Balarilang pampanandaan

Ang balarilang pampanandaan o balarila ng alhebra ay nagpapaliwanag kung papaano pinagpapangkat ang mga simbolo upang maipakita ang kahulugan ng mga ekspresyon pangpananda. Mas madaling matutuhan ang alhebra kung alam mo ang kahulugan ng mga simbolo nito.

Baryabol at konstant

Gumagamit tayo ng mga pananda upang kumatawan sa mga hindi pa natitiyak (unspecified) na bilang. Ang mga panandang ito (tulad ng letrang x, t, A) ay tinatawag na mga baryabol (variables). Ang mga pananda na kumakatawan sa mga tiyak (specified) na bilang (tulad ng 2, -5, 0.75, π) ay tinatawag na mga konstant (constants).

(Halimbawa) Alin sa mga sumusunod ang konstant? 1, 2, 3, a

Sagot: Dahil sa ang mga pananda tulad ng 1, 2, at 3 ay kumakatawan sa mga tiyak o itinakdang bilang, lahat sila ay konstant. Dahil ang a ay kumakatawan sa hindi pa naitatakdang bilang, ito ay isang baryabol.

Di-malayang baryabol

Ang di-malayang baryabol (dependent variables) ay mga baryabol na “umaasa” o naka depende sa ibang baryabol kung kailangan alamin ang kanilang halaga. Ganito ang isang madaling paraan upang matandaan ito, ang sanggol ay umaasa sa kanyang magulang sa pagkain.

(Halimbawa) Si Roberto ay isang batang nangangailangan ng pagkain. Kanino siya umaasa upang bumili ng pagkain sa tindahan? A. Nanay niya B. Laruan niya C. "Sanggol na kapatid na si Connie" D. Botelya

Sagot: Sa Nanay niya dahil alam ng nanay niyang sumakay ng dyip at pumunta sa tindahan upang bumili ng pagkain.

(Halimbawa) Tingnan ang sumusunod na equation: Y = x + 2. Saan umaasa ang "Y"?

Sagot: Sa X, dahil upang malaman ang Y kailangang malaman muna kung ano ang halaga ng X.

Malayang baryabol

Ang mga malayang baryabol (independent variables) ay mga baryabol na hindi umaasa sa ibang baryabol. Katulad ito ng isang taong may sapat na gulang na nabubuhay nang sarili at hindi umaasa sa ibang tao.

(Halimbawa) Gustong bumili ng pagkain ni Ronaldo, isang binatilyo. Alam niya kung nasaan ang tindahan at may pera siya at may permisong bumili nito kailan niya gusto. Makabibili ba siya ng pagkain niya? A. Oo B. Hindi Sagot: Oo, dahil malaya siya at makakabili siyang mag-isa ng pagkain niya.

________________________________________

• Ang isang konstant ay isang integer na hindi nakadikit sa isang baryabol. Halimbawa: 0.3, 8. • Ang isang coefficient ay isang baryabol o integer na pinarami maliban ng sarili. Halimbawa ay 3x (sa ibang salita, “3 beses o ulit ng x), xa, 9(x-a)

Mga Terminong magkatulad

Ang mga Like Terms (terminong magkakatulad) ay mga coefficient na nakikihati ng isang magkahating baryabol. Alalaumbaga, sila ay mga terminong “pareho sa isa’t-isa”; sila’y magkawangki ngunit magkaiba sa isa’t-isa.

(Halimbawa) Si Beatriz ay may 3 dalandan (orange) , 2 kalabasang kulay naranghado, 1 pulang mansanas, at 2 pulang kamatis. Ano ang “magkatulad na termino” tungkol sa KULAY nila? Una, anung kulay ang ginamit sa problema? Ang lahat ng tinutukoy ay kulay pula o naranghado (orange).

Kung bibilangin natin ang lahat nang may kulay orange, may 3 orange na prutas at 2 kalabasang naranghado si Betty. At sa mga pulang bagay, may 1 pulang mansanas at 2 pulang kamatis. Sa kabuuan, may:

5 naranghadong (kulay orange) bagay 3 Pulang bagay (Sa halimbawang ito, ang "Orange" at "Pula" ang mga coefficients at baryabol ang mga tinutukoy.)

