Hangganan

Mula sa Wikipediang Tagalog, ang malayang ensiklopedya
Tumalon sa: nabigasyon, hanapin

Ang hangganan(limit) ng isang punsiyon ay isang pangunahing konsepto sa kalkulo at matematikal na analisis tungkol sa pag-aasal ng isang punsiyon kung ito ay malapit sa ibinigay na input.

Depinisyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Simpleng depinisyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Ang isang punsiyong f ay nagtatalaga ng isang output f(x) sa bawat input x. Ang punsiyon ay may hangganan(limit) na L sa isang input na c kung ang output ng f(x) ay "malapit" sa L habang ang input na x ay "malapit" sa c. Samakatuwid, ang output ng f(x) ay papalapit ng papalapit sa L habang ang x ay papalapit ng papalapit sa c. Ang f(x) ay maaaring gawing malapit sa halaga ng L kung ang input na x ay gagawing malapit sa halaga ng c ngunit hindi eksakstong c. Ang karaniwang notasyon ng hangganan ay:

Ito ay binabasa bilang "ang hangganan(limit) ng ng habang ang ay papalapit sa ". Halimbawa, ang punsiyon na titignan natin ay at interasado tayong malaman ang hangganan(limit) ng punsiyong ito habang ang ay papalapit sa . Ang isang paraan para malaman ang hangganan(limit) ay ang pagpili ng mga halagang malapit sa 2 at kwentahin ang bawat napiling mga halaga sa punsiyong . Makita sa sumusunod na tabla ang mga output ng punsiyon sa bawat ibinigay na input:

1.7 1.8 1.9 1.95 1.99 1.999
2.89 3.24 3.61 3.8025 3.9601 3.996001

Sa susunod na tabla, atin namang kukwentahin ang mga input na mas malaki sa 2:

2.3 2.2 2.1 2.05 2.01 2.001
5.29 4.84 4.41 4.2025 4.0401 4.004001

Ating makikita mula sa mga tabla sa itaas na kung ang ay papalapit ng papalapit sa 2, ang output ng ay papalapit ng papalapit sa 4 kahit hindi natin isasaalang alang kung ang ay papalaki o papaliit sa halaga ng 2. Sa dahilang ito, magiging sigurado tayo na ang hangganan ng habang ang ay papalapit sa 2 ay 4 o ayon sa notasyon ng hangganan, "ang ay may hanganan(limit) na 4 habang ang input ay papalapit sa 2".

Pormal na depinisyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Pormal na depinisyon ng hangganan

Itakda ang bilang isang punsiyon na inilalarawan sa bukas na interbal na na naglalaman ng , maliban sa . Itakda ang bilang isang bilang. Ating masasabi na:

kung sa bawat , may umiiral na na sa bawat ay:

ang x ay hindi katumbas ng c

meron tayong:

.

Ang letrang ε(epsilon) ay maaaring maunawaan na "kamalian"(error) ng halaga ng punsiyon(f(x)) sa hangganan(L) at ang δ(delta) ang "distansiya" ng x sa a. Ang ε ay mapapaliit kung ang δ ay mapapaliit. Kung pipili tayo ng ε, makakahanap tayo ng δ na sa bawat ε, merong δ kung saan ang distansiya ng f(x) at L ay mas maliit sa ε: kung ang distansiya ng x sa c ay mas maliit sa δ:

Halimbawa, ang hangganan ng punsiyong habang ang ay papalapit sa 4 ay 11 o sa notasyong hangganan ay:

Upang patunayan na ang hangganan ay talaga ngang 11, kailangan nating patunayan na kahit ano ang halaga ng na ibinigay, makakahanap tayo ng halaga ng kung saan ang:

sa tuwing ang:

Kung itatakda ang , kailangang patunayan na ang:

Ngayon, itumbas ang δ sa ε:

.

Ang resulta ay

Pansinin na ang ay naging katumbas ng :

na siya nating nais patunayan.

