Tingnan ang wikitext ng Matematika

{{Use dmy dates}}<!-- Panatilihin ang paggamit sa tuldik sa unang banggit ng paksa. -->
[[Talaksan:CMAP_-_Centre_de_Mathématiques_Appliquées_de_l'Ecole_polytechnique_(25911635211).jpg|thumb|Isa ang matematika sa mga larangang itinuturo sa lahat ng antas ng edukasyon.]]
'''Matemátiká'''<ref name=":0">{{Cite web |title=matematika - Diksiyonaryo |url=https://diksiyonaryo.ph/search/matematika |access-date=13 Hunyo 2024 |website=diksiyonaryo.ph}}</ref>{{efn|ibang katawagan: '''sipnayan'''<ref name="maugnayin"/>}} ang larangan ng [[kaalaman]] na pangunahing nakatuon sa mga bilang, komputasyon, pormula, estraktura, hugis, espasyo, kantidad, at ang mga pagbabago nito. Dahil sa lawak ng saklaw ng larangan, wala itong napagkakasunduang isang tiyak na kahulugan, bagamat may mga [[matematiko]] at akademikong nagsubok na bigyang-kahulugan ito sa kasaysayan. Ang modernong matematika ay nahahati sa mga pangunahing sangay na kinabibilangan ng [[teorya ng bilang]], [[alhebra]], [[heometriya]], at [[pagsusuring matematikal|pagsusuri]]. Itinuturing ito bilang isang napakahalagang larangan kung saan nakaangkla ang ibang mga larangan, tulad halimbawa ng [[likas na agham]], [[inhinyera]], [[medisina]], [[pananalapi]], [[agham pangkompyuter]], at [[agham panlipunan]]. Bagamat ginagamit ang larangan sa pagmomodelo sa mga penomena, hiwalay sa mga maagham na teorya at eksperimento ang mga pangunahing katotohanan ng matematika. May ilang sangay na nadebelop upang magamit sa ibang mga larangan, tulad ng [[estadistika]] at [[teorya ng laro]], at madalas na ginugrupo sa ilalim ng [[matematikang nalalapat]]. Samantala, may mga sangay naman na hiwalay na nadebelop nang walang gamit sa simula, at ginugrupo sa ilalim ng [[purong matematika]], bagamat kalauna'y nakahanap rin ang mga ito ng paggamit dahil sa samu't saring dahilan, tulad ng pag-usad ng [[teknolohiya]].

Sentro sa mga gawain sa matematika ang paghahanap sa mga katangian ng mga [[matematikal na bagay|basal na bagay]] ({{lang-en|abstract objects}}) gamit ang [[pagdadahilan]] upang [[matematikal na patunay|patunayan]] ang mga ito. Madalas ito ay isang likas na [[Kabasalan (matematika)|kabasalan]], o di kaya'y mga entidad na itinuturing na may mga partikular na katangian o mga [[aksoma]]. ''Patunay'' ang tawag sa mga resultang ginamitan ng sunod-sunod na paglalapat ng mga [[tuntuning imperensiyal|tuntunin]] sa [[imperensiya]] upang masabing totoo nga ito. Kasama sa mga resultang ito ay ang mga napatunayan na'ng [[teorema]], aksoma, at ilang mga panimulang katangian na kinilala bilang mga tunay na simulain sa paggawa ng teorya.

[[Sinaunang Gresya|Mga Griyego]] ang nagpasimula sa paggamit ng mga patunay sa matematika. Pinakasikat sa mga patunay ng [[matematikang Griyego]] ang ''[[Mga Elemento ni Euclides|Mga Elemento]]'' ni [[Euclides]]. Simula pa noon, hinahati na ang matematika sa dalawang sangay: heometriya at [[aritmetika]]. Nagbago ito simula noong ika-16 na siglo, nang sinama ang [[alhebra]] at [[kalkulo]]. Mula sa puntong yon, naging madalas na ang paggamit ng matematika upang makagawa ng mga [[pagtuklas]] sa agham. Naging sentro ng debate noong ika-19 na siglo ang mga [[haligi ng matematika]], na nagbigay-daan upang mabuo ang [[sistemang aksomatiko]]. Sa modernong panahon, kasalukuyang kinilala ng [[Mathematics Subject Classification]] ang 60 larangan bilang mga pangunahing sangay ng matematika.<ref name=":1">{{cite journal |last1=Dunne |first1=Edward |last2=Hulek |first2=Klaus |author2-link=Klaus Hulek |date=March 2020 |title=Mathematics Subject Classification 2020 |url=https://www.ams.org/journals/notices/202003/rnoti-p410.pdf |url-status=live |journal=Notices of the American Mathematical Society |language=en |volume=67 |issue=3 |pages=410–411 |doi=10.1090/noti2052 |issn=0002-9920 |eissn=1088-9477 |lccn=sf77000404 |oclc=1480366 |archive-url=https://web.archive.org/web/20210803203928/https://www.ams.org/journals/notices/202003/rnoti-p410.pdf |archive-date=3 Agosto 2021 |access-date= |quote= |doi-access=free}}</ref>

== Etimolohiya ==
Nagmula ang salitang "matematika" sa [[wikang Kastila]] na ''matemática,<ref name=":0" />'' na nagmula naman mula sa [[wikang Griyego]] na ''mathēmatiká'' ({{Lang-gr|μαθηματικά}}). Nagmula naman ito mula sa [[Sinaunang Gresya|sinaunang Griyegong]] ''máthēma'' ({{Lang-gr|μάθημα}}, {{Literal na pagsasalin|mga bagay na nalalaman}}), na nanganguhulugang "[[agham]]" o "[[Edukasyon|pag-aaral]]", bagamat nagkaroon ito ng mas makitid na kahulugan pagsapit ng [[panahong klasikal]] sa [[Gresya]].<ref name="EOD_n">{{cite encyclopedia |title=Mathematic (n.) |dictionary=[[Online Etymology Dictionary]] |url=https://www.etymonline.com/word/mathematic |access-date= |last=Harper |first=Douglas |date=28 Marso 2019 |language=en |trans-title=Matematika (png.) |archive-url=https://web.archive.org/web/20130307093926/http://etymonline.com/index.php?term=mathematic&allowed_in_frame=0 |archive-date=7 Marso 2013 |url-status=live}}</ref>{{efn|Halimbawa nito ang paggamit ni [[Platon]] sa ika-6 na aklat, bahagi 510c ng kanyang ''[[Republika (Platon)|Republika]]'', bagamat hindi niya itong direktang sinabi.<ref>{{cite book|author=Platon|year=1969|orig-date=375 BKP|author-link=Platon|url=https://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 |title=Republic|trans-title=Republika|lang=en|translator=Paul Shorey|publisher=Harvard University Press|url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20210224152747/http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Plat.+Rep.+6.510c&fromdoc=Perseus%3Atext%3A1999.01.0168 |archive-date=24 Pebrero 2024}}</ref>}} Ang [[pang-uri]] nito ay ''mathēmatikós'' ({{Lang-gr|μαθηματικός}}), na nangangahulugang "mahilig mag-aral"; dito nanggaling ang salitang "matematikal".<ref>{{cite encyclopedia |title=Mathematical (adj.) |dictionary=[[Online Etymology Dictionary]] |url=https://www.etymonline.com/word/mathematical |access-date= |last=Harper |first=Douglas |date=22 Disyembre 2018 |language=en |trans-title=Matematikal (pnu.) |archive-url=https://web.archive.org/web/20221126170916/https://www.etymonline.com/word/mathematical |archive-date=26 Nobyembre 2022 |url-status=live}}</ref> ''Mathēmatikoi'' ({{Lang-gr|μαθηματικοί}}) ang tawag noon sa mga estudyante, bagamat dito nanggaling ang salitang "[[matematiko]]". Ang mga tagasunod ng [[Pitagorasismo]] ang nagpakitid sa kahulugan nito upang tukuyin lamang ang [[aritmetika]] at [[heometriya]]. Pagsapit ng kapanahunan ni [[Aristoteles]], ganito na ang kahulugan ng matematika.<ref>{{cite journal |last=Perisho |first=Margaret W. |date=Tagsibol 1965 |title=The Etymology of Mathematical Terms |url=https://archive.org/details/sim_pi-mu-epsilon-journal_spring-1965_4_2/page/62 |trans-title=Ang Etimolohiya ng mga Terminong Pangmatematika |journal=[[Pi Mu Epsilon Journal]] |language=en |volume=4 |issue=2 |pages=62–66 |issn=0031-952X |jstor=24338341 |lccn=58015848 |oclc=1762376}}</ref>

[[Astrolohiya]] (o sa ibang kaso, [[astronomiya]]) ang karaniwang ibig sabihin ng matematika hanggang noong bago ang ika-16 na siglo. Nagbago ang kahulugan nito patungo sa modernong kahulugan nito pagsapit ng ika-19 na siglo. Nagresulta ang pagbabagong ito sa mga maling pagsasalin sa naturang salita; halimbawa, maling naisalin ang babala ni [[Agustin ng Hipona|San Agustin]] sa mga [[Kristiyanismo|Kristiyano]] sa kanyang kasulutan kontra sa mga ''mathematici''. Astrologo ang ibig sabihin nito nung panahong niya, hindi matematiko, bagamat ginagamit pa rin ang pagkakamaling ito ng mga panatiko upang ikondena ang mga matematiko.<ref name="Boas">{{cite book |last=Boas |first=Ralph P. |author-link=Ralph P. Boas Jr. |title=Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories |url=https://archive.org/details/lionhuntingother0000boas |publisher=[[Mathematical Association of America]] |year=1995 |isbn=978-0-88385-323-8 |editor-last1=Alexanderson |editor-first1=Gerald L. |page=[https://archive.org/details/lionhuntingother0000boas/page/257 257] |language=en |trans-title=Pangangaso sa Leon at Ibang Mga Tunguhing Matematikal: Koleksyon ng Matematika, Berso, at Kuwento |chapter=What Augustine Didn't Say About Mathematicians |trans-chapter=Kung Anong Hindi Sinabi ni San Agustin Patungkol sa mga Matematiko |lccn=94078313 |oclc=633018890 |editor-last2=Mugler |editor-first2=Dale H.}}</ref>

Sa wikang Kastila nagmula ang modernong salitang Tagalog na "matematika". Ang ''matemática'' ay isang [[Pangngalan|pangngalang]] isahan ({{Lang-en|singular noun}}); ang maramihan nito ay ''matemáticas'', na siyang opisyal na salin nito sa wikang Kastila.<ref name="GALL">{{Cite web |last=Gallardo |first=Susana |date=7 Agosto 2013 |title=Matemática o matemáticas ¿Una cuestión de número? |trans-title=''Matemática'' o ''matemáticas'' Tanong ng bilang? |url=https://nexciencia.exactas.uba.ar/matematica-matematicas-lexicografia |website=NEXciencia |publisher=[[Pamantasan ng Buenos Aires]] |language=es}}</ref> Ganito rin ang kaso sa ibang [[mga wikang Romanse]], lalo na sa [[wikang Ingles]] na ''mathematics''. May mga teorya na dahil ito sa pagsalin sa sinaunang Griyego na ''ta mathēmatiká'' ({{Lang-gr|τὰ μαθηματικά}}), na nangangahulugang "lahat ng mga may kinalaman sa matematika", bagamat posible rin na nagmula lang din ito sa pang-uri nito at ginaya ng mga mananalitang Ingles ang lohika ng mga salitang ''physics'' ([[pisika]]) at ''metaphysics'' ([[metapisika]]), na parehong nasa anyong maramihan kahit na isahan lang ito. Pinapaikli rin ang salita bilang ''math'', na popular na ginagamit din sa Pilipinas, o ''maths'' sa [[Wikang Ingles|Britanikong Ingles]].<ref>{{cite web |title=Maths (Noun) |url=https://www.oed.com/dictionary/maths_n |access-date= |website=[[Oxford English Dictionary]] |publisher=[[Oxford University Press]] |language=en}}</ref><ref>{{cite web |title=Math (Noun³) |url=https://www.oed.com/dictionary/math_n3 |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20200404201407/http://oed.com/view/Entry/114982 |archive-date=4 Abril 2020 |access-date= |website=[[Oxford English Dictionary]] |publisher=[[Oxford University Press]] |language=en}}</ref>

Samantala, isang [[neolohismo]] ang salitang "sipnayan". Nagmula ito sa diksiyonaryong ''[[Maugnaying Talasalitaan]]'' (1969) bilang bahagi ng mga mungkahi ng paggawa ng mga [[Wikang Filipino|salitang Pilipino]] na kombinasyon ng mga [[Mga wika sa Pilipinas|wikang rehiyon ng Pilipinas]]. Sa salitang ito, nabuo ito mula sa pinagsamang [[Mga wikang Bisaya|salitang Bisaya]] na ''isip'' ("matematika") at hanayan. Tulad ng marami sa mga mungkahi ng diksiyonaryo, hindi ito madalas gamitin sa karaniwang diskurso.<ref>{{Cite book|title=Tradisyon at wikang Filipino|url=https://books.google.com/books?id=9Y9kAAAAMAAJ&newbks=0&hl=en|publisher=Sentro ng Wikang Filipino, Sistemang Unibersidad ng Pilipinas|date=1997|isbn=978-971-8781-69-2|language=tl|first=Virgilio S.|last=Almario}}</ref><ref name="maugnayin">{{Maugnayin|salita=sipnayan|pahina=39}}</ref>

== Kasaysayan ==
{{main|Kasaysayan ng matematika}}
=== Sinaunang panahon ===
{{multiple image|align=right|perrow=2|total_width=280|direction=horizontal|image1=Euclid statue, Oxford University Museum of Natural History, UK - 20080315.jpg|image2=Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|image3=Raffael 068.jpg|image4=Hipparchus by Raphael.jpg|footer=Taas pababa, kaliwa pakanan: [[Euclides]], [[Arkimedes]], [[Pitagoras]]. at [[Hiparco]].}}Tinatayang [[pagbibilang|nagbibilang]] na ang mga [[sinaunang tao]] simula pa noong {{BKP|44000|link=y}}.<ref>{{Cite web |title=Early Human Counting Tools |trans-title=Mga Sinaunang Kagamitang Pambilang ng mga Tao |url=https://mathtimeline.weebly.com/early-human-counting-tools.html |access-date= |website=Math Timeline |language=en}}</ref> Kaya nilang magbilang ng parehong mga pisikal at abstraktong bagay tulad ng araw, buwan, taon, at panahon.<ref>{{Cite book |last=Zaslavsky |first=Claudia |author-link=Claudia Zaslavsky |title=Africa Counts: Number and Pattern in African Culture. |date=1999 |publisher=Chicago Review Press |isbn=978-1-61374-115-3 |language=en |trans-title=Nagbibilang ang Aprika: Bilang at Terno sa Kulturang Aprikano. |oclc=843204342}}</ref> Ganito nagsimula ang matematika hanggang noong {{BKP|3000|link=}}, nang nagsimulang gamitin ng mga taga-[[Babylonia]] at [[sinaunang Ehipto|Ehipto]] ang mga panimulang elemento ng [[aritmetika]], [[heometriya]], at maging [[alhebra]] sa kanilang mga gawain, tulad ng [[pagbubuwis]], [[pera]], [[konstruksiyon]], at [[astronomiya]].{{sfn|Kline|1990|loc=Kabanata 1}} Tinatayang ginawa noong {{BKP|2000}} hanggang {{BKP|1800}} ang mga pinakalumang tekstong pangmatematika sa [[Mesopotamia]] at Ehipto. Marami sa mga ito ang nagpapahiwatig na alam na nila (o may ideya sila kahit papaano) ang konsepto ng [[teorema ni Pitagoras]], <math class="inline">a^2 + b^2 = c^2</math>. Sa [[matematika ng Babylonia]] unang lumitaw sa kasaysayan ang apat na pangunahing operasyon ng [[mababang aritmetika]]: [[pagdaragdag]], [[pagbabawas]], [[pagpaparami (matematika)|pagpaparami]], at [[paghahati]]. Gumamit din sila ng [[notasyong posisyonal]] na nakaayon sa [[seksahesimal]] na sistema ng bilang, na ginagamit pa rin sa modernong panahon para sa pagbibilang ng oras at [[anggulo]].{{sfn|Boyer|1991|loc="Mesopotamia" pp. 24–27}}

Nagsimulang maging ganap na larangan ang [[Matematikang Griyego|matematika ng mga sinaunang Griyego]] pagsapit ng {{BKP|ika-6 na siglo|link=}}, at hinihiwalay na ito mula sa agham ng ilang mga Griyego tulad ng mga tagasunod ni [[Pitagoras]].<ref>{{cite book |last=Heath |first=Thomas Little |author-link=Thomas Heath (klasista) |url=https://archive.org/details/historyofgreekma0002heat/page/n14 |title=A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid |date=1981 |publisher=Dover Publications |isbn=978-0-486-24073-2 |location=New York |page=1 |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Matematikang Griyego: Mula Tales hanggang Euclides |orig-date=1921 |url-access=registration}}</ref> Bandang {{BKP|300|link=}}, sinimulang kolektahin ni [[Euclides]] ang kaalaman ng mga Griyego sa matematika sa pamamagitan ng paggawa ng mga [[palagay]] at mga unang prinsipyo, na kalauna'y nagresulta upang mabuo ang [[kaparaanang aksomatiko]] na ginagamit sa matematika magpahanggang ngayon.<ref>{{Cite journal |last=Mueller |first=I. |date=1969 |title=Euclid's Elements and the Axiomatic Method |trans-title=''Mga Elemento'' ni Euclides at ang Kaparaanang Aksomatiko |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |language=en |volume=20 |issue=4 |pages=289–309 |doi=10.1093/bjps/20.4.289 |issn=0007-0882 |jstor=686258}}</ref> Kinokonsidera ang kanyang aklat na [[Mga Elemento ni Euclides|''Mga Elemento'']] bilang isa sa mga pinakamatatagumpay na nalathalang aklat sa kasaysayan.{{sfn|Boyer|1991|loc="Euclid of Alexandria" p. 119}} Si [[Arkimedes]] ang itinuturing na pinakamahusay na matematiko ng sinaunang panahon dahil sa kanyang mga nagawa sa larangan,{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 120}} kabilang na ang mga [[solido ng paglibot]] ({{lang-en|solid of revolution}}) at ang [[paraang sapilitan]] ({{lang-en|method of exhaustion}}) upang makompyut ang [[sukat]] ng isang [[parabola]] gamit ang [[serye (matematika)|sumasyon ng isang seryeng walang-hanggan]], paraang di nalalayo sa modernong konsepto ng [[kalkulo]].{{sfn|Boyer|1991|loc="Archimedes of Syracuse" p. 130}} Bukod dito, ilan sa mga natatanging ambag ng mga sinaunang Griyego ay ang pag-aaral sa mga [[Apa (matematika)|apa]] ({{lang-en|conic}}), [[trigonometriya]], at mga simulain ng [[alhebra]].{{sfn|Boyer|1991|loc="Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180}}{{sfn|Boyer|1991|loc="Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162}}{{sfn|Boyer|1991|loc="Apollonius of Perga" p. 145}}

