Pumunta sa nilalaman

Matematika

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya
(Idinirekta mula sa Matematikang nalalapat)
Isa ang matematika sa mga larangang itinuturo sa lahat ng antas ng edukasyon.

Matemátiká[1][a] ang larangan ng kaalaman na pangunahing nakatuon sa mga bilang, komputasyon, pormula, estraktura, hugis, espasyo, kantidad, at ang mga pagbabago nito. Dahil sa lawak ng saklaw ng larangan, wala itong napagkakasunduang isang tiyak na kahulugan, bagamat may mga matematiko at akademikong nagsubok na bigyang-kahulugan ito sa kasaysayan. Ang modernong matematika ay nahahati sa mga pangunahing sangay na kinabibilangan ng teorya ng bilang, alhebra, heometriya, at pagsusuri. Itinuturing ito bilang isang napakahalagang larangan kung saan nakaangkla ang ibang mga larangan, tulad halimbawa ng likas na agham, inhinyera, medisina, pananalapi, agham pangkompyuter, at agham panlipunan. Bagamat ginagamit ang larangan sa pagmomodelo sa mga penomena, hiwalay sa mga maagham na teorya at eksperimento ang mga pangunahing katotohanan ng matematika. May ilang sangay na nadebelop upang magamit sa ibang mga larangan, tulad ng estadistika at teorya ng laro, at madalas na ginugrupo sa ilalim ng matematikang nalalapat. Samantala, may mga sangay naman na hiwalay na nadebelop nang walang gamit sa simula, at ginugrupo sa ilalim ng purong matematika, bagamat kalauna'y nakahanap rin ang mga ito ng paggamit dahil sa samu't saring dahilan, tulad ng pag-usad ng teknolohiya.

Sentro sa mga gawain sa matematika ang paghahanap sa mga katangian ng mga basal na bagay (Ingles: abstract objects) gamit ang pagdadahilan upang patunayan ang mga ito. Madalas ito ay isang likas na kabasalan, o di kaya'y mga entidad na itinuturing na may mga partikular na katangian o mga aksoma. Patunay ang tawag sa mga resultang ginamitan ng sunod-sunod na paglalapat ng mga tuntunin sa imperensiya upang masabing totoo nga ito. Kasama sa mga resultang ito ay ang mga napatunayan na'ng teorema, aksoma, at ilang mga panimulang katangian na kinilala bilang mga tunay na simulain sa paggawa ng teorya.

Mga Griyego ang nagpasimula sa paggamit ng mga patunay sa matematika. Pinakasikat sa mga patunay ng matematikang Griyego ang Mga Elemento ni Euclides. Simula pa noon, hinahati na ang matematika sa dalawang sangay: heometriya at aritmetika. Nagbago ito simula noong ika-16 na siglo, nang sinama ang alhebra at kalkulo. Mula sa puntong yon, naging madalas na ang paggamit ng matematika upang makagawa ng mga pagtuklas sa agham. Naging sentro ng debate noong ika-19 na siglo ang mga haligi ng matematika, na nagbigay-daan upang mabuo ang sistemang aksomatiko. Sa modernong panahon, kasalukuyang kinilala ng Mathematics Subject Classification ang 60 larangan bilang mga pangunahing sangay ng matematika.[3]

Etimolohiya

Nagmula ang salitang "matematika" sa wikang Kastila na matemática,[1] na nagmula naman mula sa wikang Griyego na mathēmatiká (Griyego: μαθηματικά). Nagmula naman ito mula sa sinaunang Griyegong máthēma (Griyego: μάθημα, lit. na 'mga bagay na nalalaman'), na nanganguhulugang "agham" o "pag-aaral", bagamat nagkaroon ito ng mas makitid na kahulugan pagsapit ng panahong klasikal sa Gresya.[4][b] Ang pang-uri nito ay mathēmatikós (Griyego: μαθηματικός), na nangangahulugang "mahilig mag-aral"; dito nanggaling ang salitang "matematikal".[6] Mathēmatikoi (Griyego: μαθηματικοί) ang tawag noon sa mga estudyante, bagamat dito nanggaling ang salitang "matematiko". Ang mga tagasunod ng Pitagorasismo ang nagpakitid sa kahulugan nito upang tukuyin lamang ang aritmetika at heometriya. Pagsapit ng kapanahunan ni Aristoteles, ganito na ang kahulugan ng matematika.[7]

