Tingnan ang wikitext ng Pagsusuring pambilang

[[Image:Ybc7289-bw.jpg|thumb|250px|right|Tabletang putik na Babilonian na (c. 1800–1600 BCE) na may mga anotasyon. Ang aproksimasyon ng [[kwadradong ugat]] ng 2 ay apat na mga pigurang [[seksahesimal]], na mga anim na pigurang [[desimal]].1 + 24/60 + 51/60<sup>2</sup> + 10/60<sup>3</sup> = 1.41421296...<ref>{{Cite web |title=Photograph, illustration, and description of the ''root(2)'' tablet from the Yale Babylonian Collection |url=http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |access-date=2012-08-30 |archive-date=2012-08-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120813054036/http://it.stlawu.edu/%7Edmelvill/mesomath/tablets/YBC7289.html |url-status=dead }}</ref>]]
Ang '''Numerikal na analisis''' (Ingles: '''Numerical analysis''') ang pag-aaral ng mga [[algoritmo]] na gumagamit ng numerikal na [[aproksimasyon]](salungat sa pangkalahatang [[simbolikong komputasyon]]) para sa mga problema ng [[analisis na matematikal]](gaya ng tinatangi mula sa [[diskretong matematika]]). Ang isa sa pinakalumang mga kasulatang pang-matematika ang tabletang Babilonian mula sa Koleksiyong Babilonian ng Yale na YBC 7289 na nagbibigay ng seksahesimal na aproksimasyong numerikal ng <math>\sqrt{2}</math> na haba ng [[diagonal]] sa isang kwadradong unit. Ang kakayahang makwenta ang mga gilid ng isang [[tatsulok]] ay labis na mahalaga, halimbawa sa [[pagkakarpentero]] at [[pagtatayo ng gusali]].<ref>The New Zealand Qualification authority specifically mentions this skill in document 13004 version 2, dated 17 October 2003 titled [http://www.nzqa.govt.nz/nqfdocs/units/pdf/13004.pdf CARPENTRY THEORY: Demonstrate knowledge of setting out a building]</ref> Ang numerikal na analisis ay nagpapatuloy ng mahabang tradisyong ito ng mga praktikal na kalkulasyong [[matematika]]l. Tulad ng aproksimasyong Babilonian ng <math>\sqrt{2}</math>, ang modernong numerikal na analisis ay hindi naghahangad ng mga eksaktong sagot dahil ang mga eksaktong sagot ay kadalasang imposible na makamit sa pagsasanay. Bagkus, ang karamihan ng numerikal na analisis ay umuukol sa pagkakamit ng mga aproksimadong o pagtatantiyang mga solusyon habang nagpapanatili ng makatwirang mga hangganan ng mga pagkakamali. Ang numerikal na analisis ay natural na nakakahanap ng mga aplikasyon sa lahat ng mga larangan ng [[inhinyerya]] at sa mga agham pisikal ngunit sa ika-21 siglo, ang mga agham ng buhay at kahit mga sining ay gumamit ng mga elemento ng mga komputasyong siyentipiko. Ang mga [[ordinaryong ekwasyong diperensiyal]] ay lumilitaw sa [[mekanikang selestiyal|paggalaw ng mga katawang pang-langit tulad ng mga planeta, bituin at galaksiya]]. Ang [[matematikal na optimisasyon]] ay nangyayari sa [[pangangasiwa ng portfolio]]. Ang [[numerikal na alhebrang linyar]] ay mahalaga sa analisis ng datos. Ang mga [[stokasting ekwasyong diperensiyal]] at mga [[kadenang Markov]] ay mahalaga sa paggaya sa mga buhay na [[selula]] para sa [[medisina]] at [[biolohiya]]. Bago ang pagdating ng mga [[modernong kompyuter]], ang mga pamamaraang numerikal ay kadalasang nakasalalay sa [[interpolasyon]] ng kamay sa malaking nakalimbag na mga tabla. Simula gitna nang ika-20 siglo, ang mga kompyuter ang bagkus na kumukwenta ng mga kinakailang [[punsiyon (matematika)|punsiyon]]. Ang parehong mga pormulang interpolasyon na ito ay gayunpaman patuloy na ginagamit bilang bahagi ng mga [[algoritmo]]ng [[sopwer]] para sa paglutas ng mga [[ekwasyong diperensiyal]]. 