Kontinuidad[baguhin | baguhin ang batayan]

Ang isang punsiyon na ƒ ay sinasabing tuloy tuloy(continuous) sa c kung ito ay inilalarawan sa c at ang halaga sa c ay katumbas ng hangganan ng f habang ang x ay papalapit sa c:

Kung ang kondisyong 0 < |x − c| ay inalis sa depinisyon ng hangganan, ang resultang depinisyon ay katumbas ng pag-aatas na ang f ay maging tuloy tuloy sa c.

Kung ang punsiyong f ay may halagang real, ang hangganan ng f sa p ay L kung at tanging kung ang parehong kanang hangganan at kaliwang hangganan ng f at p ay umiiral at katumbas ng L.

Ang punsiyong f ay tuloy tuloy sa p kung at tanging kung ang hangganan ng f f(x) sa x habang papalapit sa p ay umiiral at katumbas ng f(p). Kung ang f : MN ay isang punsiyon sa pagitan ng mga metrikong espasyo na M at N, kung gayon, ito ay katumbas na f ay binabago ang bawat sekwensiya(sequence) sa M na nagtatagpo(converges) patungo sa p sa sekwensiya sa N na nagtatagopo patungo sa f(p).

Kung ang N ay isang espasyong bektor na normado(normed vector space), ang operasyong hangganan ay linyar sa pagkaunawang: kung ang hangganang f(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L at ang hangganan ng g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay P, kung gayon ang hangganan ng f(x) + g(x) habang ang x ay papalapit sa p ay L + P. Kung ang a ay skalar sa baseng field, kung gayon ang hangganan ng af(x) habang ang x ay papalapit sa p ay aL.

Kung ang f ay isang punsiyon na may halagang real o kompleks, ang pagkuha ng hangganan at umaayon sa mga operasyong alhebraiko, kung ang mga hangganan sa kanang bahagi ng ekwasyon ay umiiral. Ang tawag dito ay Alhebraikong teorema ng hangganan. Ang mga patakaran ng teoremang ito ay ang sumusunod:

Sa bawat kaso sa itaas, kung ang hangganan sa kanan ay hindi umiiral o sa huling kaso, ang hangganan sa parehong numerador at denominador ay sero, gayunpaman ang hangganan sa kaliwa na tinatawag na anyong hindi matukoy(indeterminate form) ay maaari pa ring umiral. Ito ay depende sa mga punsiyong f at g. Ang mga patakarang ito ay balido sa isang gilid na mga hangganan sa kaso ng p = ±∞, gayundin sa inpinadong hangganan(infinite limit) gamit ang sumusunod na mga patakaran:

  • q + ∞ = ∞ for q ≠ −∞
  • q × ∞ = ∞ if q > 0
  • q × ∞ = −∞ if q < 0
  • q / ∞ = 0 if q ≠ ± ∞

Walang pangakalahatang patakaran sa kaso ng q / 0; ito ay depende sa kung paano ang 0 ay nilalapitan. Ang mga hindi matukoy na anyo gaya ng 0/0, 0×∞, ∞−∞, and ∞/∞—are ay hindi sakop ng mga patakarang ito, ngunit ang mga katumbas na hangganan ay matutukoy gamit ang Patakarang L'Hôpital o ang Teorema ng piga.

Diskontinuidad[baguhin | baguhin ang batayan]

Maaalis na diskontinuidad

Ang diskontinuidad(discontinuity) ay punto kung saan ang isang punsiyon ay hindi tuloy tuloy(continuity). Maraming mga instansiya na ito ay maaaring mangyari. Halimbawa, ang punsiyong ay hindi tuloy tuloy sa dahil kung ilalapat ang hangganan sa puntong ito, ang praksiyon ay magreresulta sa na sa matematika ay hindi matutukoy(undefined). Gayunpaman, ang isang diskontinuidad ay maaalis dahil kung babaguhin ang punsiyon sa puntong ito, maaari nating alisin ang diskontinuidad at gawin ang punsiyon na tuloy tuloy. Upang gawing tuloy tuloy ito, kailangang pasimplehin ang upang magresulta ng . Maaari na tayong maglarawan ng bagong punsiyon na kung saan ang . Ang punsiyong ito ay hindi pareho sa orihinal na punsiyong dahil maaaring tukuyin ang sa . Ang ay tuloy tuloy sa dahil ang . Gayunpaman, sa tuwing ang , ; ang ating ginawa sa upang magresulta ng ay gawin itong matutukoy sa halagang .