Astrolohiya (o sa ibang kaso, astronomiya) ang karaniwang ibig sabihin ng matematika hanggang noong bago ang ika-16 na siglo. Nagbago ang kahulugan nito patungo sa modernong kahulugan nito pagsapit ng ika-19 na siglo. Nagresulta ang pagbabagong ito sa mga maling pagsasalin sa naturang salita; halimbawa, maling naisalin ang babala ni San Agustin sa mga Kristiyano sa kanyang kasulutan kontra sa mga mathematici. Astrologo ang ibig sabihin nito nung panahong niya, hindi matematiko, bagamat ginagamit pa rin ang pagkakamaling ito ng mga panatiko upang ikondena ang mga matematiko.[8]

Sa wikang Kastila nagmula ang modernong salitang Tagalog na "matematika". Ang matemática ay isang pangngalang isahan (Ingles: singular noun); ang maramihan nito ay matemáticas, na siyang opisyal na salin nito sa wikang Kastila.[9] Ganito rin ang kaso sa ibang mga wikang Romanse, lalo na sa wikang Ingles na mathematics. May mga teorya na dahil ito sa pagsalin sa sinaunang Griyego na ta mathēmatiká (Griyego: τὰ μαθηματικά), na nangangahulugang "lahat ng mga may kinalaman sa matematika", bagamat posible rin na nagmula lang din ito sa pang-uri nito at ginaya ng mga mananalitang Ingles ang lohika ng mga salitang physics (pisika) at metaphysics (metapisika), na parehong nasa anyong maramihan kahit na isahan lang ito. Pinapaikli rin ang salita bilang math, na popular na ginagamit din sa Pilipinas, o maths sa Britanikong Ingles.[10][11]

Samantala, isang neolohismo ang salitang "sipnayan". Nagmula ito sa diksiyonaryong Maugnaying Talasalitaan (1969) bilang bahagi ng mga mungkahi ng paggawa ng mga salitang Pilipino na kombinasyon ng mga wikang rehiyon ng Pilipinas. Sa salitang ito, nabuo ito mula sa pinagsamang salitang Bisaya na isip ("matematika") at hanayan. Tulad ng marami sa mga mungkahi ng diksiyonaryo, hindi ito madalas gamitin sa karaniwang diskurso.[12][2]

Kasaysayan

Sinaunang panahon

Taas pababa, kaliwa pakanan: Euclides, Arkimedes, Pitagoras. at Hiparco.

Tinatayang nagbibilang na ang mga sinaunang tao simula pa noong 44000 BKP.[13] Kaya nilang magbilang ng parehong mga pisikal at abstraktong bagay tulad ng araw, buwan, taon, at panahon.[14] Ganito nagsimula ang matematika hanggang noong 3000 BKP, nang nagsimulang gamitin ng mga taga-Babylonia at Ehipto ang mga panimulang elemento ng aritmetika, heometriya, at maging alhebra sa kanilang mga gawain, tulad ng pagbubuwis, pera, konstruksiyon, at astronomiya.[15] Tinatayang ginawa noong 2000 BKP hanggang 1800 BKP ang mga pinakalumang tekstong pangmatematika sa Mesopotamia at Ehipto. Marami sa mga ito ang nagpapahiwatig na alam na nila (o may ideya sila kahit papaano) ang konsepto ng teorema ni Pitagoras, . Sa matematika ng Babylonia unang lumitaw sa kasaysayan ang apat na pangunahing operasyon ng mababang aritmetika: pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati. Gumamit din sila ng notasyong posisyonal na nakaayon sa seksahesimal na sistema ng bilang, na ginagamit pa rin sa modernong panahon para sa pagbibilang ng oras at anggulo.[16]

Nagsimulang maging ganap na larangan ang matematika ng mga sinaunang Griyego pagsapit ng ika-6 na siglo BKP, at hinihiwalay na ito mula sa agham ng ilang mga Griyego tulad ng mga tagasunod ni Pitagoras.[17] Bandang 300 BKP, sinimulang kolektahin ni Euclides ang kaalaman ng mga Griyego sa matematika sa pamamagitan ng paggawa ng mga palagay at mga unang prinsipyo, na kalauna'y nagresulta upang mabuo ang kaparaanang aksomatiko na ginagamit sa matematika magpahanggang ngayon.[18] Kinokonsidera ang kanyang aklat na Mga Elemento bilang isa sa mga pinakamatatagumpay na nalathalang aklat sa kasaysayan.[19] Si Arkimedes ang itinuturing na pinakamahusay na matematiko ng sinaunang panahon dahil sa kanyang mga nagawa sa larangan,[20] kabilang na ang mga solido ng paglibot (Ingles: solid of revolution) at ang paraang sapilitan (Ingles: method of exhaustion) upang makompyut ang sukat ng isang parabola gamit ang sumasyon ng isang seryeng walang-hanggan, paraang di nalalayo sa modernong konsepto ng kalkulo.[21] Bukod dito, ilan sa mga natatanging ambag ng mga sinaunang Griyego ay ang pag-aaral sa mga apa (Ingles: conic), trigonometriya, at mga simulain ng alhebra.[22][23][24]