==Pangkalahatang introduksiyon==
Ang kabuuang layunin ng layunin ng numerikal na analisis ang pagdidisenyo at analisis ng mga pamamaraan upang magbigay ng mga tinantiya ngunit mga tiyak na solusyon sa mga mahihirap na problema na ang karamihan ay iminumngkahi ng sumusunod. 
*Ang mas mataas na mga pamamaraang numerikal ay mahalaga sa paggawa ng [[numerikal na paghula ng panahon]](''weather prediction'') na magagagawa.
*Ang pagkukwenta na [[trahektorya]] ng [[sasakyang pangkalawakan]] ay nangangailangan ng tiyak na solusyon ng isang sistema ng mga [[ordinaryong ekwasyong diperensiyal]]. 
*Ang mga kompanya ng sasakyan ay maaaring magpabuti ng kaligtasan ng pagkabangga ng kanilang sasakyan gamit ang mga simulasyon ng kompyuter ng mga pagbangga ng kotse. 
*Ang mga [[pondong hedge]](pribadong mga pundo ng pamumuhunan) ay gumagamit ng mga kasangkapan mula sa lahat ng mga larangan ng numerikal na analisis upang kwentahin ang halaga ng mga [[stock]] at [[deribatibo]] nang mas tiyak kesa sa ibang mga kalahok ng pamilihan. 
*Ang mga kompanya ng eroplano ay gumagamit ng sopistikadong mga algortimo ng [[matematikal na optimisasyon]] upang pagpasyahan ang mga presyo ng tiket, eroplano at mga pagtatakda ng mga tripulante nito at mga pangangailangang petrolyo. 
*Ang mga kompanya ng kasiguruhan ay gumagamit ng mga programang numerikal para sa analisis ng [[aktuwaryo]]. 

===Mga pamamarang direkta at paulit ulit===

{| class="wikitable" style="float: right; width: 250px; margin-left: 1em;"
 |-
 |
'''Mga pamamaraang direkta vs paulit ulit''' 

Isaalang alang ang problema ng paglutas ng 


:3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28

para sa hindi alam na kantidad na ''x''.

{| style="margin:auto;"
 |+ Direktang paraan
 |-
 |  || 3''x''<sup>3</sup> + 4 = 28.
 |-
 | ''Bawasan ng 4'' || 3''x''<sup>3</sup> = 24.
 |-
 | ''Hatiin ng 3'' || ''x''<sup>3</sup> = 8.
 |-
 | ''Kunin ang mga [[kwadradong kubiko]]'' || ''x'' = 2.
 |}

Para sa paraang paulit ulit, ilapat ang [[paraang biseksiyon]] sa ''f''(''x'') = 3''x''<sup>3</sup> &minus; 24. Ang mga inisyal na halaga ay ''a'' = 0, ''b'' = 3, ''f''(''a'') = &minus;24, ''f''(''b'') = 57.

{| style="margin:auto;"
 |+ Paraang paulit ulit 
 |-
 ! ''a'' !! ''b'' !! gitna !! ''f''(gitna)
 |-
 | 0 || 3 || 1.5 || &minus;13.875
 |-
 | 1.5 || 3 || 2.25 || 10.17...
 |-
 | 1.5 || 2.25 || 1.875 || &minus;4.22...
 |-
 | 1.875 || 2.25 || 2.0625 || 2.32...
 |}

Maari tayong magbigay konklusyon sa tablang ito na ang solusyon ay sa pagitan ng 1.875 at 2.0625. Ang algoritmo ay maaaring magbigay ng anumang bilang na may pagkakamaling mababa sa  0.2.

====Diskretisasyon at integrasyong numerikal====

[[Image:Schumacher (Ferrari) in practice at USGP 2005.jpg|right|125px]]

Sa isang dalawang oras na pag-uunahan ng sasakyan, ating nasukat ang bilis ng kotse na tatlong mga instansiya at itinala ang mga ito sa sumusunod na tabla. 

