Paghahati

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya
Jump to navigation Jump to search
12 ÷ 4 = 3, o kung babasahin, "labindalawa hinati sa tatlo ay apat."

Sa matematika, ang paghahati o dibisyón (mula Kastila división) ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika, Madalas ginagamit ang tandang panghati (division sign, "÷") bilang simbolo ng paghahating matematikal, ngunit hindi ito ginagamit ng lahat, ni inirerekomendang gamitin, bagamat laganap ito sa mga bansang nagsasalita ng Ingles, kasama na ang Pilipinas. Inirerekomenda ng karamihan na gamitin ang solidus ("/") o di kaya'y linyang panghati (fraction bar) para sa operasyong ito.

Sa pinakamababang pananaw, ang paghahati ay isang proseso ng pagkakalkula sa kung gaano karami ang makakasya o masisiksik na bilang sa isa pang bilang.[1] Dahil hindi ito nagreresulta palagi ng isang buumbilang, nagkaroon tuloy ng iba't ibang mga paglalarawan at pagpapakahulugan sa prosesong ito.

Ang paghahating Euclid ng dalawang likas na bilang (natural number) ay nagreresulta sa bahagi (Ingles: quotient), ang bilang ng dami ng beses na nasa loob ng isang bilang ang isang bilang, at butál (Ingles: remainder), ang bahagi o piraso ng bilang na naipagkasya sa isang bilang. Malimit itong isinusulat sa anyong , kung saan ang at ay kahit anong bilang o termino, ang ay bahagi, at ang butal. Halimbawa:

      

Para magresulta ito ng sagot nang walang butal, kinakailangang palawigin ang sakop na bilang sa mga tuwiran (rational number) o tunay na bilang (real number). Sa mga sistemang ito ng mga malalaking bilang, itinuturing na kabaligtaran ng paghahati ang pagpaparami, na ang ekspresyong ay parehas lang ng ekspresyong , basta ba ang baryabol na ay hindi sero. Kung sero ang , ito ay paghati sa sero, na, kung pag-uusapan ang aritmetika, ay walang halaga o katuturan.[a][3]

Ang dalawang nabanggit na kaparaanan ng paghahati ay parehong makikita sa mga istrakturang alhebraiko. Ang mga gumagamit ng paghahating Euclid ay tinatawag na mga dominyong Euclid, na kinabibilangan ng singsing damikay (polynomial ring) sa isang di-tukoy na baryabol. Samantala, ang mga gumagamit naman ng paghahating naglalabas ng iisang resulta ay tinatawag na mga parang (field) at singsing panghati (division ring). Sa mga singsing na iyon, tinatawag na yunit ang lahat ng mga elementong posibleng mahati (halimbawa, ang mga bilang na 1 at -1 sa singsing ng mga buumbilang). Ang pangkat-bahagi (quotient group) naman ay isang paglalahat sa paghahati sa mga istrakturang alhebraiko, na nagsasabing isang 'pangkat' lamang ang resulta ng paghahati imbes na isang bilang.

Panimula[baguhin | baguhin ang batayan]

Ang pinakasimpleng paraan para ilarawan ang paghahati sa pamamagitan ng pamamahagi (quotition) at hatian (partition). Halimbawa, sa ekspresyong ,

  • Sa pananaw na pamamahagi, baha-bahaging maglalagay ng 5 hanggang sa umabot o magkasya ito ng 20.
  • Sa pananaw na hatian, hahatiin sa 5 ang 20.

Bagamat parehong tama ang dalawang pananaw na ito, pinagdedebatehan pa rin ng mga nasa larangan ng edukasyon kung ano and nararapat na iturong pananaw sa mga paaralan.

Maaaring maisulat sa dalawang kaparaanan ang paghahati: pa-linya (linear, ) at pa-hatimbilang (fraction, ).[4] Sa wikang Ingles, tinatawag na dividend ang bilang na hahatiin, samantalang divisor naman ang tawag sa tagahati. Ang resulta ng paghahati ay tinatawag na bahagi o kosyente (Ingles: quotient). Sa nakaraang halimbawang ekspresyon, ang 20 ay ang hahatiin, ang 5 ang tagahati, at ang 4 naman ang bahagi o kosyente nito.