Ang pinakaginagamit na sistema ng bilang ngayon, [[Sistemang pambilang Hindu-Arabo|sistemang Hindu-Arabo]], ay [[Matematika ng India|nagsimula sa India]] noong {{KP|unang milenyo}} at naipasa sa [[Kanluraning Mundo]] sa pamamagitan ng [[matematikang Islam]].<ref>{{cite book |last=Ore |first=Øystein |author-link=Øystein Ore |url={{GBurl|id=Sl_6BPp7S0AC|pg=IA19}} |title=Number Theory and Its History |publisher=Courier Corporation |year=1988 |isbn=978-0-486-65620-5 |pages=19–24 |language=en |trans-title=Teorya ng bilang at ang Kasaysayan nito |access-date=}}</ref> Bukod dito, sa India rin nagsimula ang modernong kahulugan at pagtataya sa [[sine at cosine]], gayundin sa isang sinaunang anyo ng [[Serye (matematika)|seryeng walang-hanggan]].<ref>{{cite journal |last=Singh |first=A. N. |date=Enero 1936 |title=On the Use of Series in Hindu Mathematics |trans-title=Ukol sa Paggamit ng Serye sa Matematikang Hindu |journal=Osiris |language=en |volume=1 |pages=606–628 |doi=10.1086/368443 |jstor=301627 |s2cid=144760421 | issn = 0369-7827}}</ref><ref>{{cite book |last1=Kolachana |first1=A. |title=Studies in Indian Mathematics and Astronomy |last2=Mahesh |first2=K. |last3=Ramasubramanian |first3=K. |publisher=Springer |year=2019 |isbn=978-981-13-7325-1 |series=Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences |publication-place=Singapore |pages=438–461 |language=en |trans-title=Pag-aaral sa Matematika at Astronomiya ng India |chapter=Use of series in India |trans-chapter=Paggamit ng serye sa India |doi=10.1007/978-981-13-7326-8_20 |s2cid=190176726}}</ref>

=== Mula Gitnang Kapanahunan ===
{{multiple image|align=right|perrow=2|total_width=280|direction=horizontal|image1=Frans Hals - Portret van René Descartes.jpg|image2=Carl Friedrich Gauss.jpg|image3=Leonhard Euler - Jakob Emanuel Handmann (Kunstmuseum Basel).jpg|image4=Kurt Gödel.png|footer=Taas pababa, kaliwa pakanan: [[Rene Descartes]], [[Carl Friedrich Gauss]], [[Leonhard Euler]], at [[Kurt Gödel]].}}Noong [[Ginintuang Panahon ng Islam]], lalo na noong ika-9 at ika-10 siglo, nagkaroon ng mga mahahalagang pag-abante sa pag-aaral sa matematikang Griyego sa [[Gitnang Silangan]]. Pinakamahalaga sa mga ito ay ang pagdebelop sa [[alhebra]], gayundin sa [[trigonometriyang pang-ispero]] ({{lang-en|spherical trigonometry}}) at [[Panghiwalay ng desimal|tuldok pandesimal]] sa sistema ng bilang.<ref>{{Cite book |last=Saliba |first=George |author-link=George Saliba |title=A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam |url=https://archive.org/details/historyofarabica0000sali |date=1994 |publisher=New York University Press |isbn=978-0-8147-7962-0 |language=en |trans-title=Kasaysayan ng astronomiyang Arabo: mga teoryang pamplaneta noong ginintuang panahon ng Islam |oclc=28723059}}</ref> Nagmula sa Persia ang karamihan sa mga mahahalagang matematiko ng panahong ito, tulad nina [[Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī|Al-Khwarizmi]], [[Omar Khayyam]], at [[Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī]].<ref>{{cite journal |last=Faruqi |first=Yasmeen M. |year=2006 |title=Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise |trans-title=Mga ambag ng mga iskolar na Muslim sa maagham na tunguhin |url=https://eric.ed.gov/?id=EJ854295 |url-status=live |journal=International Education Journal |language=en |publisher=Shannon Research Press |volume=7 |issue=4 |pages=391–399 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221114165547/https://eric.ed.gov/?id=EJ854295 |archive-date=14 Nobyembre 2022 |access-date=}}</ref> Sinalin ang mga gawa nila gayundin ang mga gawa ng mga Griyego at Arabo sa [[wikang Latin]], na kalauna'y nakarating sa Europa noong [[Gitnang Kapanahunan]].<ref>{{cite journal |last=Lorch |first=Richard |date=Hunyo 2001 |title=Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages |trans-title=Griyego-Arabo-Latin: Ang Paglipat ng mga Tekstong Matematikal sa Gitnang Kapanahunan |url=https://epub.ub.uni-muenchen.de/15929/1/greek-arabic-latin.pdf |url-status=live |format=PDF |journal=Science in Context |language=en |publisher=Cambridge University Press |volume=14 |issue=1–2 |pages=313–331 |doi=10.1017/S0269889701000114 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221217160922/https://epub.ub.uni-muenchen.de/15929/1/greek-arabic-latin.pdf |archive-date=17 Disyembre 2022 |access-date= |s2cid=146539132}}</ref>

Bumilis ang pag-usad ng matematika sa [[kanlurang Europa]] pagsapit ng [[maagang modernong panahon]]. Sa panahong ito lumitaw ang mga [[baryable]] at notasyong simboliko na unang ginamit ni [[François Viète]]. Ginawa naman ni [[John Napier]] ang konsepto ng [[logaritmo]], na nagpabilis sa mga kalkulasyon sa astronomiya at [[paglalayag]]. Si [[Rene Descartes]] ang nagpakilala sa konsepto ng [[Sistema ng koordinado|koordinado]], na nakatulong upang magamit ang alhebra sa [[heometriya]]. Samantala, magkahiwalay namang naimbento nang sabay ang [[kalkulo]] nina [[Isaac Newton]] at [[Gottfried Leibniz]]. Si [[Leonhard Euler]] naman ang kinokonsidera bilang ang pinakamahalagang matematiko ng ika-18 siglo dahil sa kanyang paggawa ng isang pamantayang terminolohiya para sa mga larangang ito gayundin sa mga pagkumpleto niya sa mga ito sa pamamagitan ng pagtuklas at pagpapatunay sa samu't-saring mga teorema.<ref>{{Cite book |last=Kent |first=Benjamin |url=http://rguir.inflibnet.ac.in/bitstream/123456789/16963/1/9781984668677.pdf |title=History of Science |publisher=Bibliotex Digital Library |year=2022 |isbn=9781984668677 |volume=2 |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Agham |format=PDF |url-status=dead |access-date=16 Hunyo 2024 |archive-date=16 Hunyo 2024 |archive-url=https://web.archive.org/web/20240616032343/http://rguir.inflibnet.ac.in/bitstream/123456789/16963/1/9781984668677.pdf }}</ref>

Si [[Carl Friedrich Gauss]] naman ang kinokonsiderang pinakamahalagang matematiko ng ika-19 na siglo dahil sa kanyang mga ambag sa alhebra, [[pagsusuring matematikal|pagsusuri]], [[heometriyang deribatibo]], [[matris (matematika)|matris]], [[teorya ng bilang]], at [[estadistika]].<ref>{{cite journal |last=Archibald |first=Raymond Clare |author-link=Raymond Clare Archibald |date=Enero 1949 |title=History of Mathematics After the Sixteenth Century |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1949-01_56_1/page/35 |trans-title=Kasaysayan ng Matematika Matapos ng Ika-16 na Siglo |journal=The American Mathematical Monthly |series=Part 2: Outline of the History of Mathematics |language=en |volume=56 |issue=1 |pages=35–56 |doi=10.2307/2304570 |jstor=2304570}}</ref> Samantala, nilathala naman ni [[Kurt Gödel]] ang kanyang [[Mga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel|mga teorema ng di-pagkakumpleto]] ({{lang-en|incompleteness theorems}}) na nagpabago sa matematika dahil sa ideya na may mga totoong proposisyon na hindi kailanman mapapatunayan sa isang konsistent na sistemang aksomatiko na kayang ilarawan ang [[aritmetika]].<ref name="Raatikainen_2005">{{cite journal |last=Raatikainen |first=Panu |date=Oktubre 2005 |title=On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems |trans-title=Ukol sa Kahalagahang Pilosopikal ng mga Teorema ng Di-Pagkakumpleto ni Gödel |url=https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |url-status=live |journal=Revue Internationale de Philosophie |language=en |volume=59 |issue=4 |pages=513–534 |doi=10.3917/rip.234.0513 |jstor=23955909 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221112212555/https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |archive-date=12 Nobyembre 2022 |access-date= |s2cid=52083793}}</ref>

Mabilis ang pag-usad ng matematika sa ika-20 siglo at papasok sa ika-21 siglo, lalo na sa tulong ng mga makabagong teknolohiya tulad ng mga [[kompyuter]] at [[superkompyuter]]. Noong 2006 halimbawa, nasa database ng dyornal na ''[[Mathematical Reviews]]'' ang mahigit kumulang 1.9 milyong papeles at aklat simula noong unang isyu nito noong 1940, na nadadagdagan pa nang 75 libo kada taon, karamihan mga bagong teorema at ang kani-kanilang mga patunay.{{sfn|Sevryuk|2006|pp=101–109}}

== Pagsulat at terminolohiya ==
{{Main|Notasyong matematikal|Wika ng matematika}}
[[Talaksan:Sigma summation notation.svg|thumb|Pagsulat sa [[sumasyon]].]]
Ginagamit ang [[notasyong pangmatematika]] sa [[agham]] at [[inhinyera]] para ipakita ang mga komplikadong konsepto at katangian sa paraang konsistent, tiyak, at tumpak. Gumagamit ang mga ito ng mga simbolo para sa mga [[Operasyon (matematika)|operasyon]], di-tiyak na bilang, [[Relasyon (matematika)|relasyon]], at ibang mga bagay sa matematika, kung saan pinagsasama sila sa isang ekspresyon o pormula. [[Baryable]] ang tawag sa mga simbolong ginagamit para sa mga bilang at ibang mga bagay, na kadalasan nakasulat sa [[sulat Latin]] o [[sulat Griyego|Griyego]], at minsan ay [[Subscript at superscript|nakaangat]] ({{lang-en|superscript}}). Ipinapakita ang mga operasyon at relasyon gamit ang mga partikular na simbolo o [[glipo]], such halimbawa ng + ([[Pagdaragdag|pagdagdag]]), <math display="inline">\int</math> ([[Kalkulong integral|integral]]), at = ([[Ekwasyon|katumbas]]).

Nakabuo ang mga matematiko ng isang malawak na bokubularyo upang ilarawan nang tiyak at tumpak ang mga konsepto sa matematika. Nagdebelop rin sila ng mga pamantayang kahulugan upang magkaintindihan. [[Aksoma]] ({{lang-en|axiom}}) ang tawag sa mga pahayag na totoo at hindi na kailangan pang [[Pormal na patunay|patunayan]]. [[Konhetura]] ({{lang-en|conjecture}}) naman ang tawag sa mga pahayag na kailangan pa munang patunayan. Kung sakaling mapatunayan ito, magiging [[teorema]] ({{lang-en|theorem}}) ito. [[Lema]] ({{lang-en|lemma}}) ang tawag sa mga teoremang ginawa upang patunayan ang isa pang teorema. [[Korolaryo]] ({{lang-en|corrolary}}) naman ang tawag sa isang napatunayang bahagi ng mas malawak na teorema.

[[Neolohismo]] ang marami sa mga salitang ginagamit sa matematika, tulad halimbawa ng [[polinomial]] at [[homeomorpismo]] (parehong mula sa [[wikang Kastila]]) o [[matris (matematika)|baskagan]] ({{lang-en|matrix}}). May ilan ding mga termino na iba nang bahagya ang kahulugan mula sa karaniwang paggamit.<ref>{{cite journal |last=Silver |first=Daniel S. |date=Nobyembre–Disyembre 2017 |title=The New Language of Mathematics |trans-title=Ang Bagong Wika ng Matematika |journal=The American Scientist |language=en |publisher=[[Sigma Xi]] |volume=105 |pages=364–371 |doi=10.1511/2017.105.6.364 |issn=0003-0996 |lccn=43020253 |oclc=1480717 |doi-access=free |number=6 |s2cid=125455764}}</ref> Minsan, ginagamit ang mga karaniwang salita sa isang teknikal na konteksto, na nagiging dahilan tuloy ng kalituhan sa mga wala sa larangan; halimbawa nito ay "lahat ng [[Parang (matematika)|parang]] ay [[Singsing (matematika)|singsing]]" ({{lang-en|all fields are ring}}), na isang totoong pahayag sa [[alhebra]].

== Sangay ==
Dalawa ang pangunahing sangay ng matematika sa maagang kasaysayan nito: [[aritmetika]] at [[heometriya]]. Bukod dito, kinonsidera din noon bilang mga sangay ng matematika ang [[numerolohiya]] at [[astrolohiya]], na ngayo'y itinuturing na'ng mga [[seudosiyensiya]].<ref>{{cite book |last=Tiwari |first=Sarju |title=Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science |publisher=Mittal Publications |year=1992 |isbn=978-81-7099-404-6 |edition=1 |publication-place=[[New Delhi]] |page=27 |language=en |trans-title=Matematika sa Kasaysayan, Kultura, Pilosopiya, at Agham |chapter=A Mirror of Civilization |trans-chapter=Salamin ng Sibilisasyon |lccn=92909575 |oclc=28115124 |quote=}}</ref> Pagsapit ng [[Renasimiyento]], nadagdagan ito ng dalawa: [[alhebra]] at [[kalkulo]]. Ganito ang pagsasangay sa larangan hanggang sa dulo ng ika-19 na siglo,<ref>{{cite book |last=Restivo |first=Sal |author-link=Sal Restivo |title=Mathematics in Society and History |publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] |year=1992 |isbn=0-7923-1765-3 |editor-last=Bunge |editor-first=Mario |editor-link=Mario Bunge |series=Episteme |volume=20 |page=14 |language=en |trans-title=Matematika sa Lipunan at Kasaysayan |chapter=Mathematics from the Ground Up |trans-chapter=Matematika mula Simula |lccn=25709270 |oclc=92013695}}</ref> kung saan naging sangay din ang [[kombinatorika]] gayundin ang [[mekanika]], na ngayo'y bahagi na ng [[pisika]].<ref>{{cite book |last=Musielak |first=Dora |author-link=Dora Musielak |title=Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics |publisher=[[Springer International Publishing]] |year=2022 |isbn=978-3-031-12321-4 |series=History of Physics |language=en |trans-title=Si Leonhard Euler at ang mga Haligi ng Mekanikang Pangkalawakan |doi=10.1007/978-3-031-12322-1 |eissn=2730-7557 |issn=2730-7549 |oclc=1332780664 |s2cid=253240718}}</ref><ref>{{cite journal |last=Biggs |first=N. L. |date=May 1979 |title=The roots of combinatorics |trans-title=Simulain ng kombinatorika |journal=Historia Mathematica |language=en |volume=6 |issue=2 |pages=109–136 |doi=10.1016/0315-0860(79)90074-0 |issn=0315-0860 |eissn=1090-249X |lccn=75642280 |oclc=2240703 |doi-access=free}}</ref>

Sa ika-19 na siglo din unang pinagdebatehan ang [[mga haligi ng matematika]], na nagresulta sa isang pamantayang [[sistemang aksomatiko]] at ang paglitaw ng marami pang mga sangay.<ref name="Warner_2013">{{cite web |last=Warner |first=Evan |title=Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics |trans-title=Mabilisang Usapan: Ang Krisis sa Haligi ng Matematika |url=https://www.math.columbia.edu/~warner/notes/SplashTalk.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20230322165544/https://www.math.columbia.edu/~warner/notes/SplashTalk.pdf |archive-date=22 Marso 2023 |access-date= |publisher=[[Columbia University]] |language=en |format=PDF}}</ref> Noong 2020, hindi bababa sa 60 pangunahing sangay ang kinilala ng [[Mathematics Subject Classification]].<ref name=":1" />

=== Teorya ng bilang ===
{{main|Teorya ng bilang}}

[[File:Spirale Ulam 150.jpg|thumb|Ang [[pilipit ni Ulam]], na nagpapakita sa distribusyon ng mga [[pangunahing bilang]]. Maraming mga palagay ang nilatag ng mga matematiko ukol sa pagkakaroon ng mga pahalang na linya nito simula noong una itong ginawa noong 1963, bagamat hindi pa ito malinaw na naipapaliwanag magpahanggang ngayon.]]
[[Teorya ng bilang]] ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula ng mga [[bilang]]—[[likas na bilang|likas]] <math display="inline">(\N)</math>, [[buumbilang|buo]] <math display="inline">(\Z)</math>, at [[makatuwirang bilang|makatuwiran]] <math display="inline">(\Q)</math>. Kilala rin ito sa tawag na "mataas na aritmetika" lalo na noon, bagamat mas ginagamit na ang terminong ito para tumukoy sa [[pagsusuring matematikal|pagsusuri]].<ref>{{cite book |last=LeVeque |first=William J. |author-link=William J. LeVeque |title=Fundamentals of Number Theory |publisher=[[Addison-Wesley Publishing Company]] |year=1977 |isbn=0-201-04287-8 |pages=1–30 |language=en |trans-title=Mga Simulain sa Teorya ng Bilang |chapter=Introduction |trans-chapter=Simula |lccn=76055645 |oclc=3519779 |s2cid=118560854}}</ref> Unang lumitaw ang teorya ng bilang sa [[Babylonia]] at posibleng sa [[sinaunang Tsina|Tsina]] rin. Sina [[Euclides]] at [[Diofante]] ang ilan sa mga unang nag-aral sa larangan.<ref>{{cite book |last=Goldman |first=Jay R. |title=The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory |url=https://archive.org/details/queenofmathemati0000gold |publisher=A K Peters |year=1998 |isbn=1-56881-006-7 |publication-place=[[Massachusetts]] |pages=[https://archive.org/details/queenofmathemati0000gold/page/2 2]–3 |language=en |trans-title=Ang Reyna ng Matematika: Isang Gabay Pangkasaysayan ukol sa Teorya ng Bilang |chapter=The Founding Fathers |trans-chapter=Mga Haliging Ama |doi=10.1201/9781439864623 |lccn=94020017 |oclc=30437959 |s2cid=118934517}}</ref> Ang modernong pag-aaral sa teorya ng bilang ay nagsimula kina [[Pierre de Fermat]] at [[Leonhard Euler]], at naging pormal itong sangay dahil sa mga ambag nina [[Carl Friedrich Gauss]] at [[Adrien-Marie Legendre]].<ref>{{cite book |last=Weil |first=André |author-link=André Weil |title=Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre |publisher=Birkhäuser Boston |year=1983 |isbn=0-8176-3141-0 |pages=2–3 |language=en |trans-title=Teorya ng Bilang: Pagtingin sa Kasaysayan mula kay [Hammurabi] hanggang Legendre |doi=10.1007/978-0-8176-4571-7 |lccn=83011857 |oclc=9576587 |s2cid=117789303}}</ref>

