Purong matematika

Sa malawak na pagsasalita, ang purong matematika o matematikang dalisay ay isang matematika na nag-aaral ng buong mga konseptong abstrakto. Mula ika-18 siglo, ito ay nakilala kategorya ng gawaing matematikal na minsang inilarawan bilang matematikang espekulatibo, at iba sa nabigasyon, astronomiya, pisika, inhinyerya at iba. Isa pang itinanghal na pananaw na may kabatiran ay ang purong matematika ay hindi kinakailangang nilalapat na matematika.

Paglalahat at abstraksiyon

Ang isang sentral na konsepto sa purong matematika ang ideya ng paglalahat. Ang purong matematika ay kadalasang nagpapakita ng isang kagawian tungo sa papataas na paglalahat.

• Ang paglalahat ng mga teorema o mga istrakturang matematikal ay maaaring tumungo sa mas malalim na pagkaunaw ng mga orihinal na teorema o istraktura.
• Ang paglalahat ay maaaring magpasimple ng presentasyon ng materyal na nagreresulta sa mas maikling mga patunay o mga argumento na mas madaling sundan.
• Ang isa ay maaaring gumamit ng paglalahat upang maiwasan ang duplikasyon ng pagsisikap na nagbibigay ng isang pangkalahatang resulta imbis na ng kailangang patunay ang mga hiwalay na kaso ng idependiyente o paggamit ng mga resulta mula sa ibang mga sakop ng matematika.
• Ang paglalahat ay makakatulong sa mga ugnayan sa pagitan ng iba't ibang mga sangay ng matematika. Ang teoriya ng kategorya ay isang sakop ng matematika na nakatuon sa paggalugad ng pagiging karaniwang ito ng istraktura habang ito ay ginagamit sa ibang mga sakop ng matematika.

Ang epekto ng paglalahat sa intuisyon ay parehong nakasalalay sa paksa at bilang isang bagay ng pangsariling preperensiya o istilo ng pagkatuto. Kadalasan, ang paglalahat ay nakikita bilang hadlang sa intuition bagaman ito ay tiyak na makakagampan bilang tulong ito lalo na kapag ito ay nagbibigay ng mga analohiya sa materyal na ang isa ay mayroon ng mabuting intuisyon. Bilang pangunahing halimbawa ng paglalaht, ang programang Erlangen ay sumasangkot sa pagpapalawig ng heometriya at iba pang mga anyo ng heometriya sa pamamagitan ng pagtingin sa heometriya bilang pag-aaral ng espasyo kasama ng isang grupo ng mga transpormasyon. Ang pag-aaral ng mga bilang na tinatawag na alhebra sa simula ng lebel ng kolehiyo ay lumalawig sa alhebrang abstrakto sa mas mataas na lebel at ang pag-aaral ng mga punsiyon na tinatawag na kalkulo sa lebel ng unang taon sa kolehiyo ay nagiging analisis na matematikal at analisis na punsiyonal sa isang mas mataas na lebel. Ang bawat mga sangay naito ng mas abstraktong matematika ay maraming mga pang-ilalim na espesyalidad at ang katotohanan ay maraming mga ugnayan sa pagitan ng purong matematika at mga disiplina ng nilalapat na matematika. Ang isang matarik na paglitaw sa abstraktiyon ay nakita sa gitna nang ika-20 siglo. Gayunpaman, sa kasanayan, ang mga pag-unlad na ito ay tumungo sa isang matalas na paglihis mula sa pisika partikular na mula 1950 hanggang 1980. Kalaunan, ito ay binatikos, halimbawa ni Vladimir Arnold bilang sobrang Hilbert ngunit hindi sapat na Hilbert, ngunit hindi sapat na Poincaré. Ang punto ay tila hindi pa nalulutas hindi tulad ng mga kontrobersiya ng pang pundasyong teoriya ng tali ay humihila sa isang paraan samantalang ang diskretong matematika ay umuurong tungo sa patunay bilang sentral.

Purismo

Ang mga matematiko ay palaging may iba ibang mga opinyon tungkol sa distinksiyon sa pagitan ng puro at nilalapat na matematika. Ang isa sa pinakasikat(ngunit marahil hindi nauunawaan) na mga halimbawa ng debateng ito ay matatagpuan sa A Mathematician's Apology ni G.H. Hardy. Malawak na pinaniniwalaang isinaalang alang ni Hardy ang nilalapat na matematika na pangit at mapurol. Bagaman totoong pinili ni Hardy ang purong matematika na kadalang niyang ikinukumpara sa pagpipinta at pagtutula, nakita ni Hardy ang distinksiyon sa pagitan ng puro at nilalapat na matematika na simpleng ang nilalapat na matematika ay naghangad na maghayag ng katotohanang pisika sa isang balangkas matematikal samantalang ang purong matematika ay naghahanayag ng mga katotohanang hindi nakasalalay sa mundong pisikal. Si Hardy ay gumawa ng isang hiwalay na distinksiyon sa matematika sa pagitan ng kanyang tinatawag na 'tunay' na matematika na 'may permanenteng halagang kagandahan' at ang 'mapurol at mga bahaging elementaryo ng matematika' na may paggamit praktikal. Itinuring ni Hardy ang ilang mga pisiko gaya ng Albert Einstein at Paul Dirac na kasama sa mga tunay na matematiko ngunit sa parehong panahon na kanyang isinusulat ang Apology, kanya ring itinuring ang pangkalahatang relatibidad at mekanikang quantum na 'hindi magagamit' na pumayag sa kanyang humawak ng opinyon na ang 'mapurol' na matematika ay magagamit. Sa karagdagan, maikling inamin ni Hardy na kung paanon ang teoriya ng matriks at teoriya ng grupo sa pisika ay dumating nang hindi inaasahan, ang panahon ay maaaring dumating na ang ilang mga uri ng kagandahan, tunay na matematika ay magagamit rin.