{| style="margin:auto;"
! Panahon
| 0:20 || 1:00 || 1:40
|-
! km/h
| 140  || 150  || 180
|}

Ang isang diskretisasyon ay ang pagsasabi na ang bilis ng kotse ay [[konstante]] mula 0:00 hanggang 0:40, at pagkatapos ay mula 0:40 hanggang 1:20 at sa huli ay mula 1:20 hanggang 2:00. Halimbawa, ang kabuuang distansiya na nilakbay sa unang 40 minuto ay tinatayang(2/3h&nbsp;&times;&nbsp;140&nbsp;km/h)&nbsp;=&nbsp;93.3&nbsp;km. Ito ay papayag sa atin na matantiya ang kabuuang distansiyang nilakbay bilang 93.3&nbsp;km + 100&nbsp;km + 120&nbsp;km = 313.3&nbsp;km na isang halimbawa ng integrasyong numerikal gamit ang [[sumang Riemann]] dahil ang paglilinsad ang [[integral]] ng [[belosidad]].

Ang ''masamang nakatanghal na problema'': Kunin ang punsiyong ''f''(''x'') = 1/(''x''&nbsp;&minus;&nbsp;1). Ang ''f''(1.1) = 10 and ''f''(1.001) = 1000: ang isang pagbabago sa ''x'' ng mababa sa 0.1 ay nagiging pagbabago sa ''f''(''x'') ng halos 1000. Ang pagtatasa ng ''f''(''x'') sa ''x'' = 1 ay isang masamang-nakakondisyong  problema. 

Ang ''mahusay na nakatanghal na problema'': Salungat sa itaas, ang punsiyong <math>f(x)=\sqrt{x}</math> ay tuloy tuloy at kaya ang pagtatasa nito ay kahit papano isang mahusay na nakatanghal para sa  ''x'' sa pagiging hindi malapit sa sero. 
|}

Ang mga pamamaraang direkta ay kumukwenta ng solusyon sa isang problema sa isang may hangganan mga hakbang. Ang mga pamamaraang ito ay magbibigay ng tiyak na sagot kung ang ito ay isinagawa sa [[mga pormat na pagbiblang ng kompyuter|walang hangganang aritmetikong tiyak]]. Ang mga halimbawa ay kinabibilangan ng [[eliminasyong Gaussian]] na [[algoritmong QR]] na pamamaraang [[paktorisasyon]] sa paglutas ng mga [[sistema ng ekwasyong linyar]] at ang [[paraang simplex]] ng [[pagpoprogramang linyar]]. Sa kasanayan, ang [[puntong lumulutang|may hangganang presisyon]] ang ginagamit at ang resulta ay isang aproksimasyon ng totoong solusyon(kung ipagpapalagay ang [[numerikal na matatag|pagiging matatag]]). 

Salungat sa mga pamamaraang direkta, ang [[paraang paulit ulit]] ay hindi inaasahang magwawakas sa isang bilang ng mga hakbang. Sa pagsisimula sa isang simulang paghula, ang mga paraang paulit ulit ay bumubuo ng sunod sunod na mga aproksimasyon na [[hangganan|nagtatagpo]] sa eksaktong solusyon lamang sa [[hangganan]]. Ang [[pagsubok ng pagtatagpo]] ay tinutukoy upang mapagpasyahan kapag ang isang sapat na tiyak na solusyon ay(inaasahang) natagpuan. Kahit sa paggamit ng aritmetikang presisyon, ang mga pamamaraang ito ay hindi aabot sa solusyon sa loob ng isang may hangganang bilang ng mga hakbang(sa pangkalahatan). Ang mga halimbawa ay kinabibilangan ng ''[[paraang Newton]]'', ang ''[[paraang biseksiyon]]'' at ang ''[[iterasyong Jacobi]]''. Sa komputasyonal na alhebrang matriks, ang mga pamamaraang paulit ulit ay pangkalahatang kinakailangan para sa mga malalaking problema. Ang mga pamamaraang paulit ulit ay mas karaniwan kesa sa mga pamamaraang direkta sa numerikal na analisis. Ang ilang mga pamamaraan ay direkta sa prinsipyo ngunit karaniwang ginagamit na parang ang mga ito ay hindi, e.g. [[GMRES]] at ang [[paraang konhugatong gradient]]. Para sa mga pamamaraang ito, ang bilang ng mga hakbang na kailangan upang makamit ang eksaktong solusyon ay labis na malaki na ang aproksimasyon ay tinatanggap sa parehong paraan para sa paraang paulit ulit.

