Produktong krus

Sa matematika, ang produktong krus (Ingles: cross product, vector product, o Gibbs vector product) ay isang binaryong operasyon sa dalawang bektor sa tatlong dimensiyonal na espasyong Euclidiano. Ito ay nagreresulta sa isang bektor na perpendikular sa parehong mga bektor at sa surpasiyong normal sa planong naglalaman sa mga ito.

Pagkwenta ng produktong krus

Notasyong koordinado

Ang mga pamantayang basis na mga bektor na i, j, at k ay sumasapat sa mga sumusunod na ekwalidad:

$\mathbf {i} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \quad \ \mathbf {j} \times \mathbf {k} =\mathbf {i} \quad \ \mathbf {k} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} .$

Kasama ang skew-simetriya at bilinyaridad ng produkto, ang tatlong identitad na ito ay sapat upang matukoy ang produktong krus ng anumang dalawang bektor. Sa partikular, ang mga sumusunod na mga identitad ay maaaring itakda:

$\mathbf {j} \times \mathbf {i} =-\mathbf {k} \quad \ \mathbf {k} \times \mathbf {j} =-\mathbf {i} \quad \ \mathbf {i} \times \mathbf {k} =-\mathbf {j} ,$

$\mathbf {i} \times \mathbf {i} =\mathbf {j} \times \mathbf {j} =\mathbf {k} \times \mathbf {k} =\mathbf {0} .$ (ang bektor na sero)

Ang mga ito ay maaaring gamiting upang kwentahin ang produkto ng dalawang pangkalahatang mga bektor na a = a₁i + a₂j + a₃k and b = b₁i + b₂j + b₃k sa pamamagitan ng pagpapalawig ng produkto gamit ang distributibidad at pagkatapos ay pagtitipon ng mga magkatulad na mga termino:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \times \mathbf {b} =&(a_{1}\mathbf {i} +a_{2}\mathbf {j} +a_{3}\mathbf {k} )\times (b_{1}\mathbf {i} +b_{2}\mathbf {j} +b_{3}\mathbf {k} )\\=&a_{1}b_{1}\mathbf {i} \times \mathbf {i} +a_{1}b_{2}\mathbf {i} \times \mathbf {j} +a_{1}b_{3}\mathbf {i} \times \mathbf {k} +\\&a_{2}b_{1}\mathbf {j} \times \mathbf {i} +a_{2}b_{2}\mathbf {j} \times \mathbf {j} +a_{2}b_{3}\mathbf {j} \times \mathbf {k} +\\&a_{3}b_{1}\mathbf {k} \times \mathbf {i} +a_{3}b_{2}\mathbf {k} \times \mathbf {j} +a_{3}b_{3}\mathbf {k} \times \mathbf {k} \\=&a_{1}b_{1}\mathbf {0} +a_{1}b_{2}\mathbf {k} +a_{1}b_{3}(-\mathbf {j} )+a_{2}b_{1}(-\mathbf {k} )+a_{2}b_{2}\mathbf {0} +a_{2}b_{3}\mathbf {i} +a_{3}b_{1}\mathbf {j} +a_{3}b_{2}(-\mathbf {i} )+a_{3}b_{3}\mathbf {0} \\=&(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {i} +(a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3})\mathbf {j} +(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {k} .\\\end{aligned}}$

o kung isusulat sa mga kolum na bektor:

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}.$

Notasyong matriks

Ang depinisyon ng produktong krus ay maaaring ikatawan ng determinante na isang porman na matriks:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\\end{vmatrix}}.$

Ang determinanteng ito ay maaaring kwentahing gamit ang patakaran ni Sarrus o pagpapalawig ng kopaktor

Kung gagamitin ang patakaran ni Sarrus, ito lumalawig na:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} a_{2}b_{3}+\mathbf {j} a_{3}b_{1}+\mathbf {k} a_{1}b_{2}-\mathbf {i} a_{3}b_{2}-\mathbf {j} a_{1}b_{3}-\mathbf {k} a_{2}b_{1}.$

Kung gagamitin ang pagpapalawig ng kopaktor sa kahabaan ng unang row, ito ay lumalawig na

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}\mathbf {k}$

na nagbibigay ng direkta sa mga komponente ng nagreresultang bektor.

Ang isang eleganteng alternatibong deribasyon ay nakabatay sa isometrikong guhit ng (x,y,z) akis sa (x,y,z) komponente ng bawat bektor na (A,B) na iginuhit paralelo sa mga kaakibat na aksis. Ang resultang pormula sa mga konstituwente ng produktong krus na (C = A x B) ay lalabas sa pamamagitan ng inspeksiyon, kung maingat na kukunin ang lahat ng ortogonal na produktong krus sa ayos na A:B (gaya ng Az x Bx). Halimbawa, ang paraang ito ay nagbibigay ng magnitudo na (Cz = AxBy - AyBx) para sa komponente ng bektor sa kahabaan ng z-aksis at unit bektor(k).