Ilan sa mga sikat na mga halimbawa ng problema sa teorya ng bilang ay ang [[Huling Teorema ni Fermat]], na nagsasabing walang tatlong positibong [[buumbilang]] na <math display="inline">a, b, c</math> na magpapatotoo sa [[ekwasyon]]g <math display="inline">a^{n} + b^{n} = c^{n}</math> para sa <math display="inline">n > 2</math>. Una itong ipinahayag noong 1637, ngunit [[Patunay ni Wiles sa Huling Teorema ni Fermat|napatunayan lamang]] ito ni [[Andrew Wiles]] noong 1994 sa pamamagitan ng mga [[iskema (matematika)|iskema]] mula sa [[heometriyang alhebraiko]], gayundin sa [[teorya ng kategorya]] at [[alhebrang homolohikal]].<ref name=":3">{{Cite web |last=Hesselink |first=Wim H. |date=3 Abril 2008 |title=Computer verification of Wiles' proof of Fermat's Last Theorem |trans-title=Beripikasyon sa kompyuter ng patunay ni Wiles sa Huling Teorema ni Fermat |url=http://www.cs.rug.nl/~wim/fermat/wilesEnglish.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20080618020750/http://www.cs.rug.nl/~wim/fermat/wilesEnglish.html |archive-date=18 Hunyo 2008 |access-date= |website=www.cs.rug.nl |language=en}}</ref> Isa rin sa mga sikat na problema ay ang [[konhetura ni Goldbach]], na nagsasabing lahat ng mga [[tukol]] na buumbilang na higit sa 2 ay ang [[pagdaragdag|suma]] ng dalawang [[pangunahing bilang]]. Una itong ipinahayag noong 1742, at di tulad ng naunang halimbawa, wala pa rin itong malinaw na solusyon.<ref>{{cite book |last=Wang |first=Yuan |title=The Goldbach Conjecture |publisher=[[World Scientific]] |year=2002 |isbn=981-238-159-7 |edition=2 |series=Series in Pure Mathematics |volume=4 |pages=1–18 |language=en |trans-title=Ang Konhetura ni Goldbach |doi=10.1142/5096 |lccn=2003268597 |oclc=51533750 |s2cid=14555830}}</ref>

=== Heometriya ===
{{main|Heometriya}}
[[File:Triangles (spherical geometry).jpg|thumb|Bagamat parehong [[tatsulok]], magkaiba ang mga [[anggulo]] ng dalawang halimbawa. Saklaw ito ng dalawang magkaibang larangan sa heometriya: [[heometriyang Euclides|Euclides]] at [[heometriyang esperiko|esperiko]].]]
Isa sa mga pinakamatandang sangay ng matematika ang [[heometriya]], na nakatuon sa mga [[hugis]], [[linya]], [[bilog]], at [[anggulo]]. Nagmula ito sa pangangailangan sa [[agrimensura]] at [[inhinyera]].<ref name="Straume_2014">{{Cite arXiv|last=Straume|first=Eldar|date=4 Setyembre 2014|title=A Survey of the Development of Geometry up to 1870|class=math.HO|eprint=1409.1140|trans-title=Sarbey sa Pagdebelop ng Heometriya hanggang 1870|language=en}}</ref>

Sa heometriya nagsimula ang konsepto ng [[pagpapatunay (matematika)|pagpapatunay]], nang ginamit ito ng mga [[sinaunang Gresya|sinaunang Griyegong]] matematiko upang tukuyin ang mga pahayag na [[Katotohanan|siguradong totoo]]. Sa sistemang ito, hindi sapat ang [[pagsukat]] sa isang bagay; dapat patunayan kung magkapareho sila sa pamamagitan ng paggamit sa mga pahayag na napatunayan na noon. Maaari ring gamitin ang mga likas na pahayag (hal. "walang sulok ang bilog") at mga napagkasunduang mga [[aksoma]]. Ang prosesong ito ay pormal na isinakodigo sa ''[[Mga Elemento ni Euclides|Mga Elemento]]'' ni [[Euclides]] noong {{BKP|300}}.<ref>{{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |author-link=Robin Hartshorne |url={{GBurl|id=EJCSL9S6la0C|p=9}} |title=Geometry: Euclid and Beyond |publisher=[[Springer New York]] |year=2000 |isbn=0-387-98650-2 |pages=9–13 |language=en |trans-title=Heometriya: Mula kay Euclides |chapter=Euclid's Geometry |trans-chapter=Heometriya ni Euclides |lccn=99044789 |oclc=42290188 |access-date=}}</ref>

Si Euclides din ang nagpasimula sa isang sangay ng heometriya na ipinangalan sa kanya, ang [[heometriyang Euclides]]. Nakatuon ito sa mga hugis na [[Konstruksiyon gamit aguhon|nabuo]] gamit ang mga linya at bilog na nasa [[kalapagang Euclides]] ({{lang-en|Euclidean plane}}) o, sa kaso ng [[tatlong dimensiyon]], sa isang [[espasyong Euclides]].<ref name="Straume_2014" />

Walang nagbago sa pag-aaral sa heometriya hanggang noong ipinakilala ni [[Ren Descartes]] ang sistema ng [[Koordinadong Cartesiano|koordinado]] sa larangan. Imbes na ituring na mga sukat sa isang [[linyang pambilang]] ang mga [[tunay na bilang]], ginawa na itong mga punto sa isang kalapagan sa anyong koordinado na <math display="inline">(x,y)</math>. Dahil rito, nagawang magamit ng mga matematiko ang [[alhebra]] sa pag-aaral, gayundin ang [[kalkulo]] at iba pang mga larangan kalaunan, na nagresulta sa paghati sa heometriya sa dalawang pangunahing sangay: [[heometriyang sintetiko|sintetiko]] o tradisyonal, at [[heometriyang pasuri|pasuri]] o koordinado.<ref>{{cite book |last=Boyer |first=Carl B. |author-link=Carl B. Boyer |title=History of Analytic Geometry |publisher=[[Dover Publications]] |year=2004 |isbn=0-486-43832-5 |pages=74–102 |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Heometriyang Pasuri |chapter=Fermat and Descartes |trans-chapter=Si Fermat at Descartes |lccn=2004056235 |oclc=56317813 |orig-date=1956}}</ref>

Sa heometriyang pasuri mapag-aaralan ang mga [[kurba]], na maipapakita sa isang [[grap ng punsiyon]], na kalauna'y magiging sentro ng pag-aaral ng [[heometriyang deribatibo]]. Mabibigyang-kahulugan din sila gamit ang mga [[ekwasyong pahiwatig]] ({{lang-en|implicit equation}}), madalas mga [[ekwasyong polinomial]]; ito ang pinag-aaralan sa [[heometriyang alhebraiko]]. Naging posible ring pag-aralan dahil sa heometriyang pasuri ang mga espasyong Euclides na higit sa tatlong dimensiyon.<ref name="Straume_2014" />

Nadiskubre ng mga matematiko ang mga [[heometriyang di-Euclides]], na hindi sumusunod sa [[palagay ng pagkaayon]] ({{lang-en|parallel postulate}}). Nagresulta ito sa [[kabalintunaan ni Russell]] at sa mas malawak na [[Mga haligi ng matematika|krisis sa haligi ng matematika]]. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isang sistematikong kaparaanang aksomatiko, at ipahayag na hindi isang problema sa matematika ang katotohanan ng mga piling aksoma.<ref name="Kleiner_1991">{{cite journal |last=Kleiner |first=Israel |author-link=Israel Kleiner (matematiko) |date=Disyembre 1991 |title=Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective |url=https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1991-12_64_5/page/291 |trans-title=Higpit at Patunay sa Matematika: Isang Pananaw sa Kasaysayan |journal=Mathematics Magazine |language=en |publisher=Taylor & Francis, Ltd. |volume=64 |issue=5 |pages=291–314 |doi=10.1080/0025570X.1991.11977625 |issn=0025-570X |eissn=1930-0980 |jstor=2690647 |lccn=47003192 |mr=1141557 |oclc=1756877 |s2cid=7787171}}</ref> Dahil dito, pinayagan ng kaparaanang aksomatiko na mapag-aralan ang mga heometriyang nagagawa sa pamamagitan ng pagbago sa mga aksoma o sa pagkonsidera sa mga katangian na [[Hindi nagbabago (matematika)|hindi nagbabago]] sa ilalim ng mga partikular na transpormasyon sa [[Espasyo (matematika)|espasyo]].<ref>{{cite web |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |date=Pebrero 1996 |title=Non-Euclidean geometry |trans-title=Heometriyang di-Euclides |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20221106142807/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Non-Euclidean_geometry/ |archive-date=6 Nobyembre 2022 |access-date= |website=MacTuror |publisher=[[University of St. Andrews]] |language=en |publication-place=[[Eskosya]]}}</ref>

=== Alhebra ===
{{main|Alhebra}}
[[File:Quadratic_formula.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Quadratic_formula.svg|alt=refer to caption|thumb|Ang [[pormulang kwadratiko]], na ginagamit sa alhebra upang hanapin ang mga solusyon sa isang [[ekwasyong kwadratiko]].]]
Sa pinakasimpleng kahulugan, [[alhebra]] ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula sa mga ekwasyon at pormula. Pinasimulan ito nina [[Diofante]] at [[al-Khwarizmi]].{{sfn|Kleiner|2007|loc="History of Classical Algebra" pp. 3–5}} Niresolba ni Diofante ang ilang mga ekwasyon na may mga likas na bilang na hindi tukoy sa pamamagitan ng paghahanap sa mga relasyon hanggang sa makita niya ang solusyon.<ref>{{Cite web |last=Shane |first=David |year=2022 |title=Figurate Numbers: A Historical Survey of an Ancient Mathematics |trans-title=Mga Bilang Pigura: Isang Sarbey sa Kasaysayan ng isang Sinaunang Matematika |url=https://www.methodist.edu/wp-content/uploads/2022/06/mr2018_shane.pdf |access-date= |website=[[Methodist University]] |page=20 |language=en |quote=}}</ref> Samantala, gumawa naman si al-Khwarizmi ng mga sistematikong kaparaanan para baguhin ang mga ekwasyon, tulad halimbawa ng paglipat ng isang bahagi nito papunta sa kabila.<ref>{{Cite web |last1=Overbay |first1=Shawn |last2=Schorer |first2=Jimmy |last3=Conger |first3=Heather |title=Al-Khwarizmi |url=https://www.ms.uky.edu/~carl/ma330/project2/al-khwa21.html |access-date= |website=[[University of Kentucky]]}}</ref> Ang salitang ''alhebra'' ay nagmula sa pamagat ng kanyang aklat, ''[[Al-Jabr]]'', isinulat noong bandang {{KP|820}} sa [[Baghdad]].<ref>{{cite encyclopedia |title=Algebra |encyclopedia=[[Encyclopaedia of Islam|Encyclopaedia of Islam Online]] |url=https://referenceworks.brill.com/display/db/ei3o |access-date= |last=Berntjes |first=Sonja |author-link=Sonja Brentjes |edition=3 |language=en |trans-title=Alhebra |issn=1573-3912 |lccn=2007238847 |oclc=56713464}}</ref>

Naging isang ganap na sangay ng matematika ang alhebra noong ipinakilala ni [[François Viète]] ang paggamit sa mga [[baryable]] upang kumatawan sa mga di-tukoy na mga halaga. Dahil dito, nagawang mailarawan ng mga matematiko ang mga operasyong gagawin sa mga bilang gamit ng mga [[Pormula (matematika)|pormula]].<ref>{{cite journal |last=Oaks |first=Jeffery A. |year=2018 |title=François Viète's revolution in algebra |trans-title=Ang rebolusyon ni François Viète sa alhebra |url=https://researchoutreach.org/wp-content/uploads/2019/02/Jeffrey-Oaks.pdf |url-status=live |journal=[[Archive for History of Exact Sciences]] |language=en |volume=72 |issue=3 |pages=245–302 |doi=10.1007/s00407-018-0208-0 |issn=0003-9519 |eissn=1432-0657 |lccn=63024699 |oclc=1482042 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221108162134/https://researchoutreach.org/wp-content/uploads/2019/02/Jeffrey-Oaks.pdf |archive-date=9 Nobyembre 2022 |access-date= |s2cid=125704699}}</ref>

Hanggang noong ika-19 na siglo, limitado lang ang alhebra sa pag-aaral sa mga [[ekwasyong linyar]] (ngayo'y bahagi ng [[alhebrang linyar]]) at polinomial na may [[Ekwasyon|nag-iisang hindi alam na halaga]] (tinatawag noon na mga ''ekwasyong alhebraiko'', bagamat hindi na ngayon ito ginagamit dahil sa pagiging malabo ng naturang salita). Pagsapit ng ika-19 na siglo, nagsimulang gumamit ang mga matematiko ng mga baryable upang kumatawan hindi lang sa mga bilang kundi sa ibang mga matematikal na bagay kagaya ng [[Matris (matematika)|matris]], kung saan madalas tama ang mga operasyon sa [[aritmetika]].{{sfn|Kleiner|2007|loc="History of Linear Algebra" pp. 79–101}} Dahil dito, ipinakilala sa alhebra ang konsepto ng estrakturang alhebraiko, na nagresulta kalaunan sa [[alhebrang basal]] sa pangunguna ni [[Emmy Noether]].<ref>{{cite book |last=Corry |first=Leo |author-link=Leo Corry |url={{GBurl|id=WdGbeyehoCoC|p=247}} |title=Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures |publisher=Birkhäuser Basel |year=2004 |isbn=3-7643-7002-5 |edition=2nd revised |publication-place=[[Alemanya]] |pages=247–252 |language=en |trans-title=Modernong Alhebra at ang Pag-angat ng mga Estrakturang Pangmatematika |chapter=Emmy Noether: Ideals and Structures |trans-chapter=Emmy Noether: Mga Ideya at Estraktura |lccn=2004556211 |oclc=51234417 |access-date=}}</ref>

Pinag-aaralan sa [[alhebrang pangkalahatan]] at [[teorya ng kategorya]] ang mga estrakturang alhebraiko bilang mga bagay sa matematika.<ref>{{cite book |last=Riche |first=Jacques |url={{GBurl|id=ZoRN9T1GUVwC|p=3}} |title=Perspectives on Universal Logic |publisher=Polimetrica International Scientific Publisher |year=2007 |isbn=978-88-7699-077-9 |editor1-last=Beziau |editor1-first=J. Y. |publication-place=[[Milano]], [[Italya]] |pages=3–39 |language=en |trans-title=Mga Pananaw sa Pangkalahatang Lohika |chapter=From Universal Algebra to Universal Logic |trans-chapter=Mula Pangkalahatang Alhebra hanggang Pangkalahatang Lohika |oclc=647049731 |access-date= |editor2-last=Costa-Leite |editor2-first=Alexandre}}</ref> Hindi limitado ang teorya ng kategorya sa mga estraktura sa alhebra; magagamit ito sa lahat ng mga estraktura sa matematika. Una itong ipinakilala kasama ng [[alhebrang homolohikal]] upang mapag-aralan sa alhebra ang mga bagay na di-alhebraiko, tulad ng mga [[espasyong topolohikal]]. Nagresulta ito sa pag-aaral na [[topolohiyang alhebraiko]].<ref>{{cite book |last=Krömer |first=Ralph |url={{GBurl|id=41bHxtHxjUAC|pg=PR20}} |title=Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory |publisher=[[Springer Science & Business Media]] |year=2007 |isbn=978-3-7643-7523-2 |series=Science Networks - Historical Studies |volume=32 |publication-place=[[Alemanya]] |pages=xxi–xxv, 1–91 |language=en |trans-title=Kagamitan at Bagay: Kasaysayan at Pilosopiya ng Teorya ng Kategorya |lccn=2007920230 |oclc=85242858 |access-date=}}</ref>

=== Kalkulo at pagsusuri ===
{{main|Kalkulo|Pagsusuring matematikal}}
[[File:Cauchy sequence illustration.svg|thumb|Ang [[sekwensiyang Cauchy]], na nagpapakita sa mga elemento (mga punto) na papalapit nang papalapit sa isa't-isa sa paglipas ng sekwensiya.]]

[[Kalkulo]], sa pinakasimpleng paliwanag, ang pag-aaral sa relasyon ng mga [[baryable]]ng nakadepende sa isa't-isa. Magkahiwalay itong nadebelop noong ika-17 siglo nina [[Isaac Newton]] at [[Gottfried Leibniz]], na nagresulta sa isang [[Kontrobersiya nina Newton at Leibniz sa kalkulo|panandaliang kontrobersiya ukol sa sinong unang nakaimbento sa larangan]].<ref>{{cite book |last=Guicciardini |first=Niccolo |author-link=Niccolò Guicciardini |title=The Oxford Handbook of Newton |publisher=[[Oxford University Press]] |year=2017 |isbn=978-0-19-993041-8 |editor1-last=Schliesser |editor1-first=Eric |series=Oxford Handbooks |language=en |trans-title=Handbook ng Oxford tungkol kay Newton |chapter=The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730 |trans-chapter=Ang Kontrobersiya nina Newton at Leibniz sa Kalkulo, 1708-1730 |doi=10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9 |oclc=975829354 |access-date= |editor2-last=Smeenk |editor2-first=Chris |chapter-url=https://core.ac.uk/download/pdf/187993169.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20221109163253/https://core.ac.uk/download/pdf/187993169.pdf |archive-date=9 Nobyembre 2022 |url-status=live}}</ref> Pinalawak pa ito nang husto sa sumunod na siglo ni [[Leonhard Euler]] na nagpakilala sa konsepto ng [[punsiyon (matematika)|punsiyon]] at sa marami pang iba.<ref>{{cite web |last1=O'Connor |first1=J. J. |last2=Robertson |first2=E. F. |date=Setyembre 1998 |title=Leonhard Euler |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20221109164921/https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/ |archive-date=9 Nobyembre 2022 |access-date= |website=MacTutor |publisher=[[University of St Andrews]] |publication-place=[[Eskosya]]}}</ref> Sa kasalukuyan, itinuturing ang kalkulo bilang ang mababang antas ng pag-aaral at [[pagsusuring matematikal]] ang tawag sa mas mataas na pag-aaral sa larangan.<ref>{{Cite web |title=Calculus (Differential and Integral Calculus with Examples) |trans-title=Kalkulo (Kalkulong Deribatibo at Integral na may mga Halimbawa) |url=https://byjus.com/maths/calculus/ |access-date= |website=[[Byju's]] |language=en}}</ref>

Nahahati rin ang pagsusuri sa dalawang sangay: [[pagsusuring tunay]], na nakatuon sa pagsusuri sa mga [[tunay na bilang]], at [[pagsusuring komplikado]], na nakatuon naman sa mga [[komplikadong bilang]]. Kaugnay rin sa pagsusuri ang [[pagsusuring pambilang]], na ginagamit madalas sa [[agham pangkompyuter]].