Hindi maalis na diskontinuidad

Hindi lahat ng diskontinuidad ay maaaring alisin sa isang punsiyon. Halimbawa ang punsiyon na:

Dahil ang ay hindi umiiral, walang paraan na maaaring muling tukuyin ang sa isang punto upang ito'y maging tuloy tuloy sa 0. Ang parehong isang gilid na mga hangganan ay umiiral: at ngunit ang dalawang ito ay hindi magkatumbas kaya ang talangguhit ay tumatalon mula sa isang gilid ng 0 hanggang sa kabila. Sa kasong ito, ang punsiyon ay may "tumatalong diskontinuidad"(jump discontinuity). Ang tumatalong diskontinuidad ay isang uri ng diskontinuidad na hindi maaalis.

Paghahanap ng hangganan[baguhin | baguhin ang batayan]

Kung ang isang punsiyon ay naglalarawan ng rasyonal, trigonometriko, logaritmiko at eksponensiyal na mga punsiyon at ang bilang na ay nasa sakop ng punsiyon, kung gayon ang hangganan sa ay hanganan sa halaga ng punsiyon sa . Kung ang ay wala sa sakop ng punsiyon, kung gayon sa maraming instansiya(gaya ng sa rasyonal na punsiyon), ang sakop ng punsiyon ay kinabibilangan ng lahat ng punto na malapit sa ngunit hindi mismong sa . Ang isang halimbawa ay kung nais nating hanapin ang , kung saan ang sakop ay kinabibilangan ng lahat ng mga bilang maliban sa sero. Sa instansiyang ito, upang mahanap ang kailangan nating maghanap ng punsiyon na na katulad ng maliban sa butas(hole) sa . Ang mga hangganan ng at ay pareho gaya ng makikita sa depinisyon ng hangganan. Sa depinisyon ito, ang hangganan ay depende sa lamang sa mga punto kung ang ay malapit sa ngunit hindi katumbas nito, kaya ang hangganan sa ay hindi dumidepende sa halaga ng punsiyon sa . Samakatuwid, kung ang , . At dahil sa ang sakop ng ating bagong punsiyon ay kinabibilangan ng , maaari na natin ilapat ang hangganan sa (kung ipagpalagay nating ang punsiyon ay naglalarawan pa rin sa rasyonal, trigonometriko, logaritmiko, at eksponensiyal na mga punsiyon). Ang resulta ay . Sa ating halimbawa, ang pagkakansela ng sa numerador at denominador ay nagreresulta sa na katumbas ng sa lahat ng mga punto maliban sa sero. Ang hangganan ay . Sa pangkalahatan, kung kukwentahin ang mga hangganan ng mga rasyonal na punsiyon, ang isang mabuting ideya ay maghanap ng mga karaniwang mga paktor sa numerador at denominador.

Merong intansiya na ang hanggangan ay hindi umiiral:

  • May pagitan: Kung may pagitan(hindi lamang sa isang punto) kung saan ang punsiyon ay hindi matutukoy. Halimbawa, sa punsiyong , ang ay hindi umiiral kung ang . Walang paraan na malalapitan ang gitna ng grapo. Upang ang hangganan ay umiral, ang punto ay dapat malalapitan mula sa kaliwa at kanang gilid.
  • Tumatalon: Kung ang grapo(talangguhit) ay biglang tumatalon sa ibang antas, ang hangganan ay hindi umiiral sa puntong ito ng pagtalon. Halimbawa, kung itatakda ang na maging pinakamalaking intedyer na . Kung gayon, kung ang ay isang intedyer kung ang ay papalapit sa mula sa kanan, habang ang ang ay papalapit mula . Sa gayon, ang ay hindi iiral.
  • Bertikal na asymptote: Kung ang grapo ay nagiging sobrang taas habang papalapit sa sero gaya ng sa punsiyong
Habang ang ƒ ay papalapit sa puntong P, ang ƒ ay nagpapaurong sulong(oscillates) mula ƒ(a) patungo sa ƒ(b) ng walang hanggang bilang at hindi nagtatagpo(converges).
  • Walang hangganang osilasyon(pag urong sulong). Kung ang grapo ay patuloy na tumataas sa taas at babagsak sa ilalim ng linyang horisontal. Sa ibang salita, ang grapo ay nag-aasal ng ganito ng walang hanggan kung ito ay papalapit sa isang halaga ng . Gayunpaman, kung ang taas ng bawat osilasyon ay papaliit habang ang grapo ay papalapit sa isang partikular na halaga ng , maaaring ito ay may hangganan. Ang halimbawa nito ay ang punsiyong trigonometriko na . Habang ang ay papalapit sa 0, ang punsiyon ay patuloy na nagpapaurong sulong sa pagitan ng at 1. Ang katunayan, ang ay nagpapaurong sulong sa walang hanggang bilang sa interbal ng 0 at anumang positibong halaga ng . Ang punsiyong sine ay katumbas ng sero sa tuwing ang kung saan ang ay isang positibong intedyer. Sa pagitan ng bawat dalawang intedyer na , ang ay nagpapaurong sulong sa pagitan ng 0 at o 0 at 1. Samakatuwid, ang sa bawat . Sa bawat magkasunod na mga pares ng halagang at , ang ay nagpapaurong sulong mula sa 0 patungo sa o mula 1 pabalik sa 0. Maaaring mapansin na mayroong walang hanggang bilang ng mga pares na ito at ito'y nasa pagitan ng 0 at . Merong may hangganang bilang ng mga gayong pares sa pagitan ng positibong halaga ng at kaya may walang hangganang bilang sa pagitan ng anumang positibong halaga ng at 0. Sa ating pangangatwiran, maaari nating mahinuha na habang ang ay papalapit sa 0 mula sa kanan, ang punsiyong ay hindi papalapit sa anumang spesipikong halaga. Samakatuwid, ang ay hindi umiiral.

Mga basikong(basic) patakaran ng hangganan at pagpapatunay nito[baguhin | baguhin ang batayan]

Konstanteng patakaran para sa mga hangganan

Kung ang b at c ay mga konstante, ang hangganan ay: .

Upang mapatunayan na ang , kailangan nating hanapin ang isang na sa bawat , sa tuwing . at , kaya ay idependiyenteng masasapatan sa bawat halaga ng ; samakatuwid, maaari tayong pumili ng anumang na ating naisin at ang na kundisyon ay totoo.

Identidad na patakaran para sa mga hangganan

Kung ang c ay isang konstante, ang hangganan ay: .

Upang patunayan ang , kailangan nating humanap ng na sa bawat , sa tuwing ang . Kung pipiliin , ito ay sasapat sa kondisyon.

Skalar na patakarang produkto para sa mga hangganan

Ipagpalagay na ang sa may hangganan na at ang ay konstante. Kung gayon, ang

Dahil sa binigyan tayo ng , mayroon isang punsiyon na tawagin nating , na sa bawat , sa tuwing ang . Ngayon, kailangan nating humanap ng na sa lahat ng , sa tuwing ang .
Una, ipagpalagay natin na ang . , kaya ang . Sa kasong ito, kung itatakda ang , ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganans.
Ngayon kung ipagpalagay nating ang . Dahil sa ang ay may hangganan sa , alam natin sa depinisyon ng hangganan na ang ay inilalarawan sa bukas na interbal na D na naglalaman ng (maliban siguro kung sa mismo). Sa partikular, alam nating ang ay hindi lumalaki sa inpinidad sa loob ng D (maliban na lang siguro sa , ngunit hindi ito makakaapekto sa hangganan), kaya ang sa D. Dahil sa ang ay isang konstanteng punsiyon na sa D, ang hangganan na sa pamamagitan ng konstanteng patakaran para sa mga hangganan.
Ngayon, ipagpalagay na ang . , kaya ang . Sa kasong ito, kung itatakda ang , ito ay sasapat sa kondisyon ng hangganan.

patakaran suma(sum) para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang and . Kung gayon, ang

Dahil sa binigyan tayo ng at , mayroon dapat mga punsiyon na tawagin nating at , na sa lahat ng , sa tuwing ang , at . sa tuwing ang .
Kung idagdag ang dalawang inekwalidad ay magreresulta ng . Sa pamamagitan ng inekwalidad ng tatsulok, mayroon tayong , kaya mayroon tayong sa tuwing ang at . Itakda natin ang na maging mas maliit sa at . Sa gayon, ang ito ay sasapat sa depinisyon ng hangganan para sa na mayroon hangganan na .

