Distribusyon (matematika)

Sa matematika, ang teoriya ng distribusyon ay isang heneralisasyon ng isang punsyon. Tinatawag din distribusyong Schwartz, ipinakilala ang mga distribusyon sa gitnang ika-20 dantaon ni Laurent Schwartz, na nakatanggap ng Medalyang Fields para sa kanya gawa dito. Nakuha niya ang medalya noong 1950 sa kaganapang International Congress of Mathematicians (Internasyunal na Kongreso ng mga Matematiko) sa Pamantasang Harvard, Cambridge, Massachusetts. Maikukumpara ang Medalya Fields sa Premyong Nobel sa matematika, na walang ganitong kategorya. Bagaman, may naunang konsepto bago pagpapakilala ni Schwartz sa teoriya ng distribusyon. Sa katunayan, binanggit ni Schwartz sa kanyang papel na may pagkapareho ang kanyang distribusyon sa naunang gawa ni Salomon Bochner tungkol sa mga integral na Fourier.

Ipinakilala ang mga distribusyon upang imodelo ang ilang mga konsepto mula sa pisika. Mayroong konsepto ang pisika ng mga punto ng masa sa espasyo. Ang punsyon Dirac delta ay maaring imodelo ang isang kargang elektromagnetiko ng isang punto sa espasyo. Sero ang punsyong Dirac delta kahit saan man, maliban sa isang punto, kung saan wala itong katapusang malaki. Kailangang maging ganito ang kaso, dahil punsyong densidad ay kailangan maging 1. Walang punsyon ang nakakatugon sa ganitong pamantayan, maliban kung ang integrasyon ay kinuha bilang isang punsyon sa matematikong kahulugan.

Ginagamit ngayon ang mga distribusyon sa iba't ibang larangan ng matematika at pisika, halimbawa, ang pagmodelo ng mga bahaging ekwaksyong diprerensyal o analisis na Fourier, na mahalaga para sa elektrodinamikang kuwantum o pagproseso ng panenyas. Naging mahalaga din ito sa prinsipal na matematika dahil pinahalo nito ang mga pangunahing paksa.

Nagawa ni Schwartz ang teoriya ng distribusyon mula sa pangkalahatang solusyon:

$$u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct).$$

hanggang sa ekwasyong daluyong o wave equation:

$${\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=0.$$

Sang-ayon din kay Schwartz, ang

$$F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ at }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)$$

ay hinahawak sa loob ng espasyo ng pinahinang mga distribusyon.