=== Matematikang diskreto ===
{{Main|Matematikang diskreto}}
[[File:Markovkate_01.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Markovkate_01.svg|thumb|Ang [[kadenang Markov]], na may dalawang estadong <math display="inline">A</math> at <math>E</math>. Kumakatawan ang mga bilang sa probabilidad ng pagbago ng estado.]]
Sa pangkalahatang kahulugan, [[matematikang diskreto]] ang pag-aaral sa mga indibidwal at [[Mabibilang na pangkat|mabibilang]] na mga bagay sa matematika, kagaya ng [[Pangkat (matematika)|pangkat]] ng lahat ng mga [[buumbilang]].<ref>{{cite journal |last=Franklin |first=James |author-link=James Franklin (pilosopo) |date=Hulyo 2017 |title=Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics |trans-title=Diskreto at Tuluyan: Pundamental na Dikotomiya sa Matematika |url=https://scholarship.claremont.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1334&context=jhm |journal=Journal of Humanistic Mathematics |language=en |volume=7 |issue=2 |pages=355–378 |doi=10.5642/jhummath.201702.18 |issn=2159-8118 |lccn=2011202231 |oclc=700943261 |access-date= |doi-access=free |s2cid=6945363}}</ref> Dahil diskreto ang mga bagay na pinag-aaralan dito, hindi magagamit ang mga kaparaanan sa [[kalkulo]] at [[Pagsusuring matematikal|pagsusuri]].{{efn|Ginagamit din minsan ang ilang mga konsepto sa pagsusuri, tulad ng mga kaparaanan sa [[pagsusuring komplikado]] para sa paggawa ng [[serye (matematika)|serye]].}} Mahalaga sa sangay na ito ang mga [[algoritmo]], lalo na ang kanilang [[implementasyon]] at [[pagkakomplikado sa pagkompyut]].<ref>{{cite book |last=Maurer |first=Stephen B. |title=Discrete Mathematics in the Schools |publisher=[[American Mathematical Society]] |year=1997 |isbn=0-8218-0448-0 |editor1-last=Rosenstein |editor1-first=Joseph G. |series=DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science |volume=36 |pages=121–124 |language=en |trans-title=Matematikang Diskreto sa mga Paaralan |chapter=What is Discrete Mathematics? The Many Answers |trans-chapter=Ano ang Matematikang Diskreto? Mga Mararami Nitong Sagot |doi=10.1090/dimacs/036/13 |issn=1052-1798 |lccn=97023277 |oclc=37141146 |access-date= |editor2-last=Franzblau |editor2-first=Deborah S. |editor3-last=Roberts |editor3-first=Fred S. |editor3-link=Fred S. Roberts |chapter-url={{GBurl|id=EvuQdO3h-DQC|p=121}} |s2cid=67358543}}</ref>

Ang [[teorema ng apat na kulay]] at ang [[Konhetura ni Kepler|optimal na pagpapakete sa espero]] ang dalawa sa mga problema sa matematikang diskreto na nalutas pagsapit ng ika-20 siglo.<ref>{{cite book |last=Hales |first=Thomas C. |author-link=Thomas Callister Hales |title=Turing's Legacy |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=2014 |isbn=978-1-107-04348-0 |editor-last=Downey |editor-first=Rod |editor-link=Rod Downey |series=Lecture Notes in Logic |volume=42 |pages=260–261 |language=en |trans-title=Legasiya ni Turing |chapter=Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic |trans-chapter=Legasiya ni Turing: Mga Nadebelop mula sa mga Ideya ni Turing sa Lohika |doi=10.1017/CBO9781107338579.001 |lccn=2014000240 |oclc=867717052 |access-date= |chapter-url={{GBurl|id=fYgaBQAAQBAJ|p=260}} |s2cid=19315498}}</ref> Mahalaga din sa sangay ang [[problemang P o NP]], isa sa mga pinakamahahalagang problemang di pa nalulutas, dahil malaki ang implikasyon ng magiging solusyon nito sa mga problema itinuring na mga [[Pagsusuri sa algoritmo|mahirap makompyut]], na madalas basehan sa modernong [[kriptograpiya]].<ref>{{cite conference|last=Sipser|first=Michael|author-link=Michael Sipser|date=July 1992|title=The History and Status of the P versus NP Question|conference=STOC 1992|pages=603–618|doi=10.1145/129712.129771|s2cid=11678884|trans-title=Ang Kasaysayan at Estado ng Tanong na P o NP|lang=en}}</ref>

=== Lohika at teorya ng pangkat ===
{{Main|Lohikang matematikal|Teorya ng pangkat}}
[[File:Venn_A_intersect_B.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Venn_A_intersect_B.svg|alt=A blue and pink circle and their intersection labeled|thumb|Ang [[diagramang Venn]], na madalas gamitin bilang representasyon sa mga [[Pangkat (matematika)|pangkat]]. Ipinapakita ng <math display="inline">A \cap B</math> ang [[Salubungan (matematika)|salubungan]] ng pangkat <math>A</math> at <math>B</math>. Sa madaling salita, ipinapakita nito ang lahat ng mga elemento na meron ang dalawang pangkat.]]
Bagamat matagal na'ng pinag-aaralan ang [[Lohikang matematikal|lohika]] at [[teorya ng pangkat]], naging pormal itong bahagi ng matematika pagsapit ng dulo ng ika-19 na siglo.<ref>{{cite encyclopedia |title=The Emergence of First-Order Logic |encyclopedia=[[Stanford Encyclopedia of Philosophy]] |url=https://plato.stanford.edu/entries/logic-firstorder-emergence/ |access-date= |last=Ewald |first=William |date=November 17, 2018 |language=en |trans-title=Ang Pag-usbong ng Lohika ng Unang Antas |issn=1095-5054 |lccn=sn97004494 |oclc=37550526}}</ref> Bago ito, hindi kinokonsiderang mga bagay sa matematika ang mga [[Pangkat (matematika)|pangkat]], at mas ginugrupo naman ang lohika sa [[pilosopiya]], bagamat ginagamit rin ito sa mga pagpapatunay sa matematika.<ref>{{Cite journal |last=Ferreirós |first=José |date=Disyembre 2001 |title=The Road to Modern Logic—An Interpretation |trans-title=Ang Daan patungong Modernong Lohika - Interpretasyon |url=https://idus.us.es/xmlui/bitstream/11441/38373/1/The%20road%20to%20modern%20logic.pdf |format=PDF |journal=The Bulletin of Symbolic Logic |language=en |volume=7 |issue=4 |pages=441–484 |doi=10.2307/2687794 |issn=1079-8986 |eissn=1943-5894 |jstor=2687794 |lccn=95652899 |oclc=31616719 |access-date= |hdl=11441/38373 |s2cid=43258676}}</ref>

Bago pag-aralan ni [[Georg Cantor]] ang mga [[walang-hanggang pangkat]], hindi tinatanggap ng mga matematiko ang ideya ng isang koleksyong [[tunay na walang-hanggan]], at mas kumikiling sa ideya ng [[Kawalang hangganan|kawalang-hangganan]] bilang resulta ng walang katapusang [[enumerasyon]]. [[Kontrobersiya sa teorya ni Cantor|Kontrobersiyal]] ang ideyang ito ni Cantor, dahil sa implikasyon na may iba't-ibang laki ang kawalang-hangganan na pinapatunayan ng [[argumentong pahalang ni Cantor]].<ref>{{cite web |date=26 Nobyembre 2013 |editor-last=Wolchover |editor-first=Natalie |editor-link=Natalie Wolchover |title=Dispute over Infinity Divides Mathematicians |trans-title=Hati ang mga Matematiko sa Problema ng Kawalang-Hanggan |url=https://www.quantamagazine.org/to-settle-infinity-question-a-new-law-of-mathematics-20131126/ |access-date= |website=[[Quanta Magazine]] |language=en}}</ref><ref>{{cite web |last=Zhuang |first=Chaohui |title=Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument |trans-title=Pagsusuri ni Wittgenstein sa argumentong pahalang ni Cantor |url=https://philarchive.org/archive/ZHUWAO |access-date= |website=[[PhilArchive]] |language=en |format=DOC}}</ref> Sa panahon ding ito natukoy sa maraming sangay ng matematika na may mga bagay sa matematika na hindi sapat ang kahulugan upang masiguro ang [[Kahigpitang matematikal|kahigpitan]].<ref>{{cite book |last=Tanswell |first=Fenner Stanley |title=Mathematical Rigour and Informal Proof |date=2024 |publisher=[[Cambridge University Press]] |isbn=978-1-009-49438-0 |series=Cambridge Elements in the Philosophy of Mathematics |language=en |trans-title=Kahigpitan sa Matematika at Impormal na Patunay |doi=10.1017/9781009325110 |eissn=2399-2883 |issn=2514-3808 |oclc=1418750041}}</ref> Kalaunan, nagresulta ito sa isang krisis sa mga haligi ng matematika.<ref>{{cite web |last1=Avigad |first1=Jeremy |author1-link=Jeremy Avigad |last2=Reck |first2=Erich H. |date=11 Disyembre 2001 |title="Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory |trans-title="Paglilinaw sa kalikasan ng kawalang-hanggan": ang pagdebelop ng metamatematika at teorya ng patunay |url=https://www.andrew.cmu.edu/user/avigad/Papers/infinite.pdf |access-date= |website=[[Carnegie Mellon University]] |language=en}}</ref>

Naresolba rin ito kalaunan sa matematika sa pamamagitan ng pagsasagawa sa isang sistematikong kaparaanan ng paggawa ng mga aksoma sa loob ng isang [[Teorya ng pangkat nina Zermelo at Fraenkel|pormalisadong teorya ng pangkat]]. Sa madaling salita, binibigyang-kahulugan ang bawat bagay sa matematika gamit ang pangkat ng lahat na magkakatulad na mga bagay at ang mga katangiang dapat meron ito.<ref name="Warner_2013" /> Halimbawa, sa [[aritmetika ni Peano]], binibigyang-kahulugan ang [[likas na bilang]] sa pahayag na "isang bilang ang [[0 (bilang)|sero]]", "may natatanging susunod ang bawat bilang", "may natatanging nauna ang bawat bilang maliban sa sero", at ibang mga tuntunin.<ref>{{cite book |last=Hamilton |first=Alan G. |url={{GBurl|id=OXfmTHXvRXMC|p=3}} |title=Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics |publisher=Cambridge University Press |year=1982 |isbn=978-0-521-28761-6 |pages=3–4 |language=en |trans-title=Bilang, Pangkat, at Aksoma: Mga Aparato ng Matematika |access-date=}}</ref> Nakaayon sa pilosopiya ng [[Pormalismo (pilosopiya ng matematika)|pormalismo]] ni [[David Hilbert]] ang [[Kabasalan (matematika)|kabasalan sa matematika]] mula sa realidad.<ref name="Snapper">{{Cite journal |last=Snapper |first=Ernst |author-link=Ernst Snapper |date=Setyembre 1979 |title=The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism |trans-title=Ang Tatlong Krisis sa Matematika: Lohisismo, Intuisiyonismo, at Pormalismo |journal=Mathematics Magazine |language=en |volume=52 |issue=4 |pages=207–216 |doi=10.2307/2689412 |jstor=2689412}}</ref>

Nananatiling isang problema sa pilosopiya ang kalikasan ng matematika, bagamat may mga matematikong may opinyon patungkol rito. Dahil dito, kinonsidera ang mga lohika, pangkat, patunay, at iba pa bilang mga bagay sa matematika, upang mabigyan sila ng mga teorema magpapatunayan sa mga ito. Halimbawa, sa [[mga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel]], sinasabi na sa bawat [[konsistent]] na [[pormalisadong sistema]] na naglalaman ng mga likas na bilang, may mga teorema na totoo (na mapapatunayan sa isang mas malakas na sistema) na hindi mapapatunayan sa sistemang yon.<ref name="Raatikainen_20052">{{cite journal |last=Raatikainen |first=Panu |date=Oktubre 2005 |title=On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems |trans-title=Ukol sa Kaugnayang Pilosopikal ng mga Teorema ng Di-Pagkakumpleto ni Gödel |url=https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |url-status=live |journal=Revue Internationale de Philosophie |language=en |volume=59 |issue=4 |pages=513–534 |doi=10.3917/rip.234.0513 |jstor=23955909 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221112212555/https://www.cairn.info/revue-internationale-de-philosophie-2005-4-page-513.htm |archive-date=12 Nobyembre 2022 |access-date= |s2cid=52083793}}</ref>

=== Estadistika at agham pandesisyon ===
{{Main|Estadistika|Probabilidad}}
[[Talaksan:Standard deviation diagram.svg|thumb|[[Distribusyong normal]] na nagpapakita rin sa [[pamantayang paglihis]].]]
[[Estadistika]] ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagkolekta at pagproseso sa mga [[datos]], gamit ang mga kaparaanang hango sa matematika, lalo sa [[probabilidad]]. Gumagawa ng mga datos ang mga [[estadistiko]] gamit ang naka-random na [[sample]] o [[eksperimento]].<ref>{{cite book |last=Rao |first=C. Radhakrishna |author-link=C. R. Rao |title=Statistics and Truth: Putting Chance to Work |url=https://archive.org/details/statisticstruthp0000raoc |publisher=World Scientific |year=1997 |isbn=981-02-3111-3 |edition=2 |pages=[https://archive.org/details/statisticstruthp0000raoc/page/3 3]–17, 63–70 |language=en |trans-title=Estadistika at Katotohanan: Paglalagay ng Tiyansa sa Gawa |lccn=97010349 |mr=1474730 |oclc=36597731 |orig-date=1989}}</ref>

Pinag-aaralan sa [[teorya ng estadistika]] ang [[teorya ng desisyon|mga problema sa pagdedesisyon]] tulad ng pagpapababa ng [[panganib]] ([[inaasahang pagkalugi]]) sa isang gawain. Gumagamit sila ng isang proseso para rito: [[teorya ng pagtataya|pagtatáya]], [[Test sa hinuha sa estadistika|pagte-test]], at [[algoritmo ng pagpili|pagpili sa pinakatama]]. Sa tradisyonal na sangay na ito ng [[estadistikang pangmatematika]], nagagawa ang isang problema sa pagdedesisyon sa pamamagitan ng pagpapababa sa [[punsiyon ng pagkalugi]] o gastos sa ilalim ng ilang partikular na balakid. Halimbawa, madalas na napapababa ng mga sarbey ang gastos sa pagtatáya sa [[medya (matematika)|medya]] ({{lang-en|mean}}) ng populasyon para sa isang partikular na antas ng pagkasigurado ({{lang-en|confidence level}}).<ref name="RaoOpt">{{cite book |last=Rao |first=C. Radhakrishna |author-link=C.R. Rao |title=Mathematical programming in statistics |publisher=Wiley |year=1981 |isbn=978-0-471-08073-2 |editor1-last=Arthanari |editor1-first=T.S. |series=Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics |location=New York |pages=vii–viii |language=en |trans-title=Pagpoprogramang matematikal sa estadistika |chapter=Foreword |trans-chapter=Panimula |lccn=80021637 |mr=607328 |oclc=6707805 |editor2-last=Dodge |editor2-first=Yadolah |editor2-link=Yadolah Dodge}}</ref> Dahil gamit nito sa [[optimisasyong matematikal|optimisasyon]], madalas na kasama rin ang estadistika sa ibang mga [[teorya ng desisyon|agham pandesisyon]], tulad ng [[pananaliksik pang-operasyon]], [[teorya ng kontrol]], at [[matematikang pang-ekonomika]].{{sfn|Whittle|1994|pp=10–11, 14–18}}

=== Matematikang komputasyonal ===
{{Main|Matematikang komputasyonal}}
[[Talaksan:Four color world map.svg|thumb|Ang [[teorema ng apat na kulay]] ang unang teoremang [[Pagpapatunay sa tulong ng kompyuter|napatunayan sa tulong ng kompyuter]].<ref>{{Citation |last=Swart |first=Edward Reinier |title=The philosophical implications of the four-color problem |url=http://www.maa.org/programs/maa-awards/writing-awards/the-philosophical-implications-of-the-four-color-problem |periodical=American Mathematical Monthly |volume=87 |issue=9 |pages=697–702 |year=1980 |trans-title=Ang mga implikasyon sa pilosopiya ng problema ng apat na kulay |publisher=Mathematical Association of America |language=en |doi=10.2307/2321855 |jstor=2321855 |mr=0602826}}</ref> Ayon sa teoremang ito, apat na [[kulay]] lang ang kailangan upang kulayan ang [[mapa]] nang walang magkatabing magkaparehong kulay, na ipinapakita nitong [[mapa ng mundo]].]]
[[Matematikang komputasyonal]] ang pag-aaral ng mga problema sa matematika na madalas malaki masyado para makompyut ng mga tao.<ref>{{cite conference|title=Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science|last1=Johnson|first1=Gary M.|last2=Cavallini|first2=John S.|conference=Singapore Supercomputing Conference 1990|date=Setyembre 1991|page=28|lccn=91018998|publisher=World Scientific|editor1-first=Kang Hoh|editor1-last=Phua|editor2-first=Kia Fock|editor2-last=Loe|url={{GBurl|id=jYNIDwAAQBAJ|p=28}}|access-date=|trans-title=Mga Dakilang Hamon, Kompyuting na High Performance, at Agham Komputasyonal|lang=en}}</ref> Pinag-aaralan sa [[pagsusuring pambilang]] ang mga kaparaanang para sa mga problema sa [[Pagsusuring matematikal|pagsusuri]] gamit ang [[pagsusuring punsiyonal]] at [[teorya ng pagtatáya.|teorya ng pagtatáya]].<ref>{{cite book |last=Trefethen |first=Lloyd N. |author-link=Lloyd N. Trefethen |url=http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf |title=The Princeton Companion to Mathematics |publisher=[[Princeton University Press]] |year=2008 |isbn=978-0-691-11880-2 |editor1-last=Gowers |editor1-first=Timothy |editor1-link=Timothy Gowers |pages=604–615 |language=en |trans-title=Ang Katulong ng Princeton sa Matematika |chapter=Numerical Analysis |trans-chapter=Pagsusuring Pambilang |lccn=2008020450 |mr=2467561 |oclc=227205932 |access-date= |editor2-last=Barrow-Green |editor2-first=June |editor2-link=June Barrow-Green |editor3-last=Leader |editor3-first=Imre |editor3-link=Imre Leader |archive-url=https://web.archive.org/web/20230307054158/http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/NAessay.pdf |archive-date=7 Marso 2023 |url-status=live}}</ref> Nakatuon ito sa [[pagtatáya]] at pagdidiskreto na may pokus sa mga [[Pagra-round|error sa pag-round]]. Ginagamitan madalas ang mga ito ng [[kompyuter]] o [[superkompyuter]] upang makagawa ng mga patunay.

