Hatimbilang

Ang hatimbilang^{[kailangan ng sanggunian]} o praksiyon ay kumakatawan sa isang bahagi ng buo o, higit sa pangkalahatan, anumang bilang na may magkatumbas na bahagi. Kapag sinasalita ito sa pang-araw-araw na Tagalog, inilalarawan ng isang hatimbilang kung iilan ang bahagi ng isang dami, halimbawa, kalahati, walong-kalima, tatlong-kapat. Ang karaniwang, bulgar, o payak na hatimbilang (halimbawa: ${\tfrac {1}{2}}$ and ${\tfrac {17}{3}}$ ) ay binubuo ng isang buumbilang na panakda na ipinapakita sa ibabaw ng isang linya (o bago ang isang palihis na guhit), at isang di-sero na buumbilang na pamahagi na ipinapakita sa ilalim (o pagkatapos) ng linyang iyon. Ginagamit din ang mga panakda at pamahagi sa mga hatimbilang na hindi karaniwan, katulad ng mga langkaping hatimbilang, hugnay na hatimbilang, at mga halo-halong numero.

Magsisimula tayo sa positibong karaniwang hatimbilang, kung saan likas na bilang ang panakda at pamahagi. Kumakatawan ang panakda sa isang bilang ng magkatumbas na bahagi, at ipinapahiwatig ng pamahagi kung iilan ng mga bahaging iyon ay bumubuo sa isang yunit o kabuuan. Hindi maaaring sero ang pamahagi dahil hindi kailanman makababahagi ang serong bahagi sa isang kabuuan. Bilang halimbawa, sa hatimbilang na 3/4, nagpapaalam sa atin ang panakda, 3, na kumakatawan ang hatimbilang sa 3 magkatumbas na bahagi, at ang pamahaging 4, ay nagpapaalam sa atin na bumubuo ang 4 na bahagi sa isang kabuuan. Inilalarawan ng litrato sa kanan ang ${\tfrac {3}{4}}$ o ³⁄₄ ng isang keyk.

Ang karaniwang hatimbilang ay isang pamilang na kumakatawan sa isang bilang na matwiran. Maaari ring katawanin ang numerong iyon bilang sampuan, kabahagdanan, o na may kasamang negatibong pauli. Halimbawa, magkatumbas ang 0.01, 1%, at 10⁻² sa hatimbilang na 1/100. Maaaring isipin ang isang buumbilang tulad ng numerong 7 ay may pahiwatig na pamahagi na isa: 7 ay tumbas ng 7/1.

Ginagamit din ang mga hatimbilang para kumatawan sa mga tagway at paghahati.^[1] Kaya ginagamit din ang ³⁄₄ para kumatawan sa tagway na 3:4 (ang tagway ng bahagi sa kabuuan) at ang paghahating 3 ÷ 4 (hatiin ang tatlo sa apat). Ang di-serong pamahagi sa paggamit ng hatimbilang para kumatawan sa paghahati ay halimbawa ng panuntunan na hindi tiyak ang paghahati sa sero.

Maaari rin nating sulatin ang mga negatibong hatimbilang na kumakatawan sa kabaligtaran ng positibong hatimbilang. Halimbawa, kung kumakatawan ang ¹⁄₂ sa kita ng kalahating peso, kasunod na kumakatawan ang -¹⁄₂ ang pagkalugi ng kalahating peso. Dahil sa mga panuntunan ng paghahati ng maytandang bilang na nangangailangan, halimbawa, ang negatibo na hinati sa positibo ay negatibo, kumakatawan ang -¹⁄₂, ^-1⁄₂, at ¹⁄_-2 sa parehong hatimbilang, negatibong kalahati. Dahil namumunga ang negatibo na hinati sa negatibo sa positibo, kumakatawan ang ^-1⁄_-2 sa positibong kalahati.

Sa sipnayan, ang tangkas ng lahat ng bilang na maaaring ipahayag sa anyong a/b, kung saan buumbilang ang a at b at di-sero ang b, ay tinatawag na tangkas ng lahat ng bilang na matwiran at kinakatawan ito ng simbolong Q na ang ibig sabihin ay kahatian. Ang pagsuri kung buumbilang ang isang numero ay maaari siyang sulatin sa anyo (i.e., bilang isang karaniwang hatimbilang). Gayunman, ginagamit din ang salitang hatimbilang sa paglalarawan ng mga matematikang pahayag na hindi bilang na matwiran, tulad ng alhebraikong hatimbilang (kahatian ng mga alhebraikong pahayag), at mga pahayag na naglalaman ng mga bilang na dimatwirin, tulad ng √2/2 (tingnan ang pariugat ng 2) at π/4 (tingnan ang patunay na dimatwirin ang π).