(Halimbawa) Alin dito ang may parehong terminio? 2x, 3x, 27, 2y

Sagot: 2x, 3x (pareho silang may bilang na pinarami ng x na ulit)

Pagsusuri sa mga pasalaysay na ekwasyon

Ang matematika ay isang uri ng wika na mayroong sariling “balarila”; kailangan mong maunawaan ang balarila nito upang ikaw ay maging bihasa rito. Ang mga sumusunod ay mga katagang pambalarila na ginagamit sa matematika.

• Pagsasama (padagdag) o dagdag rito ("in addition to") o idinagdag sa ("added to") o mas marami o mas higit nang … ("more than")

• Pagbabawas (laging pabawas) o mababa o kaunti nang … ("less than") o alisan, awasan, o bawasan ng … ("take away")

• Pagpaparami (Multiplication) o paramihin nang …ulit ("times by")

• Paghahati (Division) o hatiin sa o hinati sa … ("divided by")

• Katumbas (Equal) o ay katumbas … ("is equal to") o ay kapantay … ("is equivalent") o magkatumbas ang kanilang halaga ("their values are equal to each other" )

Katangiang pamudmod

Ang pagpaparami ng isang bilang sa suma ay may parehong resulta kapag pinarami ang bilang sa bawat pinagdaragdag sa suma at pagsamahin ang resultang produkto.*

Maaring mahirap maunawaan ito kapag binabasa ng walang halimbawa. Ang mga sumusunod ay makatutulong sa pag-unawa nito:

3(6+2) = 3(8) = 24 3(6+2) = 3(6) + 3(2) = 18 + 6 = 24

Ating gagamitin ang katangiang pamudmod sa mga paglutas ng problemang pang-algebra. Maaring gamitin ito sa “pagpapalit” sa magkatumbas ng pagpapakita ng di tiyak na dami na makatutulong nang lubos sa flexibility. Makatutulong ito sa pagpili ng kakatawan na pinakamadaling paglutas ng isang problema. Tingnan ang sumusunod na halimbawa:

3(x+2) = 3x+3(2) = 3x+6

Depende sa situwasyon, ang ekspesyon sa kanan o kaliwa ay mas mahalaga.

________________________________________

Halimbawa, sa dahilang ang bawat titik ay kumakatawan sa bilang, maglagay tayo ng isang bilang at ating subukan ito. Kaya sa y - z = x + 5, kung ang y = 18 at z = 7, sa gayon ang x = 6.

Tangkas at hilera ng bilang

Sa matematika, ang isang tangkas (set) ay isang katipunan ng mga bagay. Maari itong mga bagay na may anyo at maari rin itong mga bagay na walang anyo (abstract). Ang bawat isang bagay sa isang set ay elemento ng set na ito. Sa algebra, ang mga elemento ay karaniwang bilang; sa geometry, ito’y mga puntos na walang-hangganang lugar sa espasyo. Ang bilang ng elemento sa isang set ay maaring mabibilang o walang hangganan hangga’t ito’y ma-itataya, ma-itatakda o masusumpungan sa isang kaparaanan ngayon o sa darating na panahon. Ang infinite (walang hanggan) ay nangangahulugan ng walang katapusan (hindi mabilang) o walang katapusan dahil sa dami nito. Ang karaniwang mithiin ng algebra ay makuha at makita ang mga impormasyong ipinakikita sa isang situwasyon o problema, at upang itakda o alamin ang set ng mga elemento katulad ng bilang sa payak at tamang pamamaraan. Maaring walang mga elemento ang isang set tulad ng isang walang-lamang (basyo) set o walang bisang (null) set. Kung ang lahat ng elemento ng isang set ay elemento rin ng ikalawang set, sinasabing ang unang set ay subset ng ikalawang set. Sa algebra, karaniwang upper case (malaking titik) ang mga titik na kumakatawan sa mga set at lower case (maliit na titik) na kumakatawan sa mga bilang. Ang mga elemento ng isang serye ng magkakalapit na baryabol ay minsang ipinakikita bilang isang titik at sinusundan ng subscript na bilang (integer) tulad ng x1, x2, etc. Ang mga elemento ng nasabing set ay malamang na ipinakikita bilang titik na sinusundan ng lower case subscript na titik tulad ng i, j, k, etc. na kumakatawan sa mga subscript na bilang. Halimbawa, xi kung saan ang i ay kumakatawan sa 1, 2, 3, etc.