Ang pinakaginagamit na sistema ng bilang ngayon, sistemang Hindu-Arabo, ay nagsimula sa India noong unang milenyo KP at naipasa sa Kanluraning Mundo sa pamamagitan ng matematikang Islam.[25] Bukod dito, sa India rin nagsimula ang modernong kahulugan at pagtataya sa sine at cosine, gayundin sa isang sinaunang anyo ng seryeng walang-hanggan.[26][27]

Mula Gitnang Kapanahunan

Noong Ginintuang Panahon ng Islam, lalo na noong ika-9 at ika-10 siglo, nagkaroon ng mga mahahalagang pag-abante sa pag-aaral sa matematikang Griyego sa Gitnang Silangan. Pinakamahalaga sa mga ito ay ang pagdebelop sa alhebra, gayundin sa trigonometriyang pang-ispero (Ingles: spherical trigonometry) at tuldok pandesimal sa sistema ng bilang.[28] Nagmula sa Persia ang karamihan sa mga mahahalagang matematiko ng panahong ito, tulad nina Al-Khwarizmi, Omar Khayyam, at Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.[29] Sinalin ang mga gawa nila gayundin ang mga gawa ng mga Griyego at Arabo sa wikang Latin, na kalauna'y nakarating sa Europa noong Gitnang Kapanahunan.[30]

Bumilis ang pag-usad ng matematika sa kanlurang Europa pagsapit ng maagang modernong panahon. Sa panahong ito lumitaw ang mga baryable at notasyong simboliko na unang ginamit ni François Viète. Ginawa naman ni John Napier ang konsepto ng logaritmo, na nagpabilis sa mga kalkulasyon sa astronomiya at paglalayag. Si Rene Descartes ang nagpakilala sa konsepto ng koordinado, na nakatulong upang magamit ang alhebra sa heometriya. Samantala, magkahiwalay namang naimbento nang sabay ang kalkulo nina Isaac Newton at Gottfried Leibniz. Si Leonhard Euler naman ang kinokonsidera bilang ang pinakamahalagang matematiko ng ika-18 siglo dahil sa kanyang paggawa ng isang pamantayang terminolohiya para sa mga larangang ito gayundin sa mga pagkumpleto niya sa mga ito sa pamamagitan ng pagtuklas at pagpapatunay sa samu't-saring mga teorema.[31]

Si Carl Friedrich Gauss naman ang kinokonsiderang pinakamahalagang matematiko ng ika-19 na siglo dahil sa kanyang mga ambag sa alhebra, pagsusuri, heometriyang deribatibo, matris, teorya ng bilang, at estadistika.[32] Samantala, nilathala naman ni Kurt Gödel ang kanyang mga teorema ng di-pagkakumpleto (Ingles: incompleteness theorems) na nagpabago sa matematika dahil sa ideya na may mga totoong proposisyon na hindi kailanman mapapatunayan sa isang konsistent na sistemang aksomatiko na kayang ilarawan ang aritmetika.[33]

Mabilis ang pag-usad ng matematika sa ika-20 siglo at papasok sa ika-21 siglo, lalo na sa tulong ng mga makabagong teknolohiya tulad ng mga kompyuter at superkompyuter. Noong 2006 halimbawa, nasa database ng dyornal na Mathematical Reviews ang mahigit kumulang 1.9 milyong papeles at aklat simula noong unang isyu nito noong 1940, na nadadagdagan pa nang 75 libo kada taon, karamihan mga bagong teorema at ang kani-kanilang mga patunay.[34]

Pagsulat at terminolohiya

Pagsulat sa sumasyon.

