+{\sqrt[{3}]{u_{2}}},$$ kung saan ang $u_{1}$ at $u_{2}$ ay ang dalawang numerong $-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}$ at $-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.$

Patunay

Hawig ang pamamaraang ito sa linathala ni Cardan sa kanyang akdang Ars Magna, na ginamit upang malutas ang $t$ sa tumbasang $t^{3}+pt+q=0$. Kung gagawing $t=u+v$ sa alitkadaing aliging $u$ at $v$, makukuha ang $$u^{3}+v^{3}+(3uv+p)(u+v)+q=0$$ matapos ng ilang manipulasyon. Upang mapadali ang pagmamanipula sa tumbasan, pinasubali ni Cardan na $3uv+q=0$ (Magagawa ito dahil naglagay tayo ng dalawang alitakdaing aligin.) Samakatuwid, $${\begin{aligned}u^{3}+v^{3}&=-q\\uv&=-{\frac {p}{3}}.\end{aligned}}$$ Kung gagamitin ang mga sanyo ni Vieta, mapapansin na parehong lutas ang $u^{3}$ at $v^{3}$ ng dawaking tumbasang $$x^{2}+qx-{\frac {p^{3}}{27}}=0.$$ dahil $u^{3}+v^{3}=-q$ at $u^{3}v^{3}=-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}$. Kung gagamitin ang sanyong dawakin, makukuha na

$$x=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}.$$ Sagayon, nang di nawawala ang pagkalahatan sa pagpili ng $u$ at $v$ (dahil parianyuing tumbasan ang $t=u+v$), $$u={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}$$ $$v={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$$ Mula rito, makukuha na ang sanyo ni Cardan: $$t={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.$$ Kung hindi iingatan ang paggamit nito, maaaring makakuha ng siyam (o kahi't labingwalong) ugat sa tumbasang $t^{3}+pt+q=0$, kahi't may tatlo lamang ugat ang isang buuking tumbasan. Upang matugunan ito, kinukuha lamang natin ang mga ugat na lumalapat (satisfies) sa pasubaling $uv=-{\frac {p}{3}}$. Makukuha naman ang ibang dalawang ugat sa tulong ng Hunaing DeMoivre.

Lahatang sanyo

Sa lahatang tumbasang $ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$ ($a\neq 0$), ang lahatang buuking sanyo ay

$x_{1}=-{\frac {b}{3a}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}$

$x_{2}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}$

$x_{3}=-{\frac {b}{3a}}+{\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}+{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}+{\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}{\sqrt[{3}]{{\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}-{\sqrt {\left({\frac {bc}{6a^{2}}}-{\frac {b^{3}}{27a^{3}}}-{\frac {d}{2a}}\right)^{2}+\left({\frac {c}{3a}}-{\frac {b^{2}}{9a^{2}}}\right)^{3}}}}}$

kung saan parehong kalutasan ang ${\frac {-1+{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}$ at ${\frac {-1-{\sqrt {3}}\,{\rm {i}}}{2}}$ sa tumbasang $x^{3}-1=0$. Makukuha ang mga tumbasang ito sa pamamagitan ng paghulip ng mga halagang $${\begin{aligned}t={}&x+{\frac {b}{3a}}\\p={}&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q={}&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}$$ sa sanyo ni Cardan na ginamit sa paglalagay ng isang buuking tumbasan sa ibinabang anyo nito (Tignan ang #Ibinabang buukin.)

Talangi

Pangunahing artikulo: Talangi

Katumbas ang talangi ng isang buuking tumbasang $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ sa $$18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.$$

Tingnan din

• Apating tumbasan
• Limahing tumbasan
• Pagbabago ng Tschirnhaus
• Pangunahing anyo ng tumbasan

Mga sanggunian

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.