Di tulad ng ibang mga pangunahing operasyon, may iniiwan minsan na butal (Ingles: remainder) ang paghahati sa mga likas na bilang. Halimbawa, kung hahatiin ang 10 sa 3, may maiiwang butal na 1 (dahil aabot lamang ng 9 ang kakasyang 3 sa 10). Minsan, isinusulat ang mga butal nang pa-hatimbilang, halimbawa imbes na . Gayunpaman, sa paghahati sa mga buumbilang, hindi isinusulat o di kaya'y inihiwalay ang butal mula sa bahagi (hal. o na lang).[5] Kung isinusulat ang butal sa anyong hatimbilang, nagiging isang tuwirang bilang ito. Posible ito dahil maaaring ipalawig ang sakop ng mga tuwirang bilang para maisama ang lahat ng mga posibleng sagot sa paghahati sa mga buumbilang.

Di tulad ng pagdaragdag o ng pagpaparami, ang pagpapalit-puwesto ng mga bilang sa paghahati ay maaaring magresulta sa magkaibang sagot. Ibig sabihin, hindi palaging magkatumbas ang sa .[6] Di tulad rin ng ibang mga operasyon, nagbabago ang sagot depende sa kung ano ang unang pares na hinati.[7] Halimbawa, ang sagot sa ekspresyong ay 2, ngunit kung nilapat ang mga panaklong sa 5 at 2, o , ang sagot ay magiging 8. Ito ay dahil na rin sa epekto ng ayos ng operasyon, o mas kilalang PEMDAS.

Gayunpaman, tradisyonal na kaliwa-muna ang pagkokompyut sa paghahati. Sa madaling salita, unang ikokompyut muna ang kaliwang termino sa mga kaso kung saan sunod-sunod ang paghahating kailangang gawin.[8][9] Halimbawa:

    

Samantala, sa katangian ng pamamahagi (distributive property), binahagi ang kanang termino sa paghahati kung kasama ito sa idadagdag o ibabawas. Hindi kailanman nito binabahagi ang kaliwang termino nito (magbabago ang sagot kung gagawin ito).

Halimbawa,

    , dahil ang lalabas na resulta kung nasa kaliwa gagawin ang paghahati, at naman kung nasa kanan ito.

Iba sa pagpaparami,

    , kung saan parehong ang lalabas na produkto.

Sa madaling salita, di tulad ng paghahati, kayang mamahagi ang pagpaparami sa kaliwa't kanan nito.

Notasyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Madalas na ipinapakita sa alhebra at agham ang paghahati sa anyong pa-hatimbilang, kung saan nasa taas ang hahatiin at nasa baba naman ang tagahati. Halimbawa, maaaring maisulat ang bilang:

    

Binabasa itong, "tatlumpu't anim hinati sa dalawa ay labintatlo," ngunit madalas binabasa ito nang "tatlumpu't anim dibaydibay dalawa ay labintatlo." Minsan ding binabasa ang mga tandang panghati bilang dibaydibay, isang pagbigkas sa Ingles na katagang "divided by."

Ginagamit rin ang simbolong bilang tandang panghati. Una itong ipinakilala ng matematikong si Johann Rahn noong 1659 sa aklat niyang Teutsche Algebra (Filipino: Alhebrang Aleman).[10] Laganap ang simbolong ito sa mababang paaralan, samantalang ginagamit ang solidus sa mataas na paaralan. Hinihikayat ng mga pamantayan sa buong mundo na gamitin ang solidus at hindi ito, dahil ginagamit ng ibang mga bansa sa Europa ang bilang isang anyo ng tandang pambawas.

Ginagamit rin ng mga wikang pamprograma ang solidus bilang tandang panghati. Ginagamit ng ilang mga software na pangmatematika, tulad ng MATLAB, and baligtad na solidus ("\", backslash sa Ingles) para ibaligtad ang ayos ng paghati: nasa kaliwa ang tagahati imbes na sa kanan.