== Kaugnayan ==
=== Sobra-sobrang pagkamabisa ===
{{Tingnan din|The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences}}
Ang sobra-sobrang pagkamabisa ng matematika sa ibang mga larangan, na unang napansin ni [[Eugene Wigner]], ay isang penomenang kung saan maraming teorya sa matematika, kahit maging mga teorya sa purong sangay nito, ay nakahanap ng gamit labas sa mga layunin nito.<ref name="wigner1960">{{cite journal |last=Wigner |first=Eugene |author-link=Eugene Wigner |year=1960 |title=The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences |trans-title=Ang Sobra-sobrang Pagkamabisa ng Matematika sa mga Likas na Agham |url=https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |url-status=live |journal=[[Communications on Pure and Applied Mathematics]] |language=en |volume=13 |issue=1 |pages=1–14 |bibcode=1960CPAM...13....1W |doi=10.1002/cpa.3160130102 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110228152633/http://www.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html |archive-date=28 Pebrero 2011 |s2cid=6112252 |df=}}</ref> May mga teorya kasi na nagawa bago lumitaw ang teknolohiyang makakagamit nito.<ref>{{cite journal |last=Sarukkai |first=Sundar |date=10 Pebrero 2005 |title=Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics |trans-title=Pagbisita muli sa 'sobra-sobrang pagkamabisa' ng matematika |journal=Current Science |language=en |volume=88 |issue=3 |pages=415–423 |jstor=24110208}}</ref> Halimbawa nito ang [[Pagsasalik sa buumbilang|pangunahing pagsasalik]] ({{lang-en|prime factorization}}) sa mga likas na bilang, na unang nadiskubre 2,000 taon na ang nakararaan at nagamit lang sa praktikal na paraan nang maimbento ang [[kriptosistemang RSA]] para sa seguridad sa [[internet]].<ref name=":2">{{cite book |last=Wagstaff |first=Samuel S. Jr. |title=Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL |publisher=Cambridge University Press |year=2021 |editor1-last=Bos |editor1-first=Joppe W. |series=London Mathematical Society Lecture Notes Series 469 |pages=41–77 |language=en |trans-title=Kriptograpiyang Komputasyonal, Mga Aspeto ng Algoritmo ng Kriptograpiya, isang Pagpupugay kay AKL |chapter=History of Integer Factoring |trans-chapter=Kasaysayan ng Pagsasalik sa Buumbilang |access-date= |editor2-last=Stam |editor2-first=Martijn |chapter-url=https://www.cs.purdue.edu/homes/ssw/chapter3.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20221120155733/https://www.cs.purdue.edu/homes/ssw/chapter3.pdf |archive-date=20 Nobyembre 2022 |url-status=live}}</ref> Noong ika-19 na siglo, dumating kalaunan ang heometriya sa punto na natuklasan ng mga matematiko ang mga [[heometriyang di-Euclides]], mga dimensiyon na higit sa tatlo, at mga [[manipoldo]]. Sa puntong ito ng kasaysayan, wala itong direktang gamit sa pisikal na realidad, hanggang noong nadebelop ni Albert Einstein ang kanyang teorya ng relatibidad na gumagamit sa tatlong konseptong ito; isang espasyong di-Euclides ang [[espasyo-panahon]] na inilarawan sa [[Teorya ng natatanging relatibidad|natatanging relatibidad]] na may apat na dimensiyon, at ang espasyo-panahon naman ng [[Teorya ng pangkalahatang relatibidad|pangkalahatang relatibidad]] ay isang nakakurbang manipoldo na may apat na dimensiyon.<ref>{{cite web |last=Mukunth |first=Vasudevan |date=10 Setyembre 2015 |title=Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry |trans-title=Lagpas sa Nakikita sa Relatibidad ni Einstein ay ang Mala-kimerang Heometriya |url=https://thewire.in/science/beyond-the-surface-of-einsteins-relativity-lay-a-chimerical-geometry |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20221120191206/https://thewire.in/science/beyond-the-surface-of-einsteins-relativity-lay-a-chimerical-geometry |archive-date=20 Nobyembre 2022 |access-date= |website=The Wire |language=en}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Wilson |first1=Edwin B. |last2=Lewis |first2=Gilbert N. |date=Nobyembre 1912 |title=The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics |trans-title=Ang Manipoldo ng Espasyo-panahon ng Relatibidad. Ang Heometriyang di-Euclides ng Mekanika at Elektromagnetika |journal=Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences |language=en |volume=48 |issue=11 |pages=389–507 |doi=10.2307/20022840 |jstor=20022840}}</ref>

Sa [[pisika]] naman, ginagamit ang matematika upang makagawa ng mga hinuha ukol sa mga posibleng partikulo na meron sa kalikasan. Halimbawa nito ang pagkadiskubre sa [[positron]] at [[Omega baryon|baryon]], na unang nailarawan sa teoryang matematikal bago natuklasan ang mga ito sa mga sumunod na taon sa pamamagitan ng mga eksperimento.<ref>{{cite journal |last=Hanson |first=Norwood Russell |author-link=Norwood Russell Hanson |date=Nobyembre 1961 |title=Discovering the Positron (I) |trans-title=Pagtuklas sa Positron (I) |journal=The British Journal for the Philosophy of Science |language=en |publisher=The University of Chicago Press |volume=12 |issue=47 |pages=194–214 |doi=10.1093/bjps/xiii.49.54 |jstor=685207}}</ref><ref>{{cite journal |last=Ginammi |first=Michele |date=Pebrero 2016 |title=Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω<sup>–</sup> particle |trans-title=Pag-iwas sa pagtatama: Heuristikong pagkamabisa ng matematika at ang prediskyon sa partikulong Ω<sup>–</sup> |journal=Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics |language=en |volume=53 |pages=20–27 |bibcode=2016SHPMP..53...20G |doi=10.1016/j.shpsb.2015.12.001}}</ref>

=== Mga agham ===
Ginagamit madalas ang matematika sa [[agham]] sa [[Modelong pangmatematika|pagmomodelo]] ng mga penomena upang makagawa ng mga prediksiyon base sa mga eksperimental na batas.<ref>{{cite book |last1=Bellomo |first1=Nicola |url={{GBurl|id=pJAvWaRYo3UC}} |title=Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation |last2=Preziosi |first2=Luigi |date=22 Disyembre 1994 |publisher=CRC Press |isbn=978-0-8493-8331-1 |series=Mathematical Modeling |volume=1 |page=1 |language=en |trans-title=Mga Kaparaanan sa Pagmomodelong Matematikal at Komputasyong Maagham |access-date=}}</ref> Matuturing na nakadepende lamang ang katumpakan ng mga prediksiyong ito sa kakayahan ng modelo dahil sa kalayaan ng katotohanan sa matematika mula sa kahit anong mga pag-eeksperimento.<ref>{{cite journal |last=Hennig |first=Christian |year=2010 |title=Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective |trans-title=Mga Modelong Matematikal at Realidad: Isang Konstruktibismong Pananaw |url=https://www.researchgate.net/publication/225691477 |journal=Foundations of Science |language=en |volume=15 |pages=29–48 |doi=10.1007/s10699-009-9167-x |access-date= |s2cid=6229200}}</ref> Dahil dito, masasabing mali ang modelong ginagamit kung mali ang prediksiyon, imbes na mali ang mismong konseptong matematikal.<ref>{{cite journal |last1=Frigg |first1=Roman |author-link=Roman Frigg |last2=Hartmann |first2=Stephan |author2-link=Stephan Hartmann |date=4 Pebrero 2020 |title=Models in Science |trans-title=Mga Modelo sa Agham |url=https://seop.illc.uva.nl/entries/models-science/ |url-status=live |journal= |language=en |archive-url=https://web.archive.org/web/20221117162412/https://seop.illc.uva.nl/entries/models-science/ |archive-date=17 Nobyembre 2022 |access-date= |website=Stanford Encyclopedia of Philosophy}}</ref> Halimbawa, [[Pagkumpirma sa pangkalahatang relatibidad|maipapaliwanag]] lamang ang [[apside|perihelyon]] ng [[Merkuryo]] sa [[pangkalahatang relatibidad]] ni [[Albert Einstein]], na pumalit sa [[Batas ng unibersal na grabitasyon ni Newton|naunang batas]] sa [[grabidad]] ni [[Isaac Newton]].<ref>{{cite book |last=Stewart |first=Ian |author-link=Ian Stewart (matematiko) |title=The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality |publisher=Springer |year=2018 |isbn=978-3-319-72478-2 |editor1-last=Wuppuluri |editor1-first=Shyam |series=The Frontiers Collection |pages=345–356 |language=en |trans-title=Ang Mapa at ang Teritoryo: Paglalakbay sa mga Haligi ng Agham, Kaisipan, at Realidad |chapter=Mathematics, Maps, and Models |trans-chapter=Matematika, Mapa, at Modelo |doi=10.1007/978-3-319-72478-2_18 |access-date= |editor2-last=Doria |editor2-first=Francisco Antonio |chapter-url={{GBurl|id=mRBMDwAAQBAJ|p=345}}}}</ref>

==== Matematikang puro at nalalapat ====
{{Main|Matematikang puro|Matematikang nalalapat}}
[[Talaksan:Euclid.jpg|thumb|Isang bahagi ng [[Paaralan ng Atenas|''Paaralan ng Atenas'']] ni [[Michelangelo Buonarroti|Michelangelo]], na nagpapakita kay [[Euclides]] o [[Arkimedes]], na gumuguhit sa isang maliit na pisara.]]
Hanggang noong ika-19 na siglo, nakaangkla ang pag-aaral sa matematika dahil sa pangangailangan ng [[teknolohiya]] at agham; walang malinaw na pagkakaiba ang [[matematikang puro]] at [[Matematikang nalalapat|nalalapat]].<ref name="Ferreirós_2007">{{cite book |last=Ferreirós |first=J. |title=The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-3-540-34720-0 |editor1-last=Goldstein |editor1-first=Catherine |editor1-link=Catherine Goldstein |pages=235–268 |language=en |trans-title=Ang Paghuhulma sa Aritmetika matapos ang Disquisitiones ARithmeticae ni C.F. Gauss |chapter=Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss |trans-chapter=Ό Θεὸς Άριθμητίζει: Ang Pag-angat ng Matematikang Puro bilang Aritmetika ni Gauss |editor2-last=Schappacher |editor2-first=Norbert |editor3-last=Schwermer |editor3-first=Joachim |chapter-url={{GBurl|id=IUFTcOsMTysC|p=235}}}}</ref> Halimbawa, ipinakilala ang mga [[likas na bilang]] at [[aritmetika]] dahil sa pangangailangan ng [[pagbibilang]], at [[heometriya]] naman ang resulta ng [[agrimensura]], [[arkitektura]], at [[astronomiya]]. Naipaliwanag ang paggalaw ng mga [[planeta]] pagsapit ng pag-usbong ng [[kalkulo]]. Sa panahong ito, tipikal na siyentipiko rin ang mga matematiko, at kabaligtaran.<ref>{{cite journal |last=Kuhn |first=Thomas S. |author-link=Thomas Kuhn |year=1976 |title=Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science |url=https://archive.org/details/sim_journal-of-interdisciplinary-history_summer-1976_7_1/page/1 |trans-title=Matematikal vs. Eksperimental na Tradisyon sa Pagdebelop ng Pisikal na Agham |journal=The Journal of Interdisciplinary History |language=en |publisher=The MIT Press |volume=7 |issue=1 |pages=1–31 |doi=10.2307/202372 |jstor=202372}}</ref> Gayunpaman, sa [[sinaunang Gresya]], may hiwalay na pag-aaral para sa matematikang puro.<ref>{{cite book |last=Asper |first=Markus |title=The Oxford Handbook of the History of Mathematics |publisher=OUP Oxford |year=2009 |isbn=978-0-19-921312-2 |editor1-last=Robson |editor1-first=Eleanor |series=Oxford Handbooks in Mathematics |pages=107–132 |language=en |trans-title=Ang Handbook ng Oxford sa Kasaysayn ng Matematika |chapter=The two cultures of mathematics in ancient Greece |trans-chapter=Ang dalawang kultura ng matematika sa sinaunang Gresya |access-date= |editor2-last=Stedall |editor2-first=Jacqueline |chapter-url={{GBurl|id=xZMSDAAAQBAJ|p=107}}}}</ref> Walang gamit labas sa matematika ang [[pagsasalik sa buumbilang]] ({{lang-en|integer factorization}}), na unang inimbestigahan ni [[Euclides]] noong {{BKP|300|link=y}}, hanggang noong naimbento ang [[RSA (kriptosistema)|kriptosistemang RSA]] na ginagamit ngayon sa mga [[network ng kompyuter]].<ref name=":2" />

Noong ika-19 na siglo, nagsimulang mag-imbestiga nang malaliman ang mga matematiko tulad nina [[Karl Weierstrass]] at [[Richard Dedekind]] sa mga problema ng matematika.<ref name="Ferreirós_2007" /> Nahati ang matematika bilang resulta nito, sa dalawang sangay na puro at nalalapat. Bagamat magkahiwalay, madalas na walang malinaw na hangganan ang dalawang sangay na ito. Matapos ng [[Ikalawang Digmaang Pandaigdig]], mabilis na umusad ang pagdebelop sa matematikang nalalapat sa [[Estados Unidos]] at ibang lugar. Marami sa mga teoryang nadebelop para magamit ay resulta ng interes ng mga matematikong purista, na kalaunan ay nakahanap din ng gamit labas sa matematika.<ref>{{cite book |last=Silver |first=Daniel S. |title=The Best Writing on Mathematics, 2016 |publisher=Princeton University Press |year=2017 |isbn=978-0-691-17529-4 |editor1-last=Pitici |editor1-first=Mircea |pages=17–26 |language=en |trans-title=Ang mga Pinakamagagandang Kasulatan sa Matematika, 2016 |chapter=In Defense of Pure Mathematics |trans-chapter=Depensa sa Matematikang Puro |access-date= |chapter-url={{GBurl|id=RXGYDwAAQBAJ|p=17}}}}</ref>

==== Pisika ====
{{main|Kaugnayan ng matematika at pisika}}
[[File:PenduloTmg.gif|thumb|Mailalarawan gamit matematika ang paggalaw ng isang [[pendulo]]. Dito, makikita ang mga puwersang nakakaapekto sa galaw nito: ang [[tensyon (pisika)|tensyon]] (<math display="inline">T</math>) at ang puwersang dulot ng [[grabidad]] (<math display="inline">g</math>) at [[masa]] (<math display="inline">m</math>), gayundin ang [[anggulo]] mula sa [[ekwilibriyo]] (<math display="inline">\theta</math>).]]
Itinuturing ang matematika bilang isang mahalagang kagamitan sa [[pisika]], at kabaligtaran.<ref>{{cite journal |last1=Uhden |first1=Olaf |last2=Karam |first2=Ricardo |last3=Pietrocola |first3=Maurício |last4=Pospiech |first4=Gesche |date=20 Oktubre 2011 |title=Modelling Mathematical Reasoning in Physics Education |trans-title=Pagmomodelo sa Pagdadahilang Matematikal sa Pagtuturo ng Pisika |journal=Science & Education |language=en |volume=21 |issue=4 |pages=485–506 |bibcode=2012Sc&Ed..21..485U |doi=10.1007/s11191-011-9396-6 |s2cid=122869677}}</ref> Sa ''[[Pisika (Aristoteles)|Pisika]]'', inilarawan ni [[Aristoteles]] ang pagkakaiba ng dalawang larangan.<ref>{{cite book |last1=Lear |first1=Jonathan |url=https://archive.org/details/aristotledesiret0000lear/page/232 |title=Aristotle: the desire to understand |date=1990 |publisher=Cambridge Univ. Press |isbn=9780521347624 |edition= |location=[[Cambridge]], [[Reyno Unido]] |page=232 |language=en |trans-title=Aristoteles: ang kagustuhang maintindihan}}</ref> Ang pananaw na wika ng [[kalikasan]] ang matematika ay unang ipinahayag ng [[Pitagorasismo]], na nagsasabing "lahat ay bilang" at "bilang ang hari ng mundo".<ref>{{cite web |last=Al-Rasasi |first=Ibrahim |date=21 Hunyo 2004 |title=All is number |trans-title=Lahat ay bilang |url=http://faculty.kfupm.edu.sa/math/irasasi/Allisnumber.pdf |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20141228132248/http://faculty.kfupm.edu.sa/math/irasasi/Allisnumber.pdf |archive-date=28 Disyembre 2014 |access-date= |publisher=King Fahd University of Petroleum and Minerals |language=en}}</ref> Sang-ayon si [[Galileo Galilei]] sa pananaw na ito, na nagsabi na isinulat sa wika ng matematika ang aklat ng kalikasan.<ref>{{cite book |author=Aharon Kantorovich |url=https://books.google.com/books?id=vMFc43w0FfEC&pg=PA59 |title=Scientific Discovery: Logic and Tinkering |date=1 July 1993 |publisher=SUNY Press |isbn=978-0-7914-1478-1 |pages=59 |language=en |trans-title=Maagham na Pagtuklas: Lohika at Pagbubutingting}}</ref>

==== Kompyuting ====
{{Tingnan din|Teoretikal na agham pangkompyuter|Matematikang komputasyonal}}
[[File:Hamming.jpg|thumb|Isang pagpapakita sa [[distansiyang Hamming]], isang mahalagang panukat sa [[teorya ng kodigo]].]]
Malapit ang kaugnayan ng larangan ng kompyuting sa matematika. Kinokonsidera ang [[teoretikal na agham pangkompyuter]] bilang isang sangay ng matematika.<ref>{{Cite web |title=Theoretical Computer Science |trans-title=Teoretikal na Agham Pangkompyuter |url=https://math.mit.edu/research/applied/comp-science-theory.html |access-date= |website=math.mit.edu |language=en}}</ref> Ginagamit naman sa [[matematikang komputasyonal]] ang mga sangay ng matematika, kagaya ng aritmetika, sa [[kriptograpiya]] at [[teorya ng kodigo]]. Ginagamit din sa [[agham pangkompyuter]] ang [[matematikang diskreto]] para sa larangan nito tulad ng mga [[Teorya ng komputasyonal na komplehidad|teorya ng pagkakomplikado]], [[teorya ng impormasyon|impormasyon]], at [[teorya ng grap|grap]]. Sa pagsapit ng paggamit sa mga malalakas na [[kompyuter]] at [[superkompyuter]], nagsimula ring gamitin ng mga matematiko ang mga ito upang tulungan sila sa pagpapatunay sa mga teoryang mahirap patunayan nang mano-mano. Isa sa mga mahahalagang napatunayan na teorya gamit nito ay ang  [[konhetura ni Kepler]] ukol sa [[pagpapakete sa isang espero]] ({{lang-en|sphere packing}}), na napatunayan noong 1998, at kalauna'y nakumpirma noong dekada 2010s.<ref>{{cite journal |last1=Hales |first1=Thomas |last2=Adams |first2=Mark |last3=Bauer |first3=Gertrud |last4=Dang |first4=Tat Dat |last5=Harrison |first5=John |last6=Hoang |first6=Le Truong |last7=Kaliszyk |first7=Cezary |last8=Magron |first8=Victor |last9=Mclaughlin |first9=Sean |last10=Nguyen |first10=Tat Thang |last11=Nguyen |first11=Quang Truong |date=2017 |title=A Formal Proof of the Kepler Conjecture |trans-title=Pormal na Patunay sa Konhetura ni Kepler |url=https://www.cambridge.org/core/journals/forum-of-mathematics-pi/article/formal-proof-of-the-kepler-conjecture/78FBD5E1A3D1BCCB8E0D5B0C463C9FBC |url-status=live |journal=Forum of Mathematics, Pi |language=en |volume=5 |page=e2 |doi=10.1017/fmp.2017.1 |issn=2050-5086 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201204053232/https://www.cambridge.org/core/journals/forum-of-mathematics-pi/article/formal-proof-of-the-kepler-conjecture/78FBD5E1A3D1BCCB8E0D5B0C463C9FBC |archive-date=4 Disyembre 2020 |access-date= |hdl-access=free |last12=Nipkow |first12=Tobias |last13=Obua |first13=Steven |last14=Pleso |first14=Joseph |last15=Rute |first15=Jason |last16=Solovyev |first16=Alexey |last17=Ta |first17=Thi Hoai An |last18=Tran |first18=Nam Trung |last19=Trieu |first19=Thi Diep |last20=Urban |first20=Josef |last21=Vu |first21=Ky |last22=Zumkeller |first22=Roland |s2cid=216912822 |hdl=2066/176365}}</ref>