===Diskretisasyon===
Sa karagdagan, ang mga tuloy tuloy na problema ay dapat minsang palitan ng isang diskretong problema na ang solusyon ay alam upang matantiya ang sa problemang tuloy tuloy. Ang prosesong ito ay tinatawag na [[diskretisasyon]]. Halimbawa, ang solusyon ng mga [[ekwasyong diperensiyal]] ay isang punsiyon. Ang punsiyong ito ay dapat ikatawan ng isang may hangganang halaga ng mga datos, halimbawa ng halaga nito sa isang may hangganang bilang ng mga punto sa sakop nito kahit pa ang sakop na ito ay isang continuum. 
==Paglikha at paglaganp ng mga pagkakamali==
Ang pag-aaral ng mga pagkakamali ay bumubuo sa isang mahalagang bahagi ng numerikal na analisis. May ilang mga paraan kung saan ang pagkakamali ay maipakikilala sa solusyon ng problema. 

===Pag-iikot===
Ang mga [[pagkakamaling pag-ikot]] ay lumilitaw dahil imposibleng ikatawan ang lahat ng mga [[real na bilang]] ng eksakto sa isang makina na may hangganang [[memorya]](na ang lahat ng mga praktikal na [[dihital na kompyuter]] ay ito). 

===Trunkasyon at pagkakamaling diskretisasyon===
Ang mga pagkakamaling [[trunkasyon]] ay nagagawa kapag ang paraang paulit ulit ay huminto o ang pamamaraang matematikal at ang tinatantiyang solusyon ay iba sa eksaktong solusyon. Gayundin, ang diskretisasyon ay pumupukaw ng isang [[pagkakamaling diskretisasyon]] dahil ang solusyon ng mga problemang diskreto ay hindi umaayon sa solusyon ng problemang tuloy tuloy. Halimbawa, sa paguulit ng sa sidebar upang kwentahin ang solusyon ng <math>''3x^3+4=28''</math> pagkatapos ng mga 10 pag-ulit, tayo ay magbibigay konklusyon na ang ugat ay tinatayang 1.99 (halimbawa). Kaya meron tayong pagkakamaling trunkasyon ng 0.01. Kapag ang pagkakamali ay nalikha, ito ay pangkalahatang lumalaganap sa kalkulasyon. Halimbawa, ating binigyang pansin na ang operasyong + sa isang kalkulador o kompyuter ay hindi eksakto. Sumusunod na ang isang kalkulasyon ng uring a+b+c+d+e ay mas hindi eksakto. Ano ang ibig sabihin kapag ating sasabihin na ang pagkakamaling trunkasyon ay nalikha kapag tinatantiya natin ang isang pamamaraang matematika? Alam natin na upang integraduhin ang isang punisyon ng eksakto ay nangangailangan na hanapin ng isa ang suma ng mga walang hangganang [[trapezoid]]. Ngunit numerikal na mahahanap ng isa ang suma ng tanging may hangganang mga trapezoid at kaya ang aproksimasyon ng pamamaraang matematikal. Gayundin, upang [[deribatibo|ideperensiyado]] ang isang punsiyon, ang elementong diperensiyal ay lumalapit sa sero ngunit numerikal lamang nating mapipili ang isang may hangganang halaga ng elementong diperensiyal. 