Ilang pagpapaliwanag: Ang mga sumusunod na kataga ay di tumpak na pakahulugang matematika bagkus ito’y maikling paliwanag upang bigyan ng ideya ang isang baguhan sa kahulugan nito. • Walang katapusan (Infinite) – walang katapusan sa dami, sa laki, sa bilang; hindi mabibilang • May hanggahan (Finite) - tiyak sa bilang o dami kahit gaanong kalaki ito. • Lubos ng maliit (Infinitesmal) – napakaliit na halos malapit sa laki, bilang o dami sa 0 (sero), sa positibo o negatibo mang direksiyon. • Walang hanggahan (Infinity) – sa katunayan hindi isang bilang ito bagkus isang kaisipan (ideya) – tawag sa hipotetiko o pangkaisipang katapusan ng isang walang hangganang dami, positibo o negatibo man ang halaga nito. Positive infinity (positibong walang hanggan) ay ipinakikita ng ∞ or +∞ . Negative infinity (negatibong walang hanggan) ay ipinakikita ng -∞ .

Ang isang set ay ipinakikita ng may panaklong (braces) sa palibot ng listahan ng mga simbolong kumakatawan sa mga elemento ng set, at kung saan ang bawat elemento ay pinaghihiwalay ng kuwit. Halimbawa, ang isang set na naglalaman ng mga likas o buong bilang mula 1 hanggang 8, sa buong loob nila, ay maipakikita ng sumusunod:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}.

Ang isang basyo o walang lamang tangkas ay ipinakikita bilang: { } o kaya ng simbolong . Ang bilang na tinatawag na real numbers ay maipakikita sa isang hilera ng bilang (number line), na teoretikong maipagpapatuloy nang walang hanggan (magpakailanman) sa magkabilang direksiyon tulad ng ipinakikita rito:

Ang mga palasô (arrow) sa magkabilang dulo ng krokis ng hilera ng bilang ay nagpapakita sa kaisipan na tumutuloy ito sa direksiyon ng palasô . Makikitang ang kanang hilera mula sa sero ay patungo sa positibong walang-hanggan at ang sa kaliwa ay sa negatibong walang-hanggan. Ang bilang sa isang set ay maipakikita bilang mga tuldok (dots) sa hilera ng bilang. Halimbawa, ang nabanggit na set sa itaas ng mga likas na bilang mula 1 hanggang 8 ay maipakikita ng sumusunod:

Kalimitan, ang isang serye ng mga bilang ay tumutuloy ng walang hanggan sa isang o parehong direksiyon. Halimbawa, ang set ng natural numbers (likas na bilang) na binubuo ng bilang na likas na binibilang mula 1, 2, 3, 4, at hanggang sa walang-hanggan. Ang walang haggang pagtutuloy ng isang walang-hanggang set ng bilang (o kawangking elemento) ay maisusulat bilang tatlong magkakasunod na tuldok matapos maisulat ang bilang o elemento na nagpapakita ng unang padron ng hilig (trend) nito. Kaya, ang set ng likas na bilang ay maipakikita ng sumusunod:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

kung saan ang tatlong tuldok ay nagpapakita ang tuloy-tuloy na padron ng isang walang haggang set ng mga elemento. Ang set ng buong bilang ay binubuo ng set ng likas na bilang at saka ng bilang na 0, at maipakikita ng sumusunod:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...}

Ang mga likas na bilang ay subset ng buong bilang. Ang set ng mga integer ay binubuo ng likas na bilang, positibo hanggang positibong walang-hanggan, 0, at ng negatibong bersiyon ng likas na bilang hanggan sa negatibong walang-hanggan. Maipakikita ang set ng mga integer ng sumusunod:

{..., -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...}

Walang partikular na pangangailangan sa paglilista ng walang-hanggang set ng mga elemento ay nagtatapos sa 10 o 8 o anumang bilang, haggang maipakita na may malinaw at nauunawaang padron ito.

Ang set ng likas ng bilang at set ng buong bilang ay parehong subset ng set ng mga integer. Magpahanggang ngayon, ang diskusyon ay tungkol sa malinaw at hiwalay (discrete) na bilang. Sinasabing discrete ito dahil binubuo ito ng isa or mahigit pang magkakahiwalay ng bilang o puntos o kaya’y dahil wala itong tuluyang interbal ng bilang o puntos.