==== Biolohiya at kimika ====
{{main|Matematikang pangbiolohiya|Matematikang pangkimika}}
[[File:Giant Pufferfish skin pattern detail.jpg|thumb|Maipapaliwanag sa matematika ang mga pattern sa balat ng mga hayop katulad nitong [[isdang globo]]; isa itong [[pattern na Turing]] na mamomodelo gamit ang isang [[sistemang reaksyon-dipyusyon]].]]
Ginagamit sa [[biolohiya]] ang [[probabilidad]] sa mga larangan kagaya ng [[ekolohiya]] at [[neurosiyensiya]].<ref name=":22">{{Cite book |last=Millstein |first=Roberta |author-link=Roberta Millstein |title=The Oxford Handbook of Probability and Philosophy |date=8 Setyembre 2016 |editor-last=Hájek |editor-first=Alan |pages=601–622 |language=en |trans-title=Ang Handbook ng Oxford sa Probabilidad at Pilosopiya |chapter=Probability in Biology: The Case of Fitness |trans-chapter=Probabilidad sa Biolohiya: Ang Kaso sa Kakayahan |doi=10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27 |access-date= |editor-last2=Hitchcock |editor-first2=Christopher |chapter-url=http://philsci-archive.pitt.edu/10901/1/Millstein-fitness-v2.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20230307054456/http://philsci-archive.pitt.edu/10901/1/Millstein-fitness-v2.pdf |archive-date=7 Marso 2023 |url-status=live}}</ref> Madalas rin itong ginagamit sa mga usapin ukol sa [[Kakayahan (biolohiya)|kakayahang ebolusyonal]] ({{lang-en|evolutionary fitness}}).<ref name=":22" /> Ginagamit sa ekolohiya ang pagmomodelo upang mailarawan ang [[dinamika ng populasyon]],<ref name=":22" /> pag-aralan ang mga [[ekosistema]] at ang sistema ng nakakain-kinakain ({{lang-en|predator-prey}}), pagsukat sa [[polusyon]],{{Sfn|Bouleau|1999|pp=282–283}} at makakuhang datos ukol sa [[pagbabago ng klima]].{{Sfn|Bouleau|1999|p=285}} Mailalarawan sa matematika ang dinamika ng populasyon gamit ang ilang mga ekwasyong deribatibo, kagaya ng [[mga ekwasyong Lotka-Volterra]].<ref>{{Cite web |date=5 Enero 2022 |title=1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model |trans-title=1.4: Ang Modelo ng Kumakain-Kinakain ni Lotka-Volterra |url=https://math.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Mathematics/Mathematical_Biology_(Chasnov)/01%3A_Population_Dynamics/1.04%3A_The_Lotka-Volterra_Predator-Prey_Model |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20221229204111/https://math.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Mathematics/Mathematical_Biology_(Chasnov)/01:_Population_Dynamics/1.04:_The_Lotka-Volterra_Predator-Prey_Model |archive-date=29 Disyembre 2022 |access-date= |website=Mathematics LibreTexts |language=en}}</ref>

Ginagamit naman sa [[pagsubok sa hinuhang pang-estadistika]] ang mga datos na nakukuha mula sa mga [[pagsubok klinikal]] upang malaman kung epektibo ba ang mga bagong [[Medisina|gamot]].<ref>{{Cite journal |last=Salsburg |first=David |date=17 Agosto 1992 |title=Commentary |trans-title=Komentaryo |url=https://www.dfcm.utoronto.ca/sites/default/files/inline-files/salsburg_1.pdf |journal=The Use of Statistical Methods in the Analysis of Clinical Studies |language=en |volume=46 |pages=17}}</ref> Simula noong ika-20 siglo, nagsimulang gamitin sa [[kimika]] ang mga [[kompyuter]] upang imodelo ang mga [[molekula]] sa [[tatlong dimensiyon]].<ref>{{Cite book |author=National Research Council |author-link= |url=https://nap.nationalacademies.org/read/10633/chapter/8 |title=Beyond the Molecular Frontier: Challenges for Chemistry and Chemical Engineering |publisher=NAP.edu |year=2003 |isbn=978-0-309-16839-7 |pages=71–73 |language=en |trans-title=Lagpas sa Hinaharap ng Molekula: Mga Hamon sa Kimika at Inhinyerang Pangkimika |chapter=8 |doi=10.17226/10633 |pmid=25032300}}</ref>

==== Agham pandaigdig ====
{{main|Heomatematika}}
[[Image:Earth gravity.png|thumb|Ang tindi ng paglihis sa pamantayang [[grabidad]] ng [[Daigdig]]; mas matindi ang mas pula. Sobra-sobra ang pagpapakita sa halimbawang ito upang makita ang pagkakaiba; sa katunayan, masyadong itong maliit upang maramdaman ng mga tao ang epekto.]]
Ginagamit ang matematika sa [[heograpiya]] at [[heolohiya]], lalo na sa mga larangan ng [[heolohiyang estraktural]] at [[klimatolohiya]] upang makagawa ng mga modelong ginagamit sa prediksyon sa mga [[sakuna]] sa hinaharap kagaya ng mga [[bagyo]]. Ganito rin ang kaso sa mga larangan ng [[meteorolohiya]], [[oseanograpiya]], at [[agham pamplaneta]].<ref>{{Cite web |title=Using Mathematical Models to Investigate Planetary Habitability |trans-title=Paggamit sa mga Modelong Matematikal upang Maimbestigahan ang Antas ng Pagiging Tirahan ng mga Planeta |url=https://icp.giss.nasa.gov/education/modules/eccm/eccm_student_3.pdf |access-date= |website=[[NASA]] |language=en}}</ref>

==== Agham panlipunan ====
{{Main|Matematikang pang-ekonomika|Dinamikang pangkasaysayan}}
[[File:Supply-demand-equilibrium.svg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:Supply-demand-equilibrium.svg|thumb|Isang grap na nagpapakita sa interaksyon sa pagitan ng [[suplay at kailangan]].]]
Malawak ang paggamit sa [[estadistika]] at [[probabilidad]], gayunin sa mga ekwasyong deribatibo, sa mga [[agham panlipunan]], kagaya ng sa [[lingguwistika]], [[ekonomika]], [[sosyolohiya]], at [[sikolohiya]].

Mahalagang konsepto sa [[matematikang pang-ekonomika]] ang ideya ng isang rasyonal na indibidwal na aktor, ang ''[[homo economicus]]'' ({{Literal na pagsasalin|tao ng ekonomiya}}).<ref name=":32">{{Cite book |last=Zak |first=Paul J. |url={{GBurl|id=6QrvmNo2qD4C|p=158}} |title=Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy |date=2010 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-3736-6 |page=158 |language=en |trans-title=Mga Merkadong Moral: Ang Kritikal na Gampanin ng mga Halaga sa Ekonomiya |access-date=}}</ref> Sa modelong ito, palaging susundin ng indibidwal [[Teorya ng rasyonal na pagpili|ang kanyang interes]] at isesentro ang lahat ng mga gagawin niyang pagpili gamit ang [[perpektong impormasyon]].<ref>{{cite book |last1=Levin |first1=Jonathan |url=https://web.stanford.edu/~jdlevin/Econ%20202/Choice%20Theory.pdf |title=Introduction to Choice Theory |last2=Milgrom |first2=Paul |date=Setyembre 2004 |language=en |trans-title=Panimula sa Teorya ng Pagpili}}</ref> Sa ganitong pananaw napapadali ang paggamit ng matematika sa ekonomika. Maaaring mamodelo sa tulong nito ang mga mekanismong nagpapaandar sa ekonomiya. Hindi lahat ng mga ekonomista ay sang-ayon sa ideya ng ''homo economicus''.

Simula noong ika-20 siglo, nagkaroon ng mga adhikain sa larangan upang mailarawan ang mga kilusan sa [[kasaysayan]] sa anyong matematikal. Noong 1922, ipinahayag ni [[Nikolai Kondratiev]] ang kanyang konsepto ng mga [[Alon ni Kondratiev|siklong ipinangalan sa kanya]], na nagpapaliwanag sa mga panahon ng pag-usad ng ekonomiya at ang mga krisis.<ref>{{Cite web |title=Kondratiev, Nikolai Dmitrievich {{!}} Encyclopedia.com |url=https://www.encyclopedia.com/history/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/kondratiev-nikolai-dmitrievich |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20160701224009/http://www.encyclopedia.com/doc/1G2-3404100667.html |archive-date=1 Hulyo 2016 |access-date= |website=www.encyclopedia.com |language=en}}</ref> Sa pagtatapos ng nakaraang siglo, nagsimulang gamitin ng mga matematiko ang matematika sa [[heopolitika]]. Noong dekada 1990s, dinebelop ni [[Peter Turchin]] ang [[kliodinamika]].<ref name=":4">{{Cite web |title=Cliodynamics: a science for predicting the future |trans-title=Kliodinamika: ang agham para sa prediksyon sa hinaharap |url=https://www.zdnet.com/article/cliodynamics-a-science-for-predicting-the-future/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20221229204104/https://www.zdnet.com/article/cliodynamics-a-science-for-predicting-the-future/ |archive-date=29 Disyembre 2022 |access-date= |website=ZDNET |language=en}}</ref>

Hindi sa lahat ng pagkakataon ay magagamit ang matematika sa larangan. Sa kanilang kontrobersyal na aklat na ''[[Fashionable Nonsense]]'' (1997), kumontra sina [[Alan Sokal]] at [[Jean Bricmont]] sa abusadong paggamit ng mga terminolohiya sa agham, lalo na sa matematika at pisika, sa agham panlipunan.<ref>{{cite book |last=Sokal |first=Alan |author-link=Alan Sokal |url=https://archive.org/details/fashionablenonse00soka |title=Fashionable Nonsense |author2=Jean Bricmont |author2-link=Jean Bricmont |publisher=Picador |year=1998 |isbn=978-0-312-19545-8 |location=New York |language=en |trans-title=Marangyang Kalokohan |oclc=39605994}}</ref> Gumagamit ng matematika ang pag-aaral sa mga sistemang komplikado. Gayunpaman, nananatili pa ring kontrobersyal ang paggamit nito para sa ilang mga kriteryon, kagaya ng sa [[Kawalang trabaho|kawalang-trabaho]].<ref>{{Cite web |title=Modern Macroeconomic Models as Tools for Economic Policy |trans-title=Makroekonomiko bilang mga Kagamitan sa Patakarang Pang-ekonomiya |url=https://www.minneapolisfed.org/article/2010/modern-macroeconomic-models-as-tools-for-economic-policy |website=Federal Reserve Bank of Minneapolis |language=en}}</ref>

=== Astrolohiya at esoterismo ===
{{Main|Astrolohiya|Numerolohiya}}
Mga [[astrologo]] din ang ilang mga matematiko, kagaya nina [[Ptolomeo|Ptolemeo]] at [[Johannes Kepler]]. Noong [[Gitnang Kapanahunan]], kinokonsidera bilang isang agham ang astrolohiya, na kinabibilangan ng matematika. Sa [[Ensiklopedya|ensiklopedyang]] isinulat ni [[Theodor Zwinger]], [[astrolohiya]] ang "agham pangmatematika na nag-aaral sa aktibong paggalaw ng bawat bagay sa langit", at matematika naman ang "ginagamit upang makalkula ang probabilidad ng mga impluwensiya ng mga [[bituin]] upang malaman agad ang kanilang pagsalubong at paghihiwalay".<ref>{{Cite book |last=Beaujouan |first=Guy |url={{GBurl|id=92n7ZE8Iww8C|p=130}} |title=Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Age: mélanges d'histoire des sciences offerts à Guy Beaujouan |date=1994 |publisher=Librairie Droz |isbn=978-2-600-00040-6 |page=130 |language=fr |trans-title=Pag-unawa at pag-master ng kalikasan sa Middle Ages: mga pinaghalong kasaysayan ng agham na inaalok kay Guy |access-date=}}</ref> Hindi na itinuturing na agham ang astrolohiya sa modernong panahon, at karaniwan na itong ginugrupo sa mga [[seudosiyensiya]].<ref>{{Cite web |title=L'astrologie à l'épreuve : ça ne marche pas, ça n'a jamais marché ! |trans-title=Sinubukan ang astrolohiya: hindi ito gumagana, hindi ito gumana! |url=https://www.afis.org/L-astrologie-a-l-epreuve-ca-ne-marche-pas-ca-n-a-jamais-marche |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230129204349/https://www.afis.org/L-astrologie-a-l-epreuve-ca-ne-marche-pas-ca-n-a-jamais-marche |archive-date=29 Enero 2023 |access-date= |website=Afis Science – Association française pour l’information scientifique |language=fr}}</ref>

== Pilosopiya ==
{{Main|Pilosopiya ng matematika}}

=== Realidad ===
Paksa na sa mga debate sa [[pilosopiya]] ang [[Pilosopiya ng matematika|koneksyon ng matematika at ang materyal na realidad]] simula pa noong panahon ni [[Pitagoras]]. Ayon kay [[Platon]], may mga sari-sariling realidad ang mga kabasalan na nagpapakita sa materyal na realidad na labas sa espasyo at panahon; ito ang pundasyon ng [[Platonismong matematikal]].<ref name="SEP-Platonism">{{cite encyclopedia |year=2016 |title=Platonism in Metaphysics |encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy |publisher=Metaphysics Research Lab, Stanford University |url=https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/platonism |access-date= |last=Balaguer |first=Mark |editor-last=Zalta |editor-first=Edward N. |edition= |language=en |trans-title=Platonismo sa Metapisika |archive-url=https://web.archive.org/web/20220130174043/https://plato.stanford.edu/archives/spr2016/entries/platonism/ |archive-date=30 Enero 2022 |url-status=live}}</ref> Ibinuod ni [[Armand Borel]] ang ganitong pananaw sa matematika. Ayon sa kanya:<ref name="borel">{{Cite journal |last=Borel |first=Armand |author-link=Armand Borel |year=1983 |title=Mathematics: Art and Science |trans-title=Matematika: Sining at Agham |journal=The Mathematical Intelligencer |language=en |publisher=Springer |volume=5 |issue=4 |pages=9–17 |doi=10.4171/news/103/8 |issn=1027-488X |doi-access=free}}</ref>{{blockquote|Magiging obhetibo (imbes na "subhetibo") ang isang bagay kung tayo ay kumbinsido na may ganito sa kaisipan ng iba sa anyong kapareho ng sa atin at kung maiisip ba natin ito at madidiskurso. Dahil sobrang tiyak ng wika ng matematika, sakto ito para sa pagbibigay-kahulugan sa mga konseptong napagkasunduang umiiral. Sa aking opinyon, sapat na yon upang mabigyan tayo ng {{em|pakiramdam}} na obhetibong umiiral ito, sa realidad ng matematika...{{efn|{{lang-en|Something becomes objective (as opposed to "subjective") as soon as we are convinced that it exists in the minds of others in the same form as it does in ours and that we can think about it and discuss it together. Because the language of mathematics is so precise, it is ideally suited to defining concepts for which such a consensus exists. In my opinion, that is sufficient to provide us with a {{em|feeling}} of an objective existence, of a reality of mathematics ...}}}}}}Gayunpaman, taliwas ito sa [[The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences|pagiging sobra-sobrang pagkamabisa]] ng matematika sa ibang mga larangan.<ref name=":4" />

=== Mungkahing kahulugan ===
{{Main|Kahulugan ng matematika}}
Walang napagkakasunduang kahulugan para sa matematika, gayundin sa estado nito sa [[epistemolohiya]].<ref name="Runge">{{cite book |last1=Tobies |first1=Renate |author1-link=Renate Tobies |url={{GBurl|id=EDm0eQqFUQ4C|p=9}} |title=Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry |last2=Neunzert |first2=Helmut |publisher=Springer |year=2012 |isbn=978-3-0348-0229-1 |page=9 |language=en |trans-title=Iris Runge: Buhay sa Salubungan ng Matematika, Agham, at Industriya |quote= |access-date=}}</ref><ref name="Mura">{{cite journal |last=Mura |first=Roberta |date=Disyembre 1993 |title=Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences |trans-title=Mga Imahe ng Matematika na Pinanghahawakan ng mga Guro ng mga Agham Pangmatematika sa mga Pamantasan |journal=Educational Studies in Mathematics |language=en |volume=25 |issue=4 |pages=375–85 |doi=10.1007/BF01273907 |jstor=3482762 |s2cid=122351146}}</ref> Walang pake kadalasan ang mga matematiko sa kahulugan nito, o di kaya'y sinasabi na lang na wala itong kahulugan.<ref name="Mura" /> Hindi rin malinaw kung sining o agham ba ang matematika.<ref name="Runge" /> Madalas sabihin sa karaniwang diskurso ang katagang "matematika ang ginagawa ng mga matematiko", na bagamat isang [[pagdadahilang pabilog]] ({{lang-en|circular reasoning}}) ay maiintindihan pa rin, dahil madalas napapagkakasunduan kung alin ang itinuturing na matematika sa hindi.<ref name="Mura" /> Marami sa mga mungkahing kahulugan ay kahulugan batay sa pinag-aaralan nito.<ref>{{cite conference|title="What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it|first1=Günter M.|last1=Ziegler|author1-link=Günter M. Ziegler|first2=Andreas|last2=Loos|editor-last=Kaiser|editor-first=G.|conference=Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education|series=ICME-13 Monographs|date=2 Nobyembre 2017|pages=63–77|publisher=Springer|doi=10.1007/978-3-319-62597-3_5|isbn=978-3-319-62596-6|lang=en|trans-title="Ano ang Matematika?" at bakit natin dapat tanungin yon, saan mararanasan at matutunan ng isa tungkol rito, at paano ito ituturo}}</ref>

Ayon kay [[Aristoteles]], matematika ang "agham ng [[kantidad]]". Ang pananaw na ito ang nanatiling kahulugan ng matematika hanggang noong ika-18 siglo. Gayunpaman, binigyang-pansin din niya na hindi sapat ang kantidad upang maihiwalay ang matematika mula sa mga agham tulad ng pisika; ayon sa kanya, ang natatanging naghihiwalay sa matematika ay ang kabasalan at ang pag-aaral sa kantidad bilang katangian na hinihiwalay ng kaisipan mula sa realidad.<ref name="Franklin">{{Cite book |last=Franklin |first=James |author-link=James Franklin (philosopher) |url={{GBurl|id=mbn35b2ghgkC|p=104}} |title=Philosophy of Mathematics |date=2009 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-08-093058-9 |pages=104–106 |language=en |trans-title=Pilosopiya ng Matematika |access-date=}}</ref> Simula noong ika-19 na siglo, nang nagsimulang pag-aralan ng mga matematiko ang mga [[walang-hanggang pangkat]], na hindi makikita sa realidad, nagsimulang lumitaw ang mga bagong kahulugan sa larangan.<ref name="Cajori">{{cite book |last=Cajori |first=Florian |author-link=Florian Cajori |url={{GBurl|id=mGJRjIC9fZgC|p=285}} |title=A History of Mathematics |publisher=American Mathematical Society |year=1991 |isbn=978-0-8218-2102-2 |pages=285–286 |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Matematika |access-date= |orig-date=1893}}</ref> Pagsapit ng ika-20 siglo, ang mabilis na pagdami ng mga bagong larangan ang naging dahilan upang ituring ng ilang mga matematiko na mahirap bigyang-kahulugan ang matematika.

