Deribatibong logaritmiko

Ang Deribatibo ng logaritmiko (Ingles:logarithmic derivative) ay ginagamit sa paghanap ng deribatibo ng isang punsiyon na logaritmiko.

Deribasyon ng deribatibo ng logaritmiko

Mga pangunahing artikulo: Deribatibo at Hangganan

Ang deribatibo ng punsiyong logaritmiko ay mahahango gamit ang "diperensiyang kosiyente"

Ang pormula ng diperensiyang kosiyente ay:

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$,

Ang deribatibo ng punsiyong nasa anyong $y=\ln \left(x\right)$ ay mahahango sa pamamagitan ng sumusunod:

Ilagay ang magkabilang panig sa kapangyarihan ng e upang alisin ang logaritmo sa kanang panig.

$e^{y}=x$

Ngayon, ilapat ang patakarang kadena at katangian ng deribatibo ng eksponensiyal. Tapos kunin ang deribatibo ng parehong panig.

${\frac {dy}{dx}}\cdot e^{y}=1$

Ang resulta ay:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{e^{y}}}$

Kung ihahalili ang orihinal na ekwasyon ng x = e^y, ang resulta ay:

Deribatibo ng Natural na Logaritmo ${\frac {d}{dx}}\ln \left(x\right)={\frac {1}{x}}\,\!$

Kung nanaisin, maaari nating isagawa ang proseso sa itaas upang mahango ang deribatibo ng pangkalahatang base, ngunit mas madali kung gagamitin ang katangian ng logs:

$\log _{b}(x)={\frac {\ln(x)}{\ln(b)}}$

Dahil ang 1 / ln(b) ay isang konstante, maaaring ilipat sa labas ng deribatibo:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{\ln(b)}}\cdot {\frac {d}{dx}}\ln(x)$

Ang resulta ay:

Deribatibo ng Logaritmo ${\frac {d}{dx}}\log _{b}\left(x\right)={\frac {1}{x\ln \left(b\right)}}\,\!$