===Numerikal na pagiging matatag at mga mahusay na itinanghal na problema===
Ang [[numerikal na pagiging matatag]] ay isang mahalagang nosyon sa numerikal na analisis. Ang isang algoritmo ay tinatawag na numerikal na matatag kung ang pagkakamali, ano pa ang sanhi nito ay hindi lumalago na labis na mas malaki habang isinasagawa ang kalkulasyon. Ito ay nangyayari kung ang problema ay [[bilang ng kondisyon|mahusay na nakakondisyon]] na ngangahulugang ang solusyon ay nagbabago lamang sa isang maliit na halaga kung ang datos ng problema ay nabago ng isang maliit na halaga. Salungat dito, kung ang isang problema ay masamang nakakondisyon, kung gayon, ang anumang maliit na pagkakamali sa datos ay lalago na isang malaking pagkakamali. Ang parehong problemang orihinal at algoritmong ginagamnit upang lutasin ang problem ay maaaring mahusay na nakondisyon at/o masamang nakakondisyon at ang anumang kondisyon ay posible. Kaya ang algoritmo na lumulutas ng isang mahusay na nakondisyon na problema ay maaaring numerikal na matatag o numerikal na hindi matatag. Ang isang sining ng numerikal na analisis ay humanap ng isang matatag na algoritmo para sa paglutas ng mahusay na nakatanghal na problemang matematika. Halimbawa, ang pagkukwenta ng kwadradong ugat ng 2(na mga 1.41421) ay isang mahusay na nakatanghal na problema. Maraming mga algoritmo ay lumulutas ng problemang ito sa pamamagitan ng pagsisimula sa isang inisyal na aproksimasyong ''x''<sub>1</sub> hanggang <math>\sqrt{2}</math> halimbawa ang ''x''<sub>1</sub>=1.4 at pagkatapos ay kukwentahin ang mga pinabuting paghulang ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>, etc.. Ang isang gayong paraan ang sikat na [[paraang Babilonian]] na ibinigay ng ''x''<sub>''k''+1</sub> = ''x<sub>k</sub>''/2 + 1/''x<sub>k</sub>''. Ang isang pag-ulit nating tatawaging Paraang X ay ibinigay ng  ''x''<sub>''k'' + 1</sub> = (''x''<sub>''k''</sub><sup>2</sup>&minus;2)<sup>2</sup> + ''x''<sub>''k''</sub>.<ref>This is a [[fixed point iteration]] for the equation <math>x=(x^2-2)^2+x=f(x)</math>, whose solutions include <math>\sqrt{2}</math>. The iterates always move to the right since <math>f(x)\geq x</math>. Hence <math>x_1=1.4<\sqrt{2}</math> converges and <math>x_1=1.42>\sqrt{2}</math> diverges.</ref> Ating nakwenta ang ilang mga pag-uulit ng bawat skema sa tablang anyo sa baba na may mga inisyal na paghulang ''x''<sub>1</sub> = 1.4 atnd ''x''<sub>1</sub> = 1.42.

{| class="wikitable"
 |-
! Babilonian
! Babilonian 
! Paraang X
! Paraang X
 |-
 | ''x''<sub>1</sub> = 1.4
 | ''x''<sub>1</sub> = 1.42
 | ''x''<sub>1</sub> = 1.4
 | ''x''<sub>1</sub> = 1.42
 |-
 | ''x''<sub>2</sub> = 1.4142857...
 | ''x''<sub>2</sub> = 1.41422535...
 | ''x''<sub>2</sub> = 1.4016
 | ''x''<sub>2</sub> = 1.42026896
 |-
 | ''x''<sub>3</sub> = 1.414213564...
 | ''x''<sub>3</sub> = 1.41421356242...
 | ''x''<sub>3</sub> = 1.4028614...
 | ''x''<sub>3</sub> = 1.42056...
 |-
 |
 |
 | ...
 | ...
 |-
 |
 |
 | ''x''<sub>1000000</sub> = 1.41421...
 | ''x''<sub>28</sub> = 7280.2284...
 |}