Talasalitaan

Sa isang hatimbilang, ang mga bilang ng magkatumbas na bahagi na tinutukoy ay ang panakda o numerador, at ang uri o baryante ng mga bahagi ay ang pamahagi o denominador.^[2] Bilang halimbawa, ang hatimbilang ⁸⁄₅ ay nagbubuo ng walong bahagi, at ang bawat isa ay sa uri ng tinatawag na "kalima". Sa paghahati naman, tumutugma ang panakda sa hatiin, at tumutugma ang pamahagi sa pahati.

Sa impormal na konteksto, maaaring ibukod ang panakda at pamahagi sa isa't isa sa pagkakalagay lamang but sa mga pormal na konteksto hinihiwalay sila ng isang tagahati ng hatimbilang. Ang tagahati ay maaaring maging pahalang (tulad ng ${\tfrac {1}{3}}$ ), pahilig (tulad ng 2/5), o pahilis (tulad ng ⁴⁄₉).^[3]

Pagbibigkas

Sampuing hatimbilang

Bilang	Pagkabasa
0.5	Sero punto lima
0.75	Sero punto pito lima
0.005	Sero punto sero sero lima
1.2	Isa punto dalawa
2.025	Dalawa punto sero dalawa lima

Karaniwang hatimbilang

Bilang	Pagkabasa
1/2	Kalahati
1/3	Katlo
1/4	Kapat
1/5	Kalima
1/6	Kanim
1/7	Kapito
1/8	Kawalo
1/9	Kasiyam
2/3	Dalawang-katlo
3/4	Tatlong-kapat
4/5	Apat-na-kalima
5/6	Limang-kanim
6/7	Anim-na-kapito
7/8	Pitong-kawalo
8/9	Walong-kasiyam
9/10	Siyam-na-kasampu

Halong hatimbilang

Bilang	Pagkabasa
1 1/2	Isa at kalahati
2 2/3	Dalawa at dalawang-katlo
4 1/2	Apat at kalahati
10 3/5	Sampu at tatlong-kalima

Mga uri

Angkop (proper) na praksiyon: kung ang numerador ay mas maliit sa denominador gaya ng ${\tfrac {1}{6}}$
Hindi angkop (improper) na praksiyon: kung ang denominador ay mas maliit sa numerador gaya ng ${\tfrac {9}{4}}$ . Ang resulta ng praksiyong ito ay mas malaki sa 1.
Halong (mixed) praksiyon: Ang praksiyon na binubuo ng isang buong bilang (whole number) at isang angkop na praksiyon gaya ng $2+{\tfrac {3}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$ . Ang isang halong praksiyon ay maaaring baguhin sa anyong hindi angkop na praksiyon.

Mga operasyon

Adisyon at subtraksiyon

Upang isagawa ang operasyong adisyon at subtraksiyon ng dalawang praksiyon, ang denominador ng 2 praksiyon ay dapat magkatulad. Kung hindi magkatulad, kailangang baguhin ang anyo upang magkapareho ang denominador ng dalawang praksiyon. Upang gawing magkapareho ang mga denominador ng dalawang praksiyon, hanapin ang pinakamaliit na karaniwang denominador(Least Common Denominator o LCD) ng mga denominador ng dalawang praksiyon. Ang LCD ang pinakamaliit na buong bilang na mahahati ng dalawang denominador na ito na walang matitira(remainder). Paramihin(multiply) ang numerador at denominador ng mga praksiyon sa paktor na magreresulta sa LCD sa denominador. Halimbawa, pagdagdagin ang dalawang praksiyon na : ${\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {2}{3}}$ . Ang pinakamaliit na karaniwang denominador(LCD) ng dalawang denominador na ito ay 12. Paramihin(multiply) ang parehong numerador at denominador ng praksiyon na ${\tfrac {3}{4}}$ ng paktor na 3 upang magresulta sa denominador na 12: ${\tfrac {3}{4}}\times {\tfrac {3}{3}}={\tfrac {9}{12}}$ . Paramihin(multiply) naman ang parehong numerador at denominador ng ikalawang praksiyon na ${\tfrac {2}{3}}$ ng paktor na 4 upang magresulta sa denominador na 12: ${\tfrac {8}{12}}$ . Ngayon, pagdagdagin ang parehong numerador at panatilihin ang denominador na 12 kaya ang resultang praksiyon ay: ${\tfrac {9}{12}}+{\tfrac {8}{12}}={\tfrac {17}{12}}=1{\tfrac {5}{12}}$ .

Multiplikasyon

Upang magsagawa ng multiplikasyon, ang numerador ng isang praksiyon ay pararamihin(multiply) ng numerador ng ikalawang praksiyon at ang denominador ng isang praksiyon ay pararamihin(multiply) ng denominador ng ikalawang praksiyon. Halimbawa: ${\tfrac {2}{3}}\times {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}$

Dibisyon

Upang magsagawa ng division sa isang praksiyon, ang hinahating praksiyon ay pararamihin sa resiprokal ng humahating praksiyon. Halimbawa: ${\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\times {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}$ .

