Teoriya ng hanay

Mula sa Wikipediang Tagalog, ang malayang ensiklopedya
Tumalon sa: nabigasyon, hanapin

Ang Teoriya ng hanay (Ingles: set theory) ay sangay ng matematika na pag-aaral ng mga hanay(set) o mga kalipunan ng mga obhekto o bagay.

Mga basikong konsepto[baguhin]

Ang teoriya ng hanay ay nagsisimula sa isang pundamental na binaryong ugnayan sa pagitan ng obhektong o at isang hanay na A. Kung ang o ang kasapi (o elemento) ng A, isulat ang oA. Dahil sa ang mga hanay ay obhekto, ang ugnayang pagiging kasapi ay maaaring iugnay din sa ibang mga hanay.

Ang hinangong binaryong ugnayan sa pagitan ng dalawang hanay ang ugnayang pang-ilalim na hanay na tinatawag ring inklusiyon ng hanay. Kung ang lahat ng mga kasapi ng hanay na A ay mga kasapi rin ng hanay na B kung gayon, ang A ang pang-ilalim na hanay ng B na tinutukoy ng simbolong AB. Halimbawa, ang {1,2} ang pang-ilalim na hanay ng {1,2,3} , ngunit ang {1,4} ay hindi. Mula sa depinisyon ito, maliwanag na ang isang hanay ay isang pang-ilalim na hanay ng sarili nito. Sa mga kasong nais na iwasan ito, ang terminong angkop na pang-ilalim na hanay ay inilalarawan upang hindi isama ang posibilidad na ito.

Kung paanong ang aritmetika ay nagpapakita ng mga binaryong operasyon sa mga bilang, ang teoriya ng hanay ay nagpapakita ng mga binaryong operasyon sa mga hanay (matematika):

  • Ang unyon ng mga hanay na A at B na tinutukoy ng AB ang hanay ng lahat ng mga obhekto na kasapi ngA, o B, o ng parehong ito. Ang unyon ng {1, 2, 3} at {2, 3, 4} ang hanay na {1, 2, 3, 4} .
Isang diagramang Venn na nagpapakita ng interseksiyon ng dalawang mga hanay.
  • Ang interseksiyon ng mga hanay na A at B na tinutukoy ng AB ang hanay ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng parehong A at B. Ang interseksiyon ng {1, 2, 3} at {2, 3, 4} ang hanay na {2, 3} .
  • Ang diperensiya ng hanay ng U at A na tinutukoy ng U \ A ang hanay ng lahat ng mga kasapi ng U na hindi kasapi ng A. Ang diperensiya ng hanay na {1,2,3} \ {2,3,4} ay {1} , samantalang sa kabaligtaran, ang diperensiya ng hanay na {2,3,4} \ {1,2,3} at {4} . Kung ang A ang pang-ilalim na hanay ng U, ang diperensiya ng hanay na U \ A ay tinatawag na komplemento ng A sa U. Sa kasong ito, kung ang pagpili ng U ay maliwanag sa konteksto, ang notasyong Ac ay minsan ginagamit imbis na ang U \ A, partikular na kung ang U ay pangkalahatang hanay gaya ng sa pag-aaral ng mga diagramang Venn.
  • Ang simetrikong diperensiya ng mga hanay na A at B ang hanay ng lahat ng mga obhekto na kasapi ng eksaktong isa sa A at B na mga elementong nasa isa sa mga hanay ngunit wala sa parehong hanay. Halimbawa, para sa mga hanay na {1,2,3} at {2,3,4} , ang simetrikong diperensiya ay {1,4} . Ito ang diperensiya ng hanay ng unyon at interseksiyon na (AB) \ (AB).
  • Ang produktong Cartesian ng A at B na tinutukoy ng A × B ang hanay kung saan ang mga kasapi nito ay lahat ng posibleng mga inayos na pares na (a,b) kung saan ang a ay kasapi ng A at ang b ay kasapi ng B. Ang produktong cartesian ng {1, 2} at {red, white} ay {(1, pula), (1, puti), (2, pula), (2, puti)}.
  • Ang kapangyarihang hanay ng hanay na A ang hanay kung saan ang mga kasapi ay lahat ng posibleng pang-ilalim na hanay ng A. Halimbawa, ang kapangyarihang hanay ng {1, 2} ay { {}, {1}, {2}, {1,2} } .

Ang ilang mga basiko o pangunahing hanay na may sentral na kahalagahan sa teoriya ng hanay ang walang laman na hanay na isang uniko o walang katulad na hanay na hindi naglalaman ng mga elemento, ang hanay ng mga natural na bilang at ang hanay ng mga real na bilang.

Tingnan din[baguhin]