Pagmasdan na ang paraang Babilonian ay nagtatagpo ng mabilis kahit hindi isasaalang alang ang inisyal na hula samantalang ang Paraang X ay nagtatapos ng labis na mabalag na may inisyal na hulang 1.4 at lumilihis para sa inisyal na hulang 1.42. Kaya ang paraang Babilonian ay numerikal na matatag samantalang ang Paraang X ay numerikal na hindi matatag. 
:Ang numerikal na pagiging matatag ay naapektuhan ng bilang ng mga mahahalang digit na pinagpapatuloy ng makina, kung ating gagamitin ang isang makina na tumutuloy sa unang apat na mga digit na puntong lumulutang, ang isang mabuting halimbawa sa pagkawala ng kahalagahan ng dalawang magkatumbas ng mga punsiyong ito ay 
:<math> 
f(x)=x\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)
\text{ and } g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}.
</math>
:Kung ating ihahambing ang mga resulta ng 
:: <math> f(500)=500(\sqrt{501}-\sqrt{500})=500(22.3830-22.3607)=500(0.0223)=11.1500</math>
:and
:<math>
\begin{alignat}{3}g(500)&=\frac{500}{\sqrt{501}+\sqrt{500}}\\
      &=\frac{500}{22.3830+22.3607}\\
      &=\frac{500}{44.7437}=11.1748
\end{alignat}
</math>
:Sa pamamagitan ng pagtingin sa dalawang nasa itaas na mga resulta, ating matatanto na ang [[kawalan ng kahalaghan]] na tinatawag ring subtraktibong kanselasyon ay may malaking epekto sa mga resulta bagaman ang mga punsiyon ay magkatumbas. Upang ipakita ang mga ito ay magkatumbas, simpleng kailangan nating magsimula sa f(x) at magwakas sa (x) at kaya ay 
:: <math> \begin{alignat}{4}
f(x)&=x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\\
    & =x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\frac{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}\\
    &=x\frac{((\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2)}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}
    &=\frac {x}{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}
\end{alignat}</math>
:Ang tunay na halaga para sa resulta ay 11.174755..., na eksaktong ''g''(500) = 11.1748 pagkatapos ng pag-iikot ng resulta sa 4 na digit na desimal. 
:Ngayon guni gunihin na ang maraming mga termino tulad ng mga punisyong ito ay ginagamit sa programa. Ang pagkakamali ay tataas habang ang isa ay nagpapatuloy sa programa malibang ang isa ay gumagamit na angkop na pormula ng dalawang mga punsiyon sa bawat panahon na tinatasa ng isa ang ''f''(''x''), o ''g''(''x''). Ang pagpipilian ay nakasalalay sa paridad ng &nbsp;''x''.
==Mga sakop ng pag-aaral==
Ang larangan ng numerikal na analisis ay hinahati sa iba't ibang mga disiplina ayon sa problema na nilulutas. 
===Pagkukwenta ng mga halaga ng mga punsiyon===

{| class="wikitable" style="float: right; width: 250px; clear: right; margin-left: 1em;"
 |
'''Interpolasyon''': Ating napagmasdang ang temperatura ay nagbabago mula 20 digri  Celsius sa 1:00 hanggang 14 digri sa 3:00. Ang isang interpolasyong linyar ng datos na ito ay magbibigay konklusyon na 17 digri sa 2:00 at 18.5 digri sa 1:30 pm. 

'''Ekstrapolasyon''': Kung ang [[Kabuuang domestikong produkto]] ng isang bansa ay lumalago sa aberaheng 5% kada taon at mga 100 bilyong dolyar sa nakaraang tao, ating maaaring i-ekstrapolado na ito ay magiging 105 bilyong mga dolyar sa taong ito.

[[Image:Linear-regression.svg|right|100px|Isang linya na dumadaan sa 20 mga punto.]]
'''Regresyon''': Sa isang [[regresyong linyar]], sa ibinigay na mga puntong ''n'', tayo ay magkukwenta ng isang linya na dumadaan ng malapit hangga't posible sa mga puntong ''n''. 

[[Image:LemonadeJuly2006.JPG|right|100px|Magkano para sa isang baso ng lemonada?]] 

'''Optimisasyon''': Sabihing nagtitinda ka ng lemonada sa isang tindahan ng lemonada at napansin na sa $1, maaari kang makapagbenta ng 197 mga baso ng lemonada kada araw at sa bawat dagdag na $0.01, ikaw ay makapagbebenta ng isang baso ng lemonada ng kaunti kada araw. Kung makakapagpabayad ka ng $1.485, imamaksima mo ang iyong [[tubo]] ngunit dahil sa pagtatakda ng pagkakaroon ng pagpapabayad ng isang buong halagang sentimo, ang pagpapabayad ng $1.49 ay magdudulot ng kitang maksimum na $220.52 kada araw.

[[Image:Wind-particle.png|right|thumb|Direksiyon ng hangin sa asul, ang totoong trahektoryo sa itim, ang [[paraang Euler]] sa pula.]] 