Pagkukumpara

Ang pagkukumpara ng dalawang praksiyon na parehong denominador ay nag-aatas lamang na ikumpara ang mga numerador nito. Halimbawa, ang ${\tfrac {3}{4}}>{\tfrac {2}{4}}$ na nangangahulugang mas malaki ang ${\tfrac {3}{4}}$ sa ${\tfrac {2}{4}}$ dahil ang 3 ay mas malaki sa 2. Kung ang dalawang praksiyon ay may parehong numerador, ang praksiyon na may pinakamaliit na denominador ang mas malaking praksiyon sa dalawang ito. Ang isang paraan upang ikumpara ang dalawang praksiyon na may magka-ibang mga numerador at denominador ay ang paghahanap ng karaniwang denominador. Halimbawa, upang ikumpara ang ${\tfrac {a}{b}}$ at ${\tfrac {c}{d}}$ , ang mga ito ay ikokonberte sa ${\tfrac {ad}{bd}}$ at ${\tfrac {bc}{bd}}$ . Kung gayon, ang bd ang karaniwang denominador at ang ad at bc ay maaari nang ikumpara. Ang mas madaling paraan ng pagkukumpara ng dalawang praksiyon na may magka-ibang mga numerador at denominador ay sa pamamagitan ng pagpaparaming krus(cross multiplying). Sa paraang ito, hindi na kailangan kwentahin ang denominador dahil maaaring ang ad at bc ang tanging ikumpara. Halimbawa, upang ikumpara ang ${\tfrac {5}{18}}$ ? ${\tfrac {4}{17}}$ , paramihin ang numerador at denominador ng bawat praksiyon sa denominador ng ibang praksiyon upang makuha ang karaniwang denominador na ${\tfrac {5\times 17}{18\times 17}}$ ? ${\tfrac {4\times 18}{17\times 18}}$ . Ang mga denominador ay pareho na ngunit hindi kinakailangang kwentahin ang mga halaga nito dahil ang mga numerador lamang ang kailangang ikumpara. Dahil ang 5×17 (= 85) ay mas malaki sa 4×18 (= 72), ang unang praksiyon ay mas malaki sa ikalawang praksiyon: ${\tfrac {5}{18}}>{\tfrac {4}{17}}$

Pagpapaliit (reduction)

Ang pagpaparami(multplying) at paghahati(dividing) ng numerador at denominador ng isang praksiyon ng parehong hindi serong bilang ay magreresulta sa isang bagong praksiyon na katumbas ng orihinal na praksiyon. Halimbawa, ang ${\tfrac {5}{10}}$ ay katumbas ng ${\tfrac {1}{2}}$ o ${\tfrac {10}{20}}$ o ${\tfrac {50}{100}}$ . Ito ay dahil sa anumang hindi sero na bilang na $n$ , ang praksiyon na ${\tfrac {n}{n}}=1$ , kaya ang pagpaparami o paghahati sa numerador at denominador ng isang praksiyon ay katumbas ng pagpaparami o pagpaparami ng orihinal na praksiyon sa halagang 1. Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang dibisor(greatest common divisor) ng 63 at 462 ay 21, kaya ang praksiyong ${\tfrac {63}{462}}$ ay mapapaliit sa pinakamababang mga termino sa pamamagitan ng paghahati ng numerador at denominador ng 21:

{\tfrac {63}{462}}={\tfrac {63\div 21}{462\div 21}}={\tfrac {3}{22}}

Mga sanggunian

↑ H. Wu, "The Mis-Education of Mathematics Teachers", Notices of the American Mathematical Society, Volume 58, Issue 03 (March 2011), page 374
↑ Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-511-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Ambrose, Gavin; atbp. (2006). The Fundamentals of Typography (ika-2nd (na) edisyon). Lausanne: AVA Publishing. p. 74. ISBN 978-2-940411-76-4.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link).

[1] H. Wu, "The Mis-Education of Mathematics Teachers", Notices of the American Mathematical Society, Volume 58, Issue 03 (March 2011), page 374

[schwartzman-2] Schwartzman, Steven (1994). The Words of Mathematics: An Etymological Dictionary of Mathematical Terms Used in English. Mathematical Association of America. ISBN 978-0-88385-511-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[ambrose-3] Ambrose, Gavin; atbp. (2006). The Fundamentals of Typography (ika-2nd (na) edisyon). Lausanne: AVA Publishing. p. 74. ISBN 978-2-940411-76-4.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link).

[1]

[2]

[3]