Ginagamit ang notasyong pangmatematika sa agham at inhinyera para ipakita ang mga komplikadong konsepto at katangian sa paraang konsistent, tiyak, at tumpak. Gumagamit ang mga ito ng mga simbolo para sa mga operasyon, di-tiyak na bilang, relasyon, at ibang mga bagay sa matematika, kung saan pinagsasama sila sa isang ekspresyon o pormula. Baryable ang tawag sa mga simbolong ginagamit para sa mga bilang at ibang mga bagay, na kadalasan nakasulat sa sulat Latin o Griyego, at minsan ay nakaangat (Ingles: superscript). Ipinapakita ang mga operasyon at relasyon gamit ang mga partikular na simbolo o glipo, such halimbawa ng + (pagdagdag), (integral), at = (katumbas).

Nakabuo ang mga matematiko ng isang malawak na bokubularyo upang ilarawan nang tiyak at tumpak ang mga konsepto sa matematika. Nagdebelop rin sila ng mga pamantayang kahulugan upang magkaintindihan. Aksoma (Ingles: axiom) ang tawag sa mga pahayag na totoo at hindi na kailangan pang patunayan. Konhetura (Ingles: conjecture) naman ang tawag sa mga pahayag na kailangan pa munang patunayan. Kung sakaling mapatunayan ito, magiging teorema (Ingles: theorem) ito. Lema (Ingles: lemma) ang tawag sa mga teoremang ginawa upang patunayan ang isa pang teorema. Korolaryo (Ingles: corrolary) naman ang tawag sa isang napatunayang bahagi ng mas malawak na teorema.

Neolohismo ang marami sa mga salitang ginagamit sa matematika, tulad halimbawa ng polinomial at homeomorpismo (parehong mula sa wikang Kastila) o baskagan (Ingles: matrix). May ilan ding mga termino na iba nang bahagya ang kahulugan mula sa karaniwang paggamit.[35] Minsan, ginagamit ang mga karaniwang salita sa isang teknikal na konteksto, na nagiging dahilan tuloy ng kalituhan sa mga wala sa larangan; halimbawa nito ay "lahat ng parang ay singsing" (Ingles: all fields are ring), na isang totoong pahayag sa alhebra.

Sangay

Dalawa ang pangunahing sangay ng matematika sa maagang kasaysayan nito: aritmetika at heometriya. Bukod dito, kinonsidera din noon bilang mga sangay ng matematika ang numerolohiya at astrolohiya, na ngayo'y itinuturing na'ng mga seudosiyensiya.[36] Pagsapit ng Renasimiyento, nadagdagan ito ng dalawa: alhebra at kalkulo. Ganito ang pagsasangay sa larangan hanggang sa dulo ng ika-19 na siglo,[37] kung saan naging sangay din ang kombinatorika gayundin ang mekanika, na ngayo'y bahagi na ng pisika.[38][39]

Sa ika-19 na siglo din unang pinagdebatehan ang mga haligi ng matematika, na nagresulta sa isang pamantayang sistemang aksomatiko at ang paglitaw ng marami pang mga sangay.[40] Noong 2020, hindi bababa sa 60 pangunahing sangay ang kinilala ng Mathematics Subject Classification.[3]

Teorya ng bilang

Ang pilipit ni Ulam, na nagpapakita sa distribusyon ng mga pangunahing bilang. Maraming mga palagay ang nilatag ng mga matematiko ukol sa pagkakaroon ng mga pahalang na linya nito simula noong una itong ginawa noong 1963, bagamat hindi pa ito malinaw na naipapaliwanag magpahanggang ngayon.

Teorya ng bilang ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula ng mga bilanglikas , buo , at makatuwiran . Kilala rin ito sa tawag na "mataas na aritmetika" lalo na noon, bagamat mas ginagamit na ang terminong ito para tumukoy sa pagsusuri.[41] Unang lumitaw ang teorya ng bilang sa Babylonia at posibleng sa Tsina rin. Sina Euclides at Diofante ang ilan sa mga unang nag-aral sa larangan.[42] Ang modernong pag-aaral sa teorya ng bilang ay nagsimula kina Pierre de Fermat at Leonhard Euler, at naging pormal itong sangay dahil sa mga ambag nina Carl Friedrich Gauss at Adrien-Marie Legendre.[43]

Ilan sa mga sikat na mga halimbawa ng problema sa teorya ng bilang ay ang Huling Teorema ni Fermat, na nagsasabing walang tatlong positibong buumbilang na na magpapatotoo sa ekwasyong para sa . Una itong ipinahayag noong 1637, ngunit napatunayan lamang ito ni Andrew Wiles noong 1994 sa pamamagitan ng mga iskema mula sa heometriyang alhebraiko, gayundin sa teorya ng kategorya at alhebrang homolohikal.[44] Isa rin sa mga sikat na problema ay ang konhetura ni Goldbach, na nagsasabing lahat ng mga tukol na buumbilang na higit sa 2 ay ang suma ng dalawang pangunahing bilang. Una itong ipinahayag noong 1742, at di tulad ng naunang halimbawa, wala pa rin itong malinaw na solusyon.[45]

Heometriya

Bagamat parehong tatsulok, magkaiba ang mga anggulo ng dalawang halimbawa. Saklaw ito ng dalawang magkaibang larangan sa heometriya: Euclides at esperiko.