'''Ekwasyong diperensiyal''': Kung ikaw ay maglalagay ng 100 mga bentilador upang humihip ang hangin mula sa isang dulo ng kwarto sa isa pa at naglaglag ka ng isang balahibo sa hangin, anong mangyayari? Ang balahibo ay susunod sa mga daloy ng hangin na napaka masalimuot. Ang isang aproksimasyon ay sukatin ang bilis kung saan ang hangin ay humihihip malapit sa balahibo bawat segundo at pasulungin ang ginayang balahibo na parang ito ay gumagalaw sa isang linyang tuwid sa parehong bilis para sa isang segundo bago ang pagsusukat muli ng bilis ng hangin. Ito ay tinatawag na [[paraang Euler]] sa paglutas ng mga ordinaryong ekwasyong diperensiyal.
|}

Ang isa sa pinakasimpleng mga problema ang pagtatasa ng isang punsiyon sa isang ibinigay na punto. Ang pinaka direktang pakikitungo ng pagpapasok lamang ng bilang sa pormula ay minsang hindi napakaigi. Para sa mga polinomial, ang isang mas mabuting pakikitungo ang paggamnit ng [[skemang Horner]] dahil ito ay nagpapaliit ng kinakailangang bilang ng mga multiplikasyon at adisyon. Sa pangkalahatan, mahalagang tantiyahin at kontrolin ang mga pagkakamaling pag-iikot na lumilitaw mula sa paggamit ng aritmetikong puntong lumulutang. 

===Interpolasyon, ekstrapolasyon at regresyon===

Ang [[interpolasyon]] ay lumulutas ng sumusunod na problema: sa ibinigay na halaga ng isang hindi alam na punsiyon sa isang bilang ng mga punto, anong halaga na meron ang punsiyon sa ibang mga punto sa pagitan ng mga ibinigay na punto? 

Ang [[ekstrapolasyon]] ay labis na katulad ng interpolasyon maliban sa ngayon ay nais nating mahanap ang halaga ng hindi alam na punsiyon sa punto na nasa labas ng mga ibinigay na punto. 

Ang [[regresyong analisis]] ay katulad din nito ngunit ito ay nagsasaalang alang na ang datos ay hindi tiyak. Sa ibinigay na ilang mga punto at isang sukat ng halaga ng isang punsiyon sa mga puntong ito(na may pagkakamali), nais nating matukoy ang hindi alam na punsiyon. Ang paraang [[mababang mga kwadrado]] ay isang sikat na paraan upang makamit ito. 

===Paglutas ng mga ekwasyon at mga sistema ng ekwasyon===
Ang isa pang pundamental na problema ang pagkukwenta ng solusyon ng isang ibinigay na ekwasyon. Ang dalawang mga kaso ay karaniwang itinatangi depende sa kung ang ekwasyon ay linyar o hindi. Halimbawa, ang ekwasyong <math>2x+5=3</math> ay linyar samantalang ang ekwasyong <math>2x^2+5=3</math> ay hindi. Ang labis na pagsisikap ay inilagay sa pagpapaunlad ng mga paraan para sa paglutas ng mga [[sistema ng ekwasyong linyar]]. Ang pamantayang mga direkang pamamaraan na gumagamit ng ilang [[dekomposisyong matriks]] ang [[eliminasyong Gaussian]], [[dekomposisyong Cholesky]] para sa [[simetrikong matriks]](o [[matriks na hermitian]]) at [[positibo-depinidong matriks]] at [[dekomposisyong QR]] para sa mga matriks na hindi kwadrado. Ang mga [[paraang paulit ulit]] gaya ng [[paraang Jacobi]], [[paraaang Gauss-Seidel]], [[sunod sunod na labis na relaksasyon]] at [[paraang konhugatong gradient]] ay karaniwang ninanais para sa mga malalaking sistema. Ang [[algoritmo ng paghahanap ng ugat]] ay ginagamit upang lutasin ang mga ekwasyong hindi linyar(ang mga ito ay pinangalang ganito dahil ang isang ugat ng isang punsiyon ay isang argumento kung saan ang punsiyon ay nagbibigay ng sero). Kung ang punsiyon ay [[deribatibo|diperensiyable]] at ang deribatibo ay alam, kung gayon ang [[paraang Newton]] ay isang sikat na pagpipilian. Ang [[linyarisasyon]] ay isa pang paraan sa paglutas ng mga ekwasyong hindi linyar. 

===Paglutas ng eigenhalaga o mga problemang singular na halaga===
Ang ilang mga mahahalagang problema ay maaaring ihayag sa mga termino ng mga [[dekomposisyong eigenhalaga]] o mga [[dekomposiyong singular na halaga]]. Halimbawa, ang algoritmong [[kompresyon ng larawan]] <ref>{{Cite web |title=The Singular Value Decomposition and Its Applications in Image Compression |url=http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm |access-date=2012-08-30 |archive-date=2006-10-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20061004041704/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm |url-status=dead }} {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20061004041704/http://online.redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/maw/single.htm |date=2006-10-04 }}</ref> ay batay sa dekomposisyong singular na halaga. Ang tumutugong kasangkapan sa [[estadistika]] ay tinatawag na [[analisis ng pangunahing bahagi]]. 

===Optimisasyon===
{{Main|Matematikal na optimisasyon}}
Ang mga problema ng optimisasyon ay nagtatanong para sa punto kung saan ang isang ibinigay na punsiyon ay na-maksima(o na-minima). Kadalasan, ang punto ay sumasapat rin sa ilang mga [[pagtatakda (matematika)|pagtatakda]]. Ang larangan ng optimisasyon ay karagdagang hinahati sa ilang mga pang-ilalim na larangan depende sa anyo ng obhektibong punsiyon at pagtatakda. Halimbawa, ang [[pagpoprogramang linyar]] ay nakikitungo sa kaso na ang parehong obhektibong punsiyon at ang mga pagtatakda ay linyar. Ang isang sikat na paraan sa pagpoprogramang linyar ang [[paraang simplex]]. Ang paraan ng mga [[pamparaming Lagrange]] ay maaaring gamitin upang paliitin ang mga problemang optimisasyon ng may mga pagtatakda sa mga problemang optimisasyong walang pagtatakda. 

===Pagtatasa ng mga integral===
Ang [[integral|integrasyong]] numerikal na sa ilang mga instansiya ay kilala rin bilang numerikal na [[kwadratura (matematika)|kwadratura]] ay nagtatanong ng halaga ng depinidong integral. Ang mga sikat na pamamaraan ay gumagamit ng isa sa [[mga pormulang Newton-Cotes]](tulad ng gitnang puntong patakaran o [[patakaran ni Simpson]]) o [[kwadraturang Gaussian]]. Ang mga paraang ito ay umaasa sa stratehiyang "hatiin at sakupin" kung saan ang integral sa isang relatibong hanay ay hinahati sa mga integral sa mga mas maliit na mga hanay. Sa mas mataas na mga dimensiyon kung  saan ang mga pamamaraang ito ay nagiging prohibitibong mahal ayon sa pagsisikap na komputasyonal, maaaring gamitin ng isa ang [[paraang Monte Carlo]] o mga [[paraang quasi-Monte Carlo]].

===Mga ekwasyong diperensiyal ===
Ang numerikal na analisis ay umuukol din sa pagkukwenta(sa paraang pagtatantiya) ng solusyon ng mga [[ekwasyong diperensiyal]] na parehong mga [[ordinaryong ewkasyong diperensiyal]] at mga [[ekwasyong parsiyal na diperensiyal]]. Ang mga ekwasyong parsiyal na diperensiyal ay nilulutas sa pamamagitan ng unang pagdidiskreto ng ekwasyon na nagdadala dito sa isang may hangganang dimensiyonal na subespasyo. Ito ay maaaring gawin ng isang [[paraang may hangganang elemento]], [[may hangganang diperensiya]] o partikular sa inhinyerya ang [[paraang may hangganan bolyum]]. Ang teoretikal na pangangatwiran ng mga pamamaraang ito ay kadalasang kinasasangkutan ng mga teorema mula sa [[analisis na punsiyonal]]. Ito ay nagpapaliit ng problem sa solusyon ng isang ekwasyong alhebraiko.

==Mga sanggunian==
{{reflist}}
{{commonscat}}
{{matematika}}
{{authority control}}
[[Kategorya:Numerikal na analisis]]