Solusyong Schwarzschild

Ang solusyong Schwarzschild (binibigkas bilang SWAR-shild) ay isa lamang sa mga eksatong solusyon ng ekwasyong field ni Einstein (EFE) sa isang rehiyon ng espasyo-panahon (spacetime) na walang materya-enerhiya (matter-energy). Ang solusyong ito ay may mga katangiang istatiko (static) at may simetring isperikal (spherically-symmetric). Kadalasan itong ginagamit bilang modelo ng mga itim na mga butas. Ang solusyong ito ay nadiskubre ng Alemang si Karl Schwarzschild noong Disyembre 1915 habang siya'y nagsisilbi sa ilalim ng Alemanya noong Unang Digmaang Pandaigdig.

Metriko

Ang metriko para sa espasyo-panahong Schwarzschild na may sistemang koordinatong $(t,r,\theta ,\phi )$ ay:

${\begin{aligned}ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dt^{2}+\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}\left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\right)\end{aligned}}$

kung saan ang $M$ ay maaaring ituring na masa ng itim na butas. Sa artikulong ito, ating susundin ang mga kumbensyong $(-+++)$ at $G=c=1$.

Mga singularidad

Makikita na ang metriko ay may dalawang singularidad: $r=2M$ at $r=0$. Ang $r=2M$ ay isang klase ng koordinatong singularidad, samantalang ang $r=0$ ay isang klase ng pisikal na singularidad. Madaling makita ang pagkakaiba ng dalawang singularidad na nabanggit mula sa iskalar na Kretschmann, na siyang kinukwenta ayon sa:

${\begin{aligned}K=R_{\alpha \beta \gamma \delta }R^{\alpha \beta \gamma \delta }={\frac {48M^{2}}{r^{6}}}\end{aligned}}$

kung saan ang $R_{\alpha \beta \gamma \delta }$ ay ang tensor na Riemann. Sa lokasyong $r=2M$, ang iskalar na Kretschmann ay regular. Samakatuwid, ito'y nangangahulugan na ang $r=2M$ ay isang koordinatong singularidad. Sa kabilang dako, walang kahulugan ang iskalar na Kretschmann sa lokasyong $r=0$; nangangahulugan ito na isang pisikal na singularidad ang $r=0$.

Abot-tanaw na kaganapan

Ang lokasyong $r=2M$ ay tinatawag na event horizon (abot-tanaw na kaganapan). Kilala rin ito bilang Schwarzschild radius. Maihahalintulad ang event horizon sa lagusan ng isang yungib kung saan malayang nakapapasok ang sinuman, ngunit siguradong walang makalalabas mula rito. Dahil sa istruktura ng espasyo-panahong Schwarzschild, walang makapipigil sa paghulog ng isang bagay na nasa event horizon patungo sa singularidad sa $r=0$.

Maaaring malaman ang Schwarzschild radius ng isang materyal na bagay na may masa na $M$ mula sa tumbasang:

${\begin{aligned}r_{S}={\frac {2GM}{c^{2}}}\end{aligned}}$

kung saan ang $G=6.67\times 10^{-11}{\text{N }}{\text{ m}}^{2}/{\text{kg}}^{2}$ at $c=3.0\times 10^{8}{\text{ m}}/{\text{s}}$. Halimbawa, ang ating araw ay may bigat na $M_{\text{araw}}=2.0\times 10^{30}{\text{ kg}}$, na halos isang milyong beses ng bigat ng ating mundo. Samakatuwid, ang Schwarzschild radius ng ating araw ay $r_{S}=2.97{\text{ kilometro}}$. Kung ang radius ng araw ay mas maliit sa 2.97 kilometro, ito'y magiging itim na butas.

Upang mapalawig ang ating pag-intindi sa event horizon, ating kuwentahin ang pagpapabilis ng isang materyal na bagay na nakapirmi sa lokasyong $r=r_{0}\geq 2M$. Ang 4-velocity nito ay:

${\begin{aligned}u^{\mu }=\left(1-{\frac {2M}{r_{0}}}\right)^{-1/2}\delta ^{t\mu }\end{aligned}}$

kung saan ang $u^{\mu }$ ay mga coordinate-basis component ng 4-velocity>. Samantala ang 4-acceleration ay:

${\begin{aligned}a^{\mu }={\frac {du^{\mu }}{d\tau }}+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }u^{\alpha }u^{\beta }\end{aligned}}$

kung saan ang $\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }$ ay ang mga simbolong Christoffel. Makikita na ang 4-acceleration ng nakapirming materyal na bagay ay:

${\begin{aligned}a^{\mu }={\frac {M}{r_{0}^{2}}}\delta ^{r\mu }\end{aligned}}$

Samakatuwid, ang acceleration o pagpapabilis na kailangan upang manatiling nakapirmi ang isang materyal na bagay sa lokasyong $r=r_{0}$ ay:

${\begin{aligned}a=|a^{\mu }a_{\mu }|^{1/2}={\frac {M}{r_{0}^{2}}}\left(1-{\frac {2M}{r_{0}}}\right)^{-1/2}\end{aligned}}$

Kung susuriing mabuti, mas malaki ang pagpapabilis na kailangan ng isang nakapirming materyal na bagay kapag ito'y mas malapit sa event horizon. Dagdag pa rito, sumasabog ang $a$ kapag ang materyal na bagay ay eksaktong nasa event horizon; nangangahulugan ito na kailangan ng walang hanggang antas ng enerhiya upang manatili ang materyal na bagay sa event horizon.