Isa sa mga pinakamatandang sangay ng matematika ang heometriya, na nakatuon sa mga hugis, linya, bilog, at anggulo. Nagmula ito sa pangangailangan sa agrimensura at inhinyera.[46]

Sa heometriya nagsimula ang konsepto ng pagpapatunay, nang ginamit ito ng mga sinaunang Griyegong matematiko upang tukuyin ang mga pahayag na siguradong totoo. Sa sistemang ito, hindi sapat ang pagsukat sa isang bagay; dapat patunayan kung magkapareho sila sa pamamagitan ng paggamit sa mga pahayag na napatunayan na noon. Maaari ring gamitin ang mga likas na pahayag (hal. "walang sulok ang bilog") at mga napagkasunduang mga aksoma. Ang prosesong ito ay pormal na isinakodigo sa Mga Elemento ni Euclides noong 300 BKP.[47]

Si Euclides din ang nagpasimula sa isang sangay ng heometriya na ipinangalan sa kanya, ang heometriyang Euclides. Nakatuon ito sa mga hugis na nabuo gamit ang mga linya at bilog na nasa kalapagang Euclides (Ingles: Euclidean plane) o, sa kaso ng tatlong dimensiyon, sa isang espasyong Euclides.[46]

Walang nagbago sa pag-aaral sa heometriya hanggang noong ipinakilala ni Ren Descartes ang sistema ng koordinado sa larangan. Imbes na ituring na mga sukat sa isang linyang pambilang ang mga tunay na bilang, ginawa na itong mga punto sa isang kalapagan sa anyong koordinado na . Dahil rito, nagawang magamit ng mga matematiko ang alhebra sa pag-aaral, gayundin ang kalkulo at iba pang mga larangan kalaunan, na nagresulta sa paghati sa heometriya sa dalawang pangunahing sangay: sintetiko o tradisyonal, at pasuri o koordinado.[48]

Sa heometriyang pasuri mapag-aaralan ang mga kurba, na maipapakita sa isang grap ng punsiyon, na kalauna'y magiging sentro ng pag-aaral ng heometriyang deribatibo. Mabibigyang-kahulugan din sila gamit ang mga ekwasyong pahiwatig (Ingles: implicit equation), madalas mga ekwasyong polinomial; ito ang pinag-aaralan sa heometriyang alhebraiko. Naging posible ring pag-aralan dahil sa heometriyang pasuri ang mga espasyong Euclides na higit sa tatlong dimensiyon.[46]

Nadiskubre ng mga matematiko ang mga heometriyang di-Euclides, na hindi sumusunod sa palagay ng pagkaayon (Ingles: parallel postulate). Nagresulta ito sa kabalintunaan ni Russell at sa mas malawak na krisis sa haligi ng matematika. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsasagawa ng isang sistematikong kaparaanang aksomatiko, at ipahayag na hindi isang problema sa matematika ang katotohanan ng mga piling aksoma.[49] Dahil dito, pinayagan ng kaparaanang aksomatiko na mapag-aralan ang mga heometriyang nagagawa sa pamamagitan ng pagbago sa mga aksoma o sa pagkonsidera sa mga katangian na hindi nagbabago sa ilalim ng mga partikular na transpormasyon sa espasyo.[50]

Alhebra

refer to caption
Ang pormulang kwadratiko, na ginagamit sa alhebra upang hanapin ang mga solusyon sa isang ekwasyong kwadratiko.

Sa pinakasimpleng kahulugan, alhebra ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagmamanipula sa mga ekwasyon at pormula. Pinasimulan ito nina Diofante at al-Khwarizmi.[51] Niresolba ni Diofante ang ilang mga ekwasyon na may mga likas na bilang na hindi tukoy sa pamamagitan ng paghahanap sa mga relasyon hanggang sa makita niya ang solusyon.[52] Samantala, gumawa naman si al-Khwarizmi ng mga sistematikong kaparaanan para baguhin ang mga ekwasyon, tulad halimbawa ng paglipat ng isang bahagi nito papunta sa kabila.[53] Ang salitang alhebra ay nagmula sa pamagat ng kanyang aklat, Al-Jabr, isinulat noong bandang 820 KP sa Baghdad.[54]

Naging isang ganap na sangay ng matematika ang alhebra noong ipinakilala ni François Viète ang paggamit sa mga baryable upang kumatawan sa mga di-tukoy na mga halaga. Dahil dito, nagawang mailarawan ng mga matematiko ang mga operasyong gagawin sa mga bilang gamit ng mga pormula.[55]

Hanggang noong ika-19 na siglo, limitado lang ang alhebra sa pag-aaral sa mga ekwasyong linyar (ngayo'y bahagi ng alhebrang linyar) at polinomial na may nag-iisang hindi alam na halaga (tinatawag noon na mga ekwasyong alhebraiko, bagamat hindi na ngayon ito ginagamit dahil sa pagiging malabo ng naturang salita). Pagsapit ng ika-19 na siglo, nagsimulang gumamit ang mga matematiko ng mga baryable upang kumatawan hindi lang sa mga bilang kundi sa ibang mga matematikal na bagay kagaya ng matris, kung saan madalas tama ang mga operasyon sa aritmetika.[56] Dahil dito, ipinakilala sa alhebra ang konsepto ng estrakturang alhebraiko, na nagresulta kalaunan sa alhebrang basal sa pangunguna ni Emmy Noether.[57]

Pinag-aaralan sa alhebrang pangkalahatan at teorya ng kategorya ang mga estrakturang alhebraiko bilang mga bagay sa matematika.[58] Hindi limitado ang teorya ng kategorya sa mga estraktura sa alhebra; magagamit ito sa lahat ng mga estraktura sa matematika. Una itong ipinakilala kasama ng alhebrang homolohikal upang mapag-aralan sa alhebra ang mga bagay na di-alhebraiko, tulad ng mga espasyong topolohikal. Nagresulta ito sa pag-aaral na topolohiyang alhebraiko.[59]

Kalkulo at pagsusuri

Ang sekwensiyang Cauchy, na nagpapakita sa mga elemento (mga punto) na papalapit nang papalapit sa isa't-isa sa paglipas ng sekwensiya.

Kalkulo, sa pinakasimpleng paliwanag, ang pag-aaral sa relasyon ng mga baryableng nakadepende sa isa't-isa. Magkahiwalay itong nadebelop noong ika-17 siglo nina Isaac Newton at Gottfried Leibniz, na nagresulta sa isang panandaliang kontrobersiya ukol sa sinong unang nakaimbento sa larangan.[60] Pinalawak pa ito nang husto sa sumunod na siglo ni Leonhard Euler na nagpakilala sa konsepto ng punsiyon at sa marami pang iba.[61] Sa kasalukuyan, itinuturing ang kalkulo bilang ang mababang antas ng pag-aaral at pagsusuring matematikal ang tawag sa mas mataas na pag-aaral sa larangan.[62]

Nahahati rin ang pagsusuri sa dalawang sangay: pagsusuring tunay, na nakatuon sa pagsusuri sa mga tunay na bilang, at pagsusuring komplikado, na nakatuon naman sa mga komplikadong bilang. Kaugnay rin sa pagsusuri ang pagsusuring pambilang, na ginagamit madalas sa agham pangkompyuter.

Matematikang diskreto

Ang kadenang Markov, na may dalawang estadong at . Kumakatawan ang mga bilang sa probabilidad ng pagbago ng estado.

Sa pangkalahatang kahulugan, matematikang diskreto ang pag-aaral sa mga indibidwal at mabibilang na mga bagay sa matematika, kagaya ng pangkat ng lahat ng mga buumbilang.[63] Dahil diskreto ang mga bagay na pinag-aaralan dito, hindi magagamit ang mga kaparaanan sa kalkulo at pagsusuri.[c] Mahalaga sa sangay na ito ang mga algoritmo, lalo na ang kanilang implementasyon at pagkakomplikado sa pagkompyut.[64]

Ang teorema ng apat na kulay at ang optimal na pagpapakete sa espero ang dalawa sa mga problema sa matematikang diskreto na nalutas pagsapit ng ika-20 siglo.[65] Mahalaga din sa sangay