Ginagamit ding kahulugan ang ideya na matematika na'ng maituturing ang isang larangan kung ginagamit nito ang mga kaparaanan sa matematika. Halimbawa nito ay ang pagpapatunay sa mga teorema, na nangangailangan ng [[lohika]] sa pagdadahilan.<ref>{{cite journal |last1=Brown |first1=Ronald |author1-link=Ronald Brown (matematiko) |last2=Porter |first2=Timothy |date=Enero 2000 |title=The Methodology of Mathematics |trans-title=Ang Metodolohiya ng Matematika |url=https://cds.cern.ch/record/280311 |url-status=live |journal=The Mathematical Gazette |language=en |volume=79 |issue=485 |pages=321–334 |doi=10.2307/3618304 |jstor=3618304 |archive-url=https://web.archive.org/web/20230323164159/https://cds.cern.ch/record/280311 |archive-date=23 Marso 2023 |access-date= |s2cid=178923299}}</ref> Isa ring ginagamit na kahulugan ay ang [[teorya ng aksomatikong pangkat]] ({{lang-en|axiomatic set theory}}), ang teoryang kinokonsidera na ngayon bilang haligi ng modernong pag-aaral sa matematika.<ref>{{cite journal |last=Strauss |first=Danie |year=2011 |title=Defining mathematics |trans-title=Pagbibigay-kahulugan sa matematika |url=https://www.researchgate.net/publication/290955899 |journal=Acta Academica |language=en |volume=43 |issue=4 |pages=1–28 |access-date=}}</ref>

=== Kahigpitan ===
{{Main|Kahigpitang pangmatematika}}
Kinakailangan ang [[kahigpitang pangmatematika|kahigpitan]] sa matematika. Ibig sabihin, dapat malinaw ang mga kahulugan at maisusulat ang mga [[patunay]] sa isang serye ng paggamit sa mga [[tuntunin sa imperensiya]] nang di agad gumagamit ng mga ebidensiyang empirikal o [[kutob]].<ref>{{cite journal |last=Hamami |first=Yacin |date=Hunyo 2022 |title=Mathematical Rigor and Proof |trans-title=Kahigpitang Pangmatematika at Patunay |url=https://www.yacinhamami.com/wp-content/uploads/2019/12/Hamami-2019-Mathematical-Rigor-and-Proof.pdf |url-status=live |journal=The Review of Symbolic Logic |language=en |volume=15 |issue=2 |pages=409–449 |doi=10.1017/S1755020319000443 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221205114343/https://www.yacinhamami.com/wp-content/uploads/2019/12/Hamami-2019-Mathematical-Rigor-and-Proof.pdf |archive-date=5 Disyembre 2022 |access-date= |s2cid=209980693}}</ref> Bagamat hindi lamang sa matematika isinasagawa ang kahigpitan, mataas ang antas ng pagkahigpit sa larangan. Kahit na may mga tiyak na kahulugan sa matematika, kadalasang umaabot ng daan-daang pahina upang maisulat ang mga patunay. Mas lalo pa itong pinalawak pagsapit ng pag-usbong ng mga [[katulong na kompyuter sa pagpapatunay]].<ref>{{harvnb|Peterson|1988|p=4}}</ref> Nagresulta ito sa pilosopiyang [[kwasi-empirisismo sa matematika|kwasi-empirisismo]] ({{lang-en|quasi-empiricism}}), na nagsasabing di kailanman masasabing tama ang isang patunay dahil may probabilidad na kaakibat ang mga ito.<ref name="Kleiner_1991" />

Sa dulo ng ika-19 na siglo, humantong ang matematika sa puntong may mga kahulugan na hindi masyadong tiyak para maiwasan ang mga [[kabalintunaan]] ({{lang-en|paradox}}) at [[kontradiksiyon]]. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsama sa mga aksoma na may mga [[Apodiktiko|apodiktikong]] tuntunin ng imperensiya sa mga teoremang matematikal.<ref name="Kleiner_1991" /> Tanging sa pamamagitan ng pagtanggap ng marami sa patunay bilang tama sa paglipas ng panahon ay maituturing ang teoremang ito bilang mapagkakatiwalaan. Dahil dito, ang tradisyonal na konsepto ng kahigpitan ay nawala,<ref>{{cite journal |last=Perminov |first=V. Ya. |year=1988 |title=On the Reliability of Mathematical Proofs |trans-title=Ukol sa Pagtitiwala sa mga Patunay Pangmatematika |journal=Philosophy of Mathematics |language=en |publisher=Revue Internationale de Philosophie |volume=42 |issue=167 (4) |pages=500–508}}</ref> bagamat ginagamit pa rin ito para sa pagtuturo sa mga baguhan ukol sa pagpapatunay sa matematika.<ref>{{cite journal |last1=Davis |first1=Jon D. |last2=McDuffie |first2=Amy Roth |last3=Drake |first3=Corey |last4=Seiwell |first4=Amanda L. |year=2019 |title=Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor |trans-title=Mga pananaw ng mga guro sa opisyal na kurikulum: Pagreresolba sa mga problema at kahigpitan |journal=International Journal of Educational Research |language=en |volume=93 |pages=91–100 |doi=10.1016/j.ijer.2018.10.002 |s2cid=149753721}}</ref>

== Pagtuturo ==
{{Main|Pagtuturo ng matematika}}Ayon sa arkeolohiya, itinuturo na ang matematika simula pa noong {{BKP|ikalawang milenyo|link=y}} sa [[Babilonya]].<ref>{{cite book |last=Robson |first=Eleanor |author-link=Eleanor Robson |title=The Oxford Handbook of the History of Mathematics |publisher=OUP Oxford |year=2009 |isbn=978-0-19-921312-2 |editor1-last=Robson |editor1-first=Eleanor |language=en |trans-title=Ang Handbook ng Oxford sa Kasaysayan ng Matematika |chapter=Mathematics education in an Old Babylonian scribal school |trans-chapter=Pagtuturo sa matematika sa isang matandang paaralang pang-eskriba sa Babilonya |access-date= |editor2-last=Stedall |editor2-first=Jacqueline |editor2-link=Jackie Stedall |chapter-url={{GBurl|id=xZMSDAAAQBAJ|p=199}}}}</ref> May mga nakita ring ebidensiya ng pagtuturo sa [[sinaunang Malapit na Silangan]] at sa [[mundong Greko-Romano]] mula noong {{BKP|300|link=}}.<ref>{{cite book |last1=Bernard |first1=Alain |title=Handbook on the History of Mathematics Education |last2=Proust |first2=Christine |author2-link=Christine Proust |last3=Ross |first3=Micah |publisher=Springer |year=2014 |isbn=978-1-4614-9154-5 |editor1-last=Karp |editor1-first=A. |publication-place=New York |pages=27–53 |language=en |trans-title=Handbook sa Kasaysayan ng Pagtuturo sa Matematika |chapter=Mathematics Education in Antiquity |trans-chapter=Pagtuturo sa Matematika noong Sinaunang Panahon |doi=10.1007/978-1-4614-9155-2_3 |editor2-last=Schubring |editor2-first=G.}}</ref> Ang pinakamatandang aklat ng matematika ay ang [[papiro ni Rhind]], na tinatayang ginawa noong {{BKP|1650|link=}} sa [[Ehipto]].<ref>{{cite journal |last=Dudley |first=Underwood |date=Abril 2002 |title=The World's First Mathematics Textbook |trans-title=Ang Unang Aklat ng Matematika sa Mundo |journal=Math Horizons |language=en |publisher=Taylor & Francis, Ltd. |volume=9 |issue=4 |pages=8–11 |doi=10.1080/10724117.2002.11975154 |jstor=25678363 |s2cid=126067145}}</ref> Dahil sa kakulangan ng mga aklat, pinagpasa-pasahan ng mga matematiko sa sinaunang India ang kaalaman sa matematika sa pamamagitan ng pagkakabisado sa mga [[tradisyong pasalita]] simula noong [[Panahong Vediko|panahon ng mga Veda]].<ref>{{cite conference|title=Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam|last=Subramarian|first=F.|conference=History and Pedagogy of Mathematics conference|url=http://hpm2012.onpcs.com/Proceeding/OT2/T2-10.pdf|access-date=|archive-date=28 Nobyembre 2022|archive-url=https://web.archive.org/web/20221128082654/http://hpm2012.onpcs.com/Proceeding/OT2/T2-10.pdf|url-status=live|format=PDF|trans-title=Pedagohiya ng India at pagreresolba ng problema sa sinaunang Thamizhakam|lang=en}}</ref> Noong [[dinastiyang Tang]] naman sa [[Tsina]], isinama ang matematika sa kurikulum para sa [[imperyal na pagsusulit]] upang makasama sa burokrasya ng estado.<ref>{{cite book |last=Siu |first=Man Keung |url=https://scholar.archive.org/work/3fb5lb2qsfg35gf2cv6viaydny/access/wayback/http://hkumath.hku.hk:80/~mks/Chapter%206-Siu.pdf |title=How Chinese Learn Mathematics |year=2004 |isbn=978-981-256-014-8 |series=Series on Mathematics Education |volume=1 |pages=157–185 |language=en |trans-title=Paano Natututo ang mga Tsino ng Matematika |chapter=Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination? |trans-chapter=Opisyal na Kurikulum sa Matematika ng Sinaunang Tsina: Paano Nag-aaral ang mga Kandidato para sa Pagsusulit? |doi=10.1142/9789812562241_0006 |access-date=}}</ref>

Matapos ang [[Mga Madilim na Panahon|Madilim na Panahon]] sa Europa, itinuro ang matematika sa mga paaralang panrehiliyon bilang bahagi ng ''[[quadrivium]]''. Nagsimula naman ang pormal na pagtuturo sa pedagohiya sa mga paaralan ng [[Kapisanan ni Hesus|mga Heswita]] noong ika-16 at ika-17 siglo. Praktikal ang kurikulum ng matematika hanggang noong ika-19 na siglo, nang nagsimula itong seryosohin sa [[Alemanya]] at [[Pransiya]], kung saan itinatag ang unang [[akademikong dyornal]] para sa pagtuturo ng matematika, ang ''[[L'Enseignement Mathématique]]'', na nagsimula noong 1899.<ref>{{cite journal |last1=Jones |first1=Phillip S. |year=1967 |title=The History of Mathematical Education |url=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1967-01_74_1/page/38 |trans-title=Ang Kasaysayan ng Pagtuturo sa Matematika |journal=The American Mathematical Monthly |language=en |publisher=Taylor & Francis, Ltd. |volume=74 |issue=1 |pages=38–55 |doi=10.2307/2314867 |jstor=2314867}}</ref> Ang pag-usad ng agham at teknolohiya sa [[Kanluraning Mundo]] ang nagpahantong sa pagtatatag sa mga sentralisadong sistema ng pagtuturo sa maraming mga bansa, kung saan kabilang ang matematika sa mga mahahalagang asignatura, dahil sa pangangailangan ng militar nung una.<ref>{{cite journal |last1=Schubring |first1=Gert |last2=Furinghetti |first2=Fulvia |last3=Siu |first3=Man Keung |date=Agosto 2012 |title=Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies |trans-title=Panimula: ang kasaysayan ng pagtuturo sa matematika. Mga pantukoy para sa mga proseso ng modernisasyon sa mga lipunan |journal=ZDM Mathematics Education |language=en |volume=44 |issue=4 |pages=457–459 |doi=10.1007/s11858-012-0445-7 |doi-access=free |s2cid=145507519}}</ref> Bagamat iba-iba ang nilalaman ng kurikulum at kalidad ng pagtuturo, itinuturo ang matematika sa lahat ng mga bansa sa mundo sa kasalukuyang panahon.<ref>{{Cite book |last1=von Davier |first1=Matthias |url=https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED610099.pdf |title=TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science |last2=Foy |first2=Pierre |last3=Martin |first3=Michael O. |last4=Mullis |first4=Ina V.S. |publisher=[[TIMSS]] & [[PIRLS]] International Study Center, [[Lynch School of Education and Human Development]], at [[International Association for the Evaluation of Educational Achievement]] |year=2020 |isbn=978-1-889938-54-7 |page=13.1 |language=en |trans-title=Mga Pandaigdigang Resulta sa Matematika at Agham ng TIMSS 2019 |chapter=Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data: A Look at Country-Level Mode of Administration Effects |trans-chapter=Pagsisiyasat sa mga Pagkakaibang Pambansa ng eTIMSS sa pagitan ng Datos ng eTIMSS at Datos ng Tulay: Pagtingin sa mga Epekto sa Administrasyon sa Antas ng Bansa |access-date= |archive-url=https://web.archive.org/web/20221129163908/https://files.eric.ed.gov/fulltext/ED610099.pdf |archive-date=29 Nobyembre 2022 |url-status=live}}</ref>

Habang nag-aaral, may korelasyon ang kakayahan ng isang bata sa matematika sa magiging karera niya sa hinaharap. Nakakaimpluwensiya sa interes ng bata sa matematika ang mga panlabas na salik tulad ng motibasyon ng mga guro, magulang, at kaklase.<ref>{{cite journal |last1=Rowan-Kenyon |first1=Heather T. |last2=Swan |first2=Amy K. |last3=Creager |first3=Marie F. |date=Marso 2012 |title=Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career |trans-title=Mga Salik Kognitibong Panlipunan, Suporta, at Pakikiayon: Mga Interes sa Matematika ng mga Baguntao bilang mga Panimula sa Pagpili sa Tatahaking Karera |url=https://www.academia.edu/download/45974312/j.2161-0045.2012.00001.x20160526-3995-67kydl.pdf |url-status=live |journal=The Career Development Quarterly |language=en |volume=60 |issue=1 |pages=2–15 |doi=10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x |archive-url=https://web.archive.org/web/20231122212933/https://d1wqtxts1xzle7.cloudfront.net/45974312/j.2161-0045.2012.00001.x20160526-3995-67kydl-libre.pdf?1464293840=&response-content-disposition=inline%3B+filename%3DSocial_Cognitive_Factors_Support_and_Eng.pdf&Expires=1700692172&Signature=cs9KfTPxoPh859wY~ExtJyAl9NpYb3X-2P4rDel1Z3z7DwehsHLRggoZtgi1pMsamxYobu9dVK4G7OsqfvNxcuwz3uKh1pnCMZQEz~ahVtPb4kvN-4dmwExJplzoxWu31o3SJOfuBt0GGE-0Hl8eLfPBg5agmtkjSwAWQwlqGrjp3YgYZGjbNxOEAM4t1l4qvoWXidWvSHHcEUNvlKYwCDvG0~QhGTmA6ldxmfS1ovf0adog-qqvjGxxJuSjtP6O8zCTwkPXYwi2e8giI0H6b5fNarHc-2q~-NRnVVtYKhvSBcwC22kNZoA7s8sp8ix9KIdM3uxiUIBRBRC-4aaVoQ__&Key-Pair-Id=APKAJLOHF5GGSLRBV4ZA |archive-date=22 Nobyembre 2023 |access-date=}}</ref> Gayunpaman, maaari ring humantong ang ilan sa pagkatakot sa naturang asignatura, kilala sa tawag na [[pagkabalisa sa matematika]], na kinokonsidera bilang isa sa mga pinakanakakaapekto sa kahusayan sa klase ng isang mag-aaral. Maaaring madebelop ang pagkabalisa sa maraming paraan, partikular na ang ugali ng magulang o guro sa pagturo sa matematika, mga maling akala sa lipunan, at maging mga personal na dahilan. Upang maiwasan o maagapan ito, marami sa mga paaralan sa mundo ang nagbabago sa paraan ng pagtuturo sa matematika.<ref>{{cite journal |last1=Luttenberger |first1=Silke |last2=Wimmer |first2=Sigrid |last3=Paechter |first3=Manuela |year=2018 |title=Spotlight on math anxiety |trans-title=Pagtutok sa pagkabalisa sa matematika |journal=Psychology Research and Behavior Management |language=en |volume=11 |pages=311–322 |doi=10.2147/PRBM.S141421 |pmc=6087017 |pmid=30123014 |doi-access=free}}</ref>

== Epekto sa kultura ==

=== Sining ===
{{Main|Matematika at sining}}
[[Talaksan:Mandelbrot sequence new.gif|thumb|Isang [[animasyon]] sa [[pangkat na Mandelbrot]], isang [[praktal]] na nagpapakita sa [[pagkakamukha]] habang lumalapit.]]
Nakasulat sa simpleng [[rasyo]] ang mga [[nota]] na kinokonsiderang magandang pakinggan sa Kanluraning musika. Nirerepresenta nito ang mga tiyak na dalasan, kagaya ng pagdoble nito sa kada pagpalit ng [[oktaba]] ({{lang-en|octave}}), at ang [[perpektong sangkalima]] ({{lang-en|perfect fifth}}) na nangyayari sa kada <math display="inline">\frac{3}{2}</math> bahagi.<ref>{{cite journal |last=Cazden |first=Norman |date=Oktubre 1959 |title=Musical intervals and simple number ratios |trans-title=Mga pagitang pangmusika at mga simpleng rasyo ng bilang |journal=Journal of Research in Music Education |language=en |volume=7 |issue=2 |pages=197–220 |doi=10.1177/002242945900700205 |jstor=3344215 |s2cid=220636812}}</ref><ref>{{cite journal |last=Budden |first=F. J. |date=Oktubre 1967 |title=Modern mathematics and music |url=https://archive.org/details/sim_mathematical-gazette_1967-10_51_377/page/204 |trans-title=Modernong matematika at musika |journal=The Mathematical Gazette |language=en |publisher=Cambridge University Press |volume=51 |issue=377 |pages=204–215 |doi=10.2307/3613237 |jstor=3613237 |s2cid=126119711}}</ref>