Maaari ring magamit sa mga hatimbilang ang kahit ano sa mga ayos na nabanggit. Itinuturing rin na mga hatimbilang ang lahat ng mga ekspresyon ng paghahati.

Minsan ding isinusulat ang paghahati gamit ang tutuldok (":"), lalo na sa mga bansang di laganap ang wikang Ingles.[11]

    

Unang ipinakilala ito ni Gottfried Leibniz noong 1684 sa kanyang Acta eruditorum (Filipino: Akto ng Pagtuto).[10] Ayaw ni Leibniz na magkaroon ng hiwalay na mga simbolo para sa mga tagway (ratio) at sa paghahati. Gayunpaman, madalas itong ginagamit sa kasalukuyan bilang simbolo sa tagway.

Madalas ding ginagamit ang mga anyong o sa paghahati. Nilalagay ang bahagi sa itaas, samantalang nasa loob ang hahatiin at nasa labas naman ang tagahati. Ginagamit ito sa mahabaang paghahati. Bagamat may kasikatan ang notasyong ito, di matiyak ng mga eksperto ang kasaysayan sa likod nito.[12]

Talababa[baguhin | baguhin ang batayan]

  1. Maaaring mabigyang-kahulugan ang paghahati sa sero sa ilang mga kaso, sa pamamagitan ng pagpapalawig sa mga tunay na bilang sa pinalawig na linya ng tunay na bilang o di kaya'y sa pinapakitang pinalawig na linyang tunay. Posible rin ito kung magaganap ito bilang isang hangganan (limit) ng mga paghahati sa mga bilang na papalapit sa sero. Halimbawa: [2]

Mga sanggunian[baguhin | baguhin ang batayan]

  1. Blake, A. G. (1887). Arithmetic [Aritmetika] (sa wikang Ingles). Dublin, Irlanda: Alexander Thom & Company.
  2. Eric W. Weisstein, Division by Zero (Paghahati sa Sero) mula sa MathWorld.
  3. Derbyshire, John (2004). Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics [Pagkahumaling sa mga pangunahing bilang: si Bernhard Riemann at ang Pinakadakilang Problemang di pa Nasasagot ng Matematika] (sa wikang Ingles). Lungsod ng New York: Penguin Books. ISBN 978-0-452-28525-5.
  4. Eric W. Weisstein, Division mula sa MathWorld.
  5. Eric W. Weisstein, Integer Division mula sa MathWorld.
  6. "Commutative Operation" [Operasyong Nagpapalit-puwesto] (sa wikang Ingles). Tinago mula sa orihinal noong Oktubre 28, 2018. Nakuha noong Oktubre 11, 2020.
  7. "Associative Operation" [Operasyong Nagbabago] (sa wikang Ingles). Tinago mula sa orihinal noong Oktubre 28, 2018. Nakuha noong Oktubre 11, 2020.
  8. "Order of arithmetic operations; in particular, the 48/2(9+3) question" [Ang ayos ng mga operasyong aritmetika; lalo na sa tanong na 48/2(9+3).] (sa wikang Ingles). Tinago mula sa orihinal noong Marso 5, 2017.
  9. "The Order of Operations" [Ang Ayos ng mga Operasyon] (sa wikang Ingles). Tinago mula sa orihinal noong Hunyo 8, 2017. Nakuha noong Nobyembre 10, 2020.
  10. 10.0 10.1 Cajori, Florian (1929). A History of Mathematical Notations [Ang Kasaysayan ng mga Notasyong Pang-matematika] (sa wikang Ingles). Open Court Pub. Co.
  11. Thomas Sonnabend (2010). Mathematics for Teachers: An Interactive Approach for Grades K–8 [Matematika para sa mga Guro: Isang Interaktibong Pagpapakita para sa mga Baitang K-8] (sa wikang Ingles). Brooks/Cole, Cengage Learning (Charles Van Wagner). pa. 126. ISBN 978-0-495-56166-8.
  12. Smith, David Eugene (1925). History Of Mathematics [Kasaysayan ng Matematika]. 2. Ginn And Company.


Matematika Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.