Solusyong Schwarzschild

Mula sa Wikipediang Tagalog, ang malayang ensiklopedya
Tumalon sa: nabigasyon, hanapin

Ang solusyong Schwarzschild (binibigkas bilang SWAR-shild) ay isa lamang sa mga eksatong solusyon ng ekwasyong field ni Einstein (EFE) sa isang rehiyon ng espasyo-panahon (spacetime) na walang matter-energy. Ang solusyong ito ay may mga katangiang istatiko (static) at may simetring isperikal (spherically-symmetric). Kadalasan itong ginagamit bilang modelo ng mga black hole. Ang solusyong ito ay nadiskubre ng Alemang si Karl Schwarzschild noong Disyembre 1915 habang siya'y nagsisilbi sa ilalim ng Alemanya noong Unang Digmaang Pandaigdig (World War I).

Metriko[baguhin]

Ang metrik (metric) para sa espasyo-panahong Schwarzschild na may sistemang koordinatong (t,r,\theta,\phi) ay:


\begin{align}
ds^2 = -\left(1 - \frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1 - \frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2\left(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2\right)
\end{align}

kung saan ang M ay maaaring ituring na mass ng black hole.[1]Sa artikulong ito, ating susundin ang mga kumbensyong (-+++) at G = c = 1.

Mga singularidad[baguhin]

Makikita na ang metrik ay may dalawang singularidad: r = 2M at r = 0. Ang r = 2M ay isang klase ng koordinatong singularidad (coordinate singularity), samantalang ang r = 0 ay isang klase ng pisikal na singularidad (physical singularity). Madaling makita ang pagkakaiba ng dalawang singularidad na nabanggit mula sa iskalar na Kretschmann (Kretschmann scalar), na siyang kinukwenta ayon sa:


\begin{align}
K = R_{\alpha\beta\gamma\delta}R^{\alpha\beta\gamma\delta} = \frac{48M^2}{r^6}
\end{align}

kung saan ang R_{\alpha\beta\gamma\delta} ay ang tensor na Riemann. Sa lokasyong r = 2M, ang iskalar na Kretschmann ay regular. Samakatuwid, ito'y nangangahulugan na ang r = 2M ay isang koordinatong singularidad. Sa kabilang dako, walang kahulugan ang iskalar na Kretschmann sa lokasyong r = 0; nangangahulugan ito na isang pisikal na singularidad ang r = 0.

Event Horizon[baguhin]

Ang lokasyong r = 2M ay tinatawag na event horizon. Kilala rin ito bilang Schwarzschild radius. Maihahalintulad ang event horizon sa lagusan ng isang yungib kung saan malayang nakapapasok ang sinuman, ngunit siguradong walang makalalabas mula rito. Dahil sa istruktura ng espasyo-panahong Schwarzschild, walang makapipigil sa paghulog ng isang bagay na nasa event horizon patungo sa singularidad sa r = 0.

Maaaring malaman ang Schwarzschild radius ng isang materyal na bagay na may mass na M mula sa tumbasang:


\begin{align}
r_S = \frac{2GM}{c^2}
\end{align}

kung saan ang G = 6.67 \times 10^{-11} \text{N } \text{ m}^2/\text{kg}^2 at c = 3.0 \times 10^8 \text{ m}/\text{s}. Halimbawa, ang ating araw ay may bigat na M_{\text{araw}} = 2.0 \times 10^{30} \text{ kg}, na halos isang milyong beses ng bigat ng ating mundo. Samakatuwid, ang Schwarzschild radius ng ating araw ay r_S = 2.97 \text{ kilometro}. Kung ang radius ng araw ay mas maliit sa 2.97 kilometro, ito'y magiging black hole.

Upang mapalawig ang ating pag-intindi sa event horizon, ating kwentahin ang acceleration ng isang materyal na bagay na nakapirmi sa lokasyong r = r_0 \geq 2M. Ang 4-velocity nito ay:


\begin{align}
u^\mu = \left(1 - \frac{2M}{r_0}\right)^{-1/2}\delta^{t \mu}
\end{align}

kung saan ang u^{\mu} ay mga coordinate-basis components ng 4-velocity. Samantala ang 4-acceleration ay:


\begin{align}
a^\mu = \frac{du^{\mu}}{d\tau} + \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta}u^{\alpha}u^{\beta}
\end{align}

kung saan ang \Gamma^{\mu}_{\alpha\beta} ay ang mga simbolong Christoffel. Makikita na ang 4-acceleration ng nakapirming materyal na bagay ay:


\begin{align}
a^\mu = \frac{M}{r_0^2}\delta^{r \mu}
\end{align}

Samakatuwid, ang acceleration na kailangan upang manatiling nakapirmi ang isang materyal na bagay sa lokasyong r = r_0 ay:


\begin{align}
a = |a^{\mu}a_{\mu}|^{1/2} = \frac{M}{r_0^2}\left(1 - \frac{2M}{r_0}\right)^{-1/2} 
\end{align}

Kung susuriing mabuti, mas malaki ang acceleration na kailangan ng isang nakapirming materyal na bagay kapag ito'y mas malapit sa event horizon. Dagdag pa rito, sumasabog ang a kapag ang materyal na bagay ay eksaktong nasa event horizon; nangangahulugan ito na kailangan ng walang hangganang antas ng enerhiya upang manatili ang materyal na bagay sa event horizon.

Sanggunian[baguhin]

  1. Hartle, J. B. Gravity: An Introduction to Einstein's General Relativity, pahina 186.