May mga bilang sa pagitan ng mga integer na karaniwang tinatawag na fractional numbers. Sa pagitan ng bawat integer, napakaraming mga fractional number ang masusumpungan. Ang katangiang ito ay minsang tinatawag na continuity o katuluyan ng bilang. Ipinakikita ito bilang segmento na may bold (matingkad) na hilera sa (o malapit) hilera ng bilang katulad nang pagpapakita ng tuloy-tuloy na set ng puntos ng segmento ng hilera sa geometry. Ang tuloy-tuloy na set ng bilang na kasama ang lahat ng bilang sa pagitan ng dalawang tiyak na bilang ay karaniwang tinatawag na interbal. Ang dalawang bilang ng tuloy-tuloy na set ng bilang sa magkabilang dulo nito ay tinatawag na endpoints (kawakasan) at ipinakikita bilang isang solid na tuldok. Kapag ang bilang sa endpoint ay hindi kasali, tinatawag itong open endpoint (kawakasang bukas) at ipinakikita bilang isang tuldok na may butas sa gitna (butas na tuldok). Ang halimbawa sa ibaba ay nagpapakita ng isang hilera ng bilang na may interbal sa pagitan mula 1 at 8 kung saan ang 1 ay kasama (sarado sa 1) at ang 8 ay di kasama (bukas sa 8):

Ang isang set ng tuloy-tuloy na bilang ay maitatakda rin na magsimula (o matapos) sa isang bilang at tumutuloy nang walang hanggan sa positibo o negatibong direksiyon. Ipinakikita ito bilang isang palasô (ray) sa hilera ng bilang na kung saan matingkad na ipinakikita sa hilera. Kung ang endpoint ay kasama sa set, ipinakikita ang endpoint ay sarado bilang solid na tuldok. Kung ang endpoint ay hindi kasama sa set, ang endpoint ay bukas na ipinakikita na butas na tuldok. Ang halimbawa sa ibaba ay nagpapakita ng isang set ng bilang na mahigit o katumbas ng 1 sa hilera ng bilang:

Sa ibang halimbawa, ang isang set ng bilang ay mababa sa 8 ay ipinakikita sa hilera ng bilang sa ibaba:

Ang set ng lahat ng mga integer at lahat ng di integer na bilang sa pagitan nila at sa lahat ng tuloy-tuloy hanggang sa walang hanggan sa direksiyong positibo at negatibo sa ganitong uri ng hilera ng bilang ay tinatawag na tunay na bilang (real numbers). Ang tunay na bilang ay binubuo ng rational at irrational na bilang. Ang rational na bilang ay anumang tunay na bilang na katumbas sa anumang bilang na integer na mahahati ng anumang integer maliban sa 0. Ang irrational numbers ay anumang tunay na bilang na hindi rational; yaon bang hindi nasa set na may katumbas ng ilang integer na mahahati ng isa pang integer. Ang set ng rational numbers at set ng irrational numbers ay parehong subset ng set ng tunay na bilang. Ang lahat ng integer numbers ay rational dahil maari itong katumbas ng sarili kapag hinati ng integer number 1. Sa pagitan ng dalawang tunay numbers, napakaraming bilang, rational at irrational, ang masusumpungan.

Positibong real numbers ang lahat ng bilang na mahigit sa 0. Negatibong real numbers naman kapag mababa sa 0. Ang integer na 0 ay di positibo o negatibong bilang bagkus nasa pagitan ng positibo at negatibong bilang sa hilera ng bilang. Maraming batas pundamental ng algebra ang nauukol sa real numbers.

Ang set na naglalaman ng mga solusyon sa isang pang-algebrang equation ay tinatawag na solution set ng equation, yaon bang kung saan ang lahat ng bilang kung ipapalit sa isang “di pa alam” na baryabol sa equation na magpapatotoo rito. Ang isang pormula ay isang masalimuot na proseso sa math na naghahanap ng kasagutan sa ibang baryabol na di pa nalalaman sa pamamagitan ng paggamit ng ibang baryabol at bilang.

Halimbawa rito ang pormula ni Einstein:

e = mc²