Alhebrang Dirac

Sa pisikang matematikal, ang alhebrang Dirac ay tumutukoy sa alhebrang Clifford ${\text{Cl}}_{1,3}(\mathbb {C} )$ . Ito ay pinakilala ng matematika at pisika na si Paul Dirac noong 1928 habang binubuo niya ang ekwasyong Dirac para sa spin-½ particle na may representasyong matrix ng mga gamma matrices. Ang mga gamma matrices naman ay kumakatawan sa mga generator ng alhebrang ito.

Ang mga gamma matrices ay isang set ng apat na $4\times 4$ na mga matrice $\{\gamma ^{\mu }\}=\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}$ na may mga kasamang entry sa $\mathbb {C}$, iyon ay, mga elemento ng ${\text{Mat}}_{4\times 4}(\mathbb {C} )$, na bumubuo sa

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },$

kung saan sa pamamagitan ng kumbensyon, ang isang identity matrix ay pinigilan sa kanang bahagi. Ang mga numero $\eta ^{\mu \nu }\,$ ay ang mga bahagi ng sukatang Minkowski .Para sa artikulong ito, inayos namin ang lagda na puros pagbabawas, iyon ay, $(+,-,-,-)$ .

Ang alhebra ni Dirac ay ang linear span ng pagkakakilanlan, ang gamma matrices $\gamma ^{\mu }$ pati na rin ang anumang pagkalayang linyar na mga produkto ng gamma matrice. Ito ay bumubuo ng finite-dimensional na alhebra sa ibabaw ng field $\mathbb {R}$ o $\mathbb {C}$, na may sukat $16=2^{4}$ .

Layunin ng alhebra

Ang alhebra ay nagmula para maging kaangkop-angkop ang mga prinsipiyo ng mekanikang quantum sa teorya ng espesyal na relatibidad. Ito ang mga elemento na nagbibigay dahilan sa pagbuo ng alhebrang ito:

• Unang-una, hindi ito nababago sa relasyon ng relatibidad. Ang ekwasyong Dirac ay hindi dapat nababago sa ilalim ng mga transpormasyong Lorentz.
• Pangalawa, kung ang mga elektron ay may mga spin-½ particle, dapat pagtuonan ito ng pansin ng ekwasyong Dirac.
• Pangatlo, dapat aminin ng ekwasyong Dirac na mayroon talagang positibong enerhiyang solusyon at mga negatibong enerhiyang solusyon, tumutukoy minsan ito bilang mga antipartikulo.

Para masustentuhan ang mga ito, ginawa ang alhebra ni Dirac para sa pagbigay ng apat na $4\times 4$ na mga matrices o ang mga gamma matrices. Pinili ang mga ito para masustentuhan ang anti-komutasyong relasyon na:

$\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu },$

Ang $\eta ^{\mu \nu },$ ay ang metrikong tensor na nagrerepresenta sa pangkalawakang oras (spacetime)

Sinisigurado ng alhebrang ito na ang ekwasyong Dirac ay hindi mababago sa ilalim ng mga transpormasyong Lorentz at ang mga spin-½ particle ng mga elektron ay napagtuonan ng pansin.

Pinagbasehan ng alhebrang ito

Ang pinagbasehan ng alhebrang ito ay

$I_{4},$

$\gamma ^{\mu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho },$

$\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }=\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}$

kung saan ang bawat ekspresyon, bawat greek index ay dumaragdag habang nagalaw ito sa kanan. Bilang partikular, walang umuulit na index sa mga ekspresyon. Sa pagbibilang naman ng dimesyon, ang dimensyon ng alhebra ay labing-anim (16).

Ang alhebra ay pwedeng malikha kapag kukunin lang mag-isa ang produkto ng $\gamma ^{\mu }$: ang pagkakakilanlan nito ay mapapansin bilang

$I_{4}=(\gamma ^{0})^{2}$

habang ang iba ay produkto lang ng $\gamma ^{\mu }$.