Ang isa pang pananaw na may kabatiran ang inalok ni Magid; Another insightful view is offered by Magid:

Palagi kong inaakala na ang isang mabuting modelo dito ay maaaring hanguin mula sa teoriya ng singsing. Sa paksang ito, ang isa ay mga pang-ilalim na sakop ng singsing na komutatibo at teoriya ng hindi komutatibong singsing. Ang isang hindi maalam na tagapagmasid ay maaaring mag-akala na ang mga ito ay kumakatawan sa isang dikotomiya ngunit sa katotohanan, ang hati ay nagsasama ng huli: ang isang singsing na hindi komutatibo ay hindi kinakaialngang singsing na komutatibo. Kung gagamit tayo ng parehong mga konbensiyon, kung gayon ating masasangguni sa nilalapat na matematika at hindi nilalapat na matematika kung saan sa huli ating ibig sabihin na hindi kinakailangang nilalapat na matematika. I've always thought that a good model here could be drawn from ring theory. In that subject, one has the subareas of commutative ring theory and noncommutative ring theory. An uninformed observer might think that these represent a dichotomy, but in fact the latter subsumes the former: a noncommutative ring is a not necessarily commutative ring. If we use similar conventions, then we could refer to applied mathematics and nonapplied mathematics, where by the latter we mean not necessarily applied mathematics… [emphasis added]

Mga pang-ilalim na larangan

Ang matematikal na analisis ay umuukol sa mga katangian ng punsiyon. Ito ay umuukol sa mga konseptong gaya ng tuloy tuloy na punsiyon, mga hangganan, diperensiasyon, at integrasyon at kaya ay nagbibigay ng isang mahigpit na pundasyon para sa kalkulo o mga inpinitesimal na ipinakilala nina Isaac Newton at Gottfried Wilhelm Leibniz noong ika-17 siglo. Ang real na analisis ay nag-aaral ng mga punsiyon ng mga real na bilang samantalang ang kompleks na analisis ay nagpapalawig ng mga nabanggit na konsepto sa punsiyon ng mga bilang na kompleks. Ang analis na punsiyonal ay isang sangay ng analisis na nag-aaral ng mga walang hangganang dimensiyonal na mga espasyong bektor at tumitingin sa mga punsiyon bilang mga punto sa mga espasyong ito. Ang alhebrang abstrakto ay hindi dapat ikalito sa manipulasyon ng mga pormula na sinasakop ng segundaryang edukasyon. Ito ay nag-aaral ng mga pangkat kasama ng mga operasyong binaryo na inilalarawan sa mga ito. Ang mga pangkat at mga operasyong binaryo ay maaaring uriin ayon sa mga katangian nito. Halimbawa, kung ang isang operasyon ay asosiyatibo sa isang pangkat na naglalaman ng elementong identidad at mga inberso para sa bawat kasapi ng pangkat, ang pangkat at operasyon ay itinuturing na isang grupo. Ang ibang mga istraktura ay kinabibilangan ng mga singsing, mga field at mga espasyong bektor. Ang heometriya ang pag-aaral ng mga hugis at espasyo na partikular ang mga grupo ng mga transpormasyon na umaasal sa mga espasyo. Halimbawa, ang heometriyang prohektibp ay tungkol sa grupo ng mga transpormasyong prohektibo na umaasal sa real na prohektibong plano samantalang ang heometriyang inberso ay umuukol sa grupo ng mga transpormasyong inbersibo na umaasal sa pinalawaig na planong kompleks. Ang heometriya ay pinalawig sa topolihiya na umuukol sa mga obhektong kilala bilang mga espasyong topolohikal at mga tuloy tuloy na mapa sa mga ito. Ang topolohiya ay umuukol sa paraang ang espasyo ay konektado at hindi pumapansin sa mga tiyak na pagsukat ng distansiya o anggulo. Ang teoriya ng bilang ang teoriya ng positibong mga intedyer. Ito ay batay sa mga ideyang gaya ng dibisibilidad at aritmetikang modular. Ang teoremang pundamit nito ay nagsasaad na ang bawat positibong intedyer ay may walang katulad na paktorisasyong primo. Sa ilang mga paraan, ito ang pinakamalalapitang disiplina ng purong matematika para sa pangkalahatang publiko. halimbawa ang konhekturang Goldbach ay madaling masasaad(ngunit hindi pa napapatunayan o napapamali). Sa ibang mga paraan, ito ang pinaka hindi malalapitang disiplina. Halimbawa ang patunay ni Andrew Wilesng huling teorema ni Fermat na walang mga solusyong hindi trivial ay nag-aatas ng pagkaunawa ng mga anyong automorpiko na bagaman likas sa kalikasan ay nakahanap ng isang lugar sa pisika o sa pangkalahatang diskursong publiko.