Diperensiyang patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang at . Kung gayon,

Ilarawan ang . Sa pamamagitan ng patakaran produkto para sa mga hangganan, . Sa pamamagitan ng patakaran suma para sa mga hangganan, .

patakaran produkto para sa mga hangganan

Ipagpalagay nating ang at . Kung gayon, ang

Itakda natin ang na maging kahit anong positibong bilang. Ang pagpapalagay na ito ay nagpapahiwatig ng pag-iral mga positibong bilang na na ang

kapag ang
kapag ang
when

Ayon sa ikatlong kondisyon, makikita natin na ang:

when

Ipagpalagay nating ang at gamit ang (1) at (2) makakamit natin ang

Kosiyenteng patakaran para sa mga hangganan
Ipagpalagay nating ang and and . Kung gayon, ang

Kung maipapakita nating ang , kung gayon ay maaari tayong maglarawan ng isang punsiyon na bilang at gamitin ang patakaran produkto para sa mga hangganan upang patunayan ang teorema. Kaya kailangan lang nating patunayan na ang .
Itakda natin ang na maging anumang positibong bilang. Ang pagpapalagay ay nagpapahiwatig ng pag-iral ng mga positibong mga bilang na na sa

kapag ang
kapag ang

Ayon sa ikalawang kondisyon, makikita nating ang

kapag ang

na nagpapahiwatig na:

kapag ang

Ipagpalagay nating na ang at gamit ang (1) at (3), makakamit natin ang:

Teorema: Teorema ng piga(squeeze)
Ipagpalagay nating ang ay totoo sa lahat ng sa isang bukas na interbal na naglalaman ng , maliban sa mismo. Ipagpalagay din nating ang . Kung gayon, ang .

Mula sa mga asumpsiyon, alam nating may umiiral na na kung at kapag ang .
Ang mga inekwalidad na ito ay katumbas ng at kapag ang .
Kung gagamitin ang alam natin na relatibong pag-aayos ng , at , mayroon tayong
kapag ang .
o
kapag ang .
Kaya ang
kapag ang .

Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad[baguhin | baguhin ang batayan]

Ang hangganan ng punsiyong ito sa inpinidad ay umiiral.
Hangganan ng punsiyon habang papalapit sa inpinidad(infinity)

Ang ang hangganan ng kung ang ay papalapit sa kung sa bawat bilang na may umiiral na bilang na na sa tuwing ang meron tayong:

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

o

as

Ang ang hangganan ng kung ang ay papalapit sa kung sa bawat bilang na , may umiiral na bilang na sa tuwing ang

meron tayong:

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

o

as

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Ang hangganan na inpinidad ng isang punsiyon

Itakda ang bilang isang punsiyon na inilalarawan sa isang bukas na interbal na na naglalaman ng , maliban sa . Ating masasabi na ang:

kung sa bawat , may umiiral na kung saan ang lahat ng ay

meron tayong:

.

Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

o

as .

Ang hangganan ay:

kung sa bawat , may umiiral na kung saan ang lahat ng ay

Meron tayong:

.


Kung ito ay totoo, ito ay isinusulat ng:

o

as .

Iba pang hangganan[baguhin | baguhin ang batayan]

Hangganan ng Logaritmiko at eksponensiyal na punsiyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Hangganan ng mga trigonometrikong punsiyon[baguhin | baguhin ang batayan]

Pangunahing lathalain: Trigonometriya

Espesyal na hangganan[baguhin | baguhin ang batayan]

Tignan din[baguhin | baguhin ang batayan]