Kinokonsiderang maganda rin ng mga tao ang pagkakapantay-pantay o [[simetriya]].<ref>{{Cite journal |last1=Enquist |first1=Magnus |last2=Arak |first2=Anthony |date=Nobyembre 1994 |title=Symmetry, beauty and evolution |trans-title=Simetriya, kagandahan, at ebolusyon |url=https://www.nature.com/articles/372169a0 |url-status=live |journal=Nature |language=en |volume=372 |issue=6502 |pages=169–172 |bibcode=1994Natur.372..169E |doi=10.1038/372169a0 |issn=1476-4687 |pmid=7969448 |archive-url=https://web.archive.org/web/20221228052049/https://www.nature.com/articles/372169a0 |archive-date=28 Disyembre 2022 |access-date= |s2cid=4310147}}</ref> Sa matematika, bumubuo ng [[Grupong simetrikal|isang grupo]] ang mga simetriya ng isang bagay.<ref>{{Cite web |last=Hestenes |first=David |date=1999 |title=Symmetry Groups |trans-title=Mga Grupong Simetrikal |url=http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/SymmetryGroups.pdf |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230101210124/http://geocalc.clas.asu.edu/pdf-preAdobe8/SymmetryGroups.pdf |archive-date=1 Enero 2023 |access-date= |website=geocalc.clas.asu.edu |language=en}}</ref> Halimbawa, ang grupo na may simetriyang nakasalamin (baligtaran) ay isang [[grupong sikliko]] ng dalawang elemento, <math display="inline">\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}</math>. Ang [[pagsubok na Rorschach]] ay isang pigurang di nababago ng simetriya.<ref>{{cite encyclopedia |title=The Rorschach Test |encyclopedia=The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment |publisher=Wiley |last=Bender |first=Sara |date=Setyembre 2020 |editor1-last=Carducci |editor1-first=Bernardo J. |pages=367–376 |language=en |trans-title=Ang Pagsubok na Rorschach |doi=10.1002/9781119547167.ch131 |isbn=978-1-119-05751-2 |editor2-last=Nave |editor2-first=Christopher S. |editor3-last=Mio |editor3-first=Jeffrey S. |editor4-last=Riggio |editor4-first=Ronald E.}}</ref> [[Pagkakamukha|Magkakamukha naman]] ang mga detalye ng isang [[praktal]] ({{lang-en|fractal}}).<ref>{{Cite web |last=Bradley |first=Larry |date=2010 |title=Fractals – Chaos & Fractals |trans-title=Mga Praktal - Kaguluhan & Praktal |url=https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/fractals.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230307054609/https://www.stsci.edu/~lbradley/seminar/fractals.html |archive-date=7 Marso 2023 |access-date= |website=www.stsci.edu |language=en}}</ref><ref>{{Cite web |title=Self-similarity |trans-title=Pagkakamukha |url=https://math.bu.edu/DYSYS/chaos-game/node5.html |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20230302132911/http://math.bu.edu/DYSYS/chaos-game/node5.html |archive-date=2 Marso 2023 |access-date= |website=math.bu.edu |language=en}}</ref>

=== Popularisasyon ===
{{Main|Matematikang popular}}
[[Matematikang popular]] ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagpapaliwanag sa mga konsepto sa matematika sa anyong maiintindihan ng marami.<ref>{{Cite conference|last=Kissane|first=Barry|date=Hulyo 2009|title=Popular mathematics|url=https://researchrepository.murdoch.edu.au/id/eprint/6242/|conference=Ika-22 Bienyal na Kumperensiya ng The Australian Association of Mathematics Teachers|location=[[Fremantle]], [[Kanlurang Australia]]|publisher=Australian Association of Mathematics Teachers|pages=125–126|access-date=|archive-date=7 Marso 2023|archive-url=https://web.archive.org/web/20230307054610/https://researchrepository.murdoch.edu.au/id/eprint/6242/|url-status=live|lang=en|trans-title=Matematikang popular}}</ref> Dahil madalas ay malayo sa realidad ang marami sa mga konsepto sa matematika, madalas ding nahihirapan ang mga taong hindi aral sa paksa.<ref>{{Cite book |last=Steen |first=L. A. |url={{GBurl|id=-d3TBwAAQBAJ|dq="popular mathematics" analogies|p=2}} |title=Mathematics Today Twelve Informal Essays |date=2012 |publisher=Springer Science & Business Media |isbn=978-1-4613-9435-8 |page=2 |language=en |trans-title=Labindalawang Impormal na Sanaysay ng Mathematics Today |access-date=}}</ref> Ipinapaliwanag ang mga ito kadalasan sa anyong nagagamit o nalalapat sa pang-araw-araw na buhay.<ref>{{Cite book |last=Pitici |first=Mircea |url={{GBurl|id=9nGQDQAAQBAJ|dq="popular mathematics" analogies|p=331}} |title=The Best Writing on Mathematics 2016 |date=2017 |publisher=Princeton University Press |isbn=978-1-4008-8560-2 |language=en |trans-title=Ang mga Pinakamagagandang Sulatin sa Matematika ng 2016 |access-date=}}</ref>

== Parangal at paligsahan ==
[[File:FieldsMedalFront.jpg|link=https://en.wikipedia.org/wiki/File:FieldsMedalFront.jpg|thumb|Ang harapang bahagi ng [[Medalyang Fields]], na nagpapakita kay [[Arkimedes]].]]
Ang pinakamataas na parangal sa matematika ay ang [[Medalyang Fields]],{{sfn|Monastyrsky|2001|p=1|ps=: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."}}{{sfn|Riehm|2002|pp=778–782}} na unang ibinigay noong 1936 at binibigay kada apat na taon (maliban noong [[Ikalawang Digmaang Pandaigdig]]) sa hanggang apat na tao.<ref name="StAndrews-Fields">{{Cite web |title=Fields Medal |trans-title=Medalyang Fields |url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20190322134417/http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Honours/FieldsMedal.html |archive-date=22 Marso 2019 |access-date= |website=Maths History |language=en}}</ref> Ito ang kinokonsiderang katumbas ng [[Gantimpalang Nobel]] sa matematika.<ref name="StAndrews-Fields" />

Pinagsama ni [[David Hilbert]] ang sikat na ngayo'y na 23 di pa nalulutas na problemang kilala ngayon sa tawag na [[mga problema ni Hilbert]].<ref name=":02">{{Cite web |date=6 Mayo 2020 |title=Hilbert's Problems: 23 and Math |trans-title=Mga Problema ni Hilbert: 23 at Matematika |url=https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/ |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20220123011430/https://www.simonsfoundation.org/2020/05/06/hilberts-problems-23-and-math/ |archive-date=23 Enero 2022 |access-date= |website=Simons Foundation |language=en-US}}</ref> Sa kasalukuyang, depende sa interpretasyon, labintatlo sa mga ito ay nalutas na.<ref name=":02" />

Samantala, inilathala naman noong 2000 ang pitong mahahalagang problema na kilala sa tawag na [[Mga Problema ng Premyo ng Milenyo]]. Isa lamang sa mga ito, ang [[hinuhang Riemann]], ang nasa listahan din ni Hilbert. May kaakibat na premyong aabot ng {{USD|1 milyon}} ({{PHP|58.5 milyon}} sa 2024).<ref name=":5">{{Cite web |title=The Millennium Prize Problems |trans-title=Ang mga Problema ng Premyo ng Milenyo |url=http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems |url-status=live |archive-url=https://web.archive.org/web/20150703184941/http://www.claymath.org/millennium-problems/millennium-prize-problems |archive-date=3 Hulyo 2015 |access-date= |publisher=Clay Mathematics Institute |language=eb}}</ref> Sa ngayon, isa pa lang sa mga ito ang nalutas na, ang [[konhetura ni Poincaré]].<ref name=":5" />

== Tingnan din ==<!-- PAALALA: Kung magsisingit ng wikilink dito, dapat may pahina po ito dito sa tlwiki, kundi ano pang punto ng bahaging ito, diba? -->

* [[Pilosopiya ng matematika]]

== Talababa ==
<references group="lower-alpha" />

==Sanggunian==

=== Sipi ===
{{reflist}}

=== Pinagkunan ===
{{refbegin|30em}}
* {{cite book |last=Bouleau |first=Nicolas |title=Philosophie des mathématiques et de la modélisation: Du chercheur à l'ingénieur |publisher=L'Harmattan |year=1999 |isbn=978-2-7384-8125-2 |language=fr |trans-title=Pilosopiya ng matematika at pagmomolde: Mula sa mananaliksik hanggang sa inhinyero}}
* {{cite book |last1=Boyer |first1=Carl Benjamin |author1-link=Carl Benjamin Boyer |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye/page/n3/mode/2up |title=A History of Mathematics |date=1991 |publisher=[[Wiley (limbagan)|Wiley]] |isbn=978-0-471-54397-8 |edition=2 |location=New York |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Matematika |chapter= |url-access=registration}}
* {{cite book |last=Eves |first=Howard |author-link=Howard Eves |title=An Introduction to the History of Mathematics |url=https://archive.org/details/introductiontohi0000eves |publisher=Saunders |year=1990 |isbn=978-0-03-029558-4 |edition=6 |language=en |trans-title=Panimula sa Kasaysayan ng Matematika |ref=none}}
* {{cite book |last=Kleiner |first=Israel |author-link=Israel Kleiner (matematiko) |url={{GBurl|id=RTLRBK-wj6wC}} |title=A History of Abstract Algebra |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-0-8176-4684-4 |editor-last1=Kleiner |editor-first1=Israel |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Alhebrang Basal |doi=10.1007/978-0-8176-4685-1 |lccn=2007932362 |oclc=76935733 |access-date= |s2cid=117392219}}
* {{cite book |last=Kline |first=Morris |author-link=Morris Kline |url=https://archive.org/details/mathematicalthou00klin |title=Mathematical Thought from Ancient to Modern Times |publisher=Oxford University Press |year=1990 |isbn=978-0-19-506135-2 |edition= |location=New York |language=en |trans-title=Kaisipang Matematikal mula sa Sinauna hanggang Modernong Panahon |url-access=registration}}
* {{cite journal |last=Monastyrsky |first=Michael |year=2001 |title=Some Trends in Modern Mathematics and the Fields Medal |trans-title=Ilang mga Trend sa Modernong Matematika at ang Medalyang Fields |url=http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf |url-status=live |journal=CMS – Notes – de la SMC |language=en |publisher=Canadian Mathematical Society |volume=33 |issue=2–3 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060813224844/http://www.fields.utoronto.ca/aboutus/FieldsMedal_Monastyrsky.pdf |archive-date=13 Agosto 2006 |access-date=}}
* {{cite book |last=Oakley |first=Barbara |author-link=Barbara Oakley |url=https://archive.org/details/isbn_9780399165245 |title=A Mind For Numbers: How to Excel at Math and Science (Even If You Flunked Algebra) |date=2014 |publisher=Penguin Random House |isbn=978-0-399-16524-5 |location=New York |language=en |trans-title=Isip sa mga Bilang: Paano Humusay sa Matematika at Agham (Kahit na Bumagsak ka sa Alhebra) |quote= |ref=none |url-access=registration}}
* {{cite journal |last=Peirce |first=Benjamin |author-link=Benjamin Peirce |year=1881 |editor-last=Peirce |editor-first=Charles&nbsp;Sanders |editor-link=Charles Sanders Peirce |title=Linear associative algebra |trans-title=Alhebrang asosyatibong linyar |url={{GBurl|id=De0GAAAAYAAJ|q=Peirce Benjamin Linear Associative Algebra|p=1}} |journal=American Journal of Mathematics |language=en |edition= |volume=4 |issue=1–4 |pages=97–229 |doi=10.2307/2369153 |jstor=2369153 |id= |access-date= |ref=none |hdl-access=free |hdl=2027/hvd.32044030622997}}.
* {{cite book |last=Peterson |first=Ivars |title=The Mathematical Tourist: Snapshots of Modern Mathematics |publisher=W. H. Freeman and Company |year=1988 |isbn=0-7167-1953-3 |language=en |trans-title=Ang Turista ng Matematika: Mga Snapshot sa Modernong Matematika |lccn=87033078 |oclc=17202382}}
* {{cite book |last=Popper |first=Karl R. |author-link=Karl Popper |url=https://archive.org/details/insearchofbetter00karl |title=In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years |publisher=Routledge |year=1995 |isbn=978-0-415-13548-1 |location=New York |language=en |trans-title=Sa Paghahanap sa Mas Magandang Mundo: Mga Turo at Sanaysay mula sa Tatlumpung Taon |chapter=On knowledge |trans-chapter=Ukol sa kaalaman |bibcode=1992sbwl.book.....P |ref=none |url-access=registration}}
* {{cite journal |last=Riehm |first=Carl |date=Agosto 2002 |title=The Early History of the Fields Medal |trans-title=Ang Maagang Kasaysayan ng Medalyang Fields |url=https://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf |url-status=live |journal=Notices of the AMS |language=en |volume=49 |issue=7 |pages=778–782 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061026000014/http://www.ams.org/notices/200207/comm-riehm.pdf |archive-date=26 Oktubre 2006 |access-date=}}
* {{cite journal |last=Sevryuk |first=Mikhail B. |date=Enero 2006 |title=Book Reviews |trans-title=Mga Rebyu sa Aklat |url=https://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf |url-status=live |journal=[[Bulletin of the American Mathematical Society]] |language=en |volume=43 |issue=1 |pages=101–109 |doi=10.1090/S0273-0979-05-01069-4 |archive-url=https://web.archive.org/web/20060723082901/http://www.ams.org/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01069-4/S0273-0979-05-01069-4.pdf |archive-date=23 Hulyo 2006 |access-date= |doi-access=free}}
* {{cite book |last=Whittle |first=Peter |author-link=Peter Whittle (mathematician) |title=Probability, statistics and optimisation: A Tribute to Peter Whittle |publisher=John Wiley |year=1994 |isbn=978-0-471-94829-2 |editor-last=Kelly |editor-first=F.P. |editor-link=Frank Kelly (matematiko) |edition= |location=[[Chichester]], [[Inglatera]] |pages=1–28 |language=en |trans-title=Probabilidad, estadistika, at optimisasyon: Pagpupugay kay Peter Whittle |chapter=Almost home |trans-chapter=Malapit na'ng makauwi |chapter-url=http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |archive-url=https://web.archive.org/web/20131219080017/http://www.statslab.cam.ac.uk/History/2history.html#6._1966--72:_The_Churchill_Chair |archive-date=19 Disyembre 2013 |url-status=live}}
{{refend}}

== Magbasa pa ==
<!-- TODO: Isalin ang mga sanggunian na ito (ie. lagyan ng lang=en, trans-title, at naka-Tagalog na petsa.) -->{{refbegin}}
* {{cite book |last=Benson |first=Donald C. |url=https://archive.org/details/momentofproofmat00bens/page/n5/mode/2up |title=The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies |publisher=Oxford University Press |year=1999 |isbn=978-0-19-513919-8 |language=en |trans-title=Ang Sandali ng Patunay: Mga Epipanya sa Matematika |ref=none |url-access=registration}}
* {{cite book |last1=Davis |first1=Philip J. |author1-link=Philip J. Davis |title=The Mathematical Experience |title-link=The Mathematical Experience |last2=Hersh |first2=Reuben |author2-link=Reuben Hersh |publisher=Mariner Books |year=1999 |isbn=978-0-395-92968-1 |edition= |location= |language=en |trans-title=Ang Karanasang Matematikal |ref=none}} Available [https://archive.org/details/mathematicalexpe0000davi/page/n5/mode/2up online] (registration required).
* {{cite book |last1=Courant |first1=Richard |author-link1=Richard Courant |url=https://archive.org/details/whatismathematic0000cour/page/n5/mode/2up |title=What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods |last2=Robbins |first2=Herbert |author-link2=Herbert Robbins |publisher=Oxford University Press |year=1996 |isbn=978-0-19-510519-3 |edition=2 |location=New York |language=en |trans-title=Ano ang Matematika?: Isang Elementaryong Pagtingin sa mga Ideya at Kaparaanan |ref=none |url-access=registration}}
* {{cite book |last=Gullberg |first=Jan |author-link=Jan Gullberg |url=https://archive.org/details/mathematicsfromb1997gull/page/n5/mode/2up |title=Mathematics: From the Birth of Numbers |publisher=W.W. Norton & Company |year=1997 |isbn=978-0-393-04002-9 |edition= |language=en |trans-title=Matematika: Mula Pagkasilang ng mga Bilang |ref=none |url-access=registration}}
* {{cite book |url=http://www.encyclopediaofmath.org/ |title=Encyclopaedia of Mathematics |title-link=Encyclopaedia of Mathematics |publisher=Kluwer Academic Publishers |year=2000 |editor-last=Hazewinkel |editor-first=Michiel |editor-link=Michiel Hazewinkel |language=en |trans-title=Ensiklopedya ng Matematika |ref=none |archive-url=https://archive.today/20121220135247/http://www.encyclopediaofmath.org/ |archive-date=20 Disyembre 2012}}.
* {{cite book |last=Hodgkin |first=Luke Howard |title=A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity |url=https://archive.org/details/historyofmathema0000hodg_p8m0 |publisher=Oxford University Press |year=2005 |isbn=978-0-19-152383-0 |language=en |trans-title=Kasaysayan ng Matematika: Mula Mesopotamia hanggang Modernidad}}
* {{cite book |last=Jourdain |first=Philip E. B. |author-link=Philip Jourdain |title=The World of Mathematics |publisher=Dover Publications |year=2003 |isbn=978-0-486-43268-7 |editor=James R. Newman |language=en |trans-title=Ang Mundo ng Matematika |chapter=The Nature of Mathematics |trans-chapter=Ang Kalikasan ng Matematika |ref=none}}
<!-- * {{cite book |last=Maier |first=Annaliese |author-link=Anneliese Maier |title=At the Threshold of Exact Science: Selected Writings of Annaliese Maier on Late Medieval Natural Philosophy |url=https://archive.org/details/onthresholdofexa0000maie |editor=Steven Sargent |location=Philadelphia |publisher=University of Pennsylvania Press |year=1982 |ref=none}}
 -->
* {{cite book |last1=Pappas |first1=Theoni |author1-link=Theoni Pappas |url=https://archive.org/details/joyofmathematics0000papp_t0z1/page/n3/mode/2up |title=The Joy Of Mathematics |date=1986 |publisher=Wide World Publishing |isbn=978-0-933174-65-8 |location=[[San Carlos, California|San Carlos]], [[California]] |language=en |trans-title=Ang Saya ng Matematika |ref=none |url-access=registration}}
* {{cite book |last=Waltershausen |first=Wolfgang Sartorius von |author-link=Wolfgang Sartorius von Waltershausen |title=Gauss zum Gedächtniss |publisher=Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend |year=1965 |isbn=978-3-253-01702-5 |language=de |trans-title=Gauss ng Alaala |ref=no |orig-date=1856}}
{{refend}}

== Link sa labas ==
{{Library resources box|by=no|onlinebooks=yes|others=yes|about=yes|label=Matematika}}
* [https://mathworld.wolfram.com/ MathWorld] - isang website para sa  mga paksa ng matematika (sa wikang Ingles).
* "[https://www.britannica.com/science/mathematics Mathematics]" (Matematika) sa website ng [[Encyclopædia Britannica|''Encyclopædia Britannica'']] (sa wikang Ingles).
{{Matematika}}
{{Authority control}}{{Subject bar|portal1=|portal2=|portal3=|portal4=|b=y|commons=y|d=y|n=y|q=y|s=y|v=y|wikt=y}}
[[Kategorya:Matematika|*]]
[[Kategorya:Mga pangunahing paksa]]
[[Kategorya:Pormal na agham]]