Sukat (matematika)

Sa matematikal na analisis, ang isang sukat (measure) ng isang pangkat ang isang sistematikong paraan ng pagtatakda sa bawat angkop na subset ng isang bilang na intwitibong pinapakahulugang sukat ng pang-ilalim na pangkat. Sa kahulugang ito, ang sukat ang heneralisasyon ng mga konsepto ng haba, area at bolyum. Ang ang isang partikular na halimbawa ang sukat na Lebesgue sa isang espasyong Euclidean na nagtatakda ng konbensiyonal na haba, area at bolyum ng heometriyang Euclideano sa mga angkop na subset ng isang n-dimensiyonal na espasyong Euclidean naRⁿ. Halimbawa, ang sukat na Lebesgue ng interbal na [0, 1] sa mga real na bilang ang haba nito sa pang-araw araw na kahulugan ng salita na spesipikong 1.

Depinisyon

Itakda ang $Σ$ bilang isang σ-algebra sa ibabaw ng pangkat na $X$ . Ang isang punsiyong $μ$ mula $Σ$ patungo sa pinalawig na linya ng real na bilang ay tinatawag na sukat kung ito ay sumasapat sa mga sumusunod na katangian:

Kawalang-negatibidad(Non-negativity):

\mu (E)\geq 0

para sa lahat ng

E\in \Sigma .

Mabibilang na aditibidad(countable additivity) o σ-additivity): Para sa lahat ng mga mabibilang na koleksiyong $\{E_{i}\}_{i\in I}$ ng magkakapares(pairwise) na hindi magkadugtong na mga pangkat sa $Σ$ :

\mu {\Bigl (}\bigcup _{i\in I}E_{i}{\Bigr )}=\sum _{i\in I}\mu (E_{i}).

Null na walang lamang pangkat(null empty set):

\mu (\varnothing )=0.

Maaring iatas na ang isang pangkat na E ay may hangganang(finite) sukat. Sa gayon, ang null na pangkat ay automatikong may sukat na sero dahil sa mabibilang na aditibidad, $\mu (E)=\mu (E\cup \varnothing \cup \varnothing \cup \ldots )=\mu (E)+\sum _{i=0}^{\infty }\mu (\varnothing )$ at ang $\sum _{i=0}^{\infty }\mu (\varnothing )$ ay may hangganang(finite) kung at tanging kung ang walang-laman na pangkat ay may sukat na sero.

Ang pares na $(X, Σ)$ ay tinatawag na masusukat na espasyo, ang mga miyembro ng $Σ$ ay tinatawag na masusukat na espasyo at ang mga tripleng $(X, Σ, μ)$ ay tinatawag na sukat espasyo(measure space).

Kung ang tanging ikalawa at ikatlong mga kondisyon ng depinisyon ng sukat sa taas ay nasalubong at ang $μ$ ay kumukuha na pinakamarami ang isa sa mga halagang $\pm\infty$ , kung gayon, ang $μ$ ay tinatawag na sinenyasang sukat(signed measure).

Ang isang sukat probabilidad ang sukat na may kabuuang sukat na isa(i.e., $μ (X) = 1$ ). Ang isang espasyong probabilidad ang espasyong sukat na may sukat probabilidad.

Para sa mga espasyong sukat na mga espasyong topolohikal din, ang iba't ibang mga kondisyon ng kompatibilidad ay maaaring ilagay para sa sukat at topolohiya. Ang karamihang sa mga sukat na nasasalubong sa pagsasanay sa matematikal na analisis(at gayundin sa maraming mga kaso sa teoriya ng probabilidad) ang mga sukat Radon. Ang mga sukat Radon ay may alternatibong depinisyon sa mga termino ng linyar na punsiyonal sa panlokal na espasyong konbeks ng tuloy tuloy na punsiyon na may siksik na suporta. Ang paraang ito ay kinuha ni Bourbaki (2004) at ilang mga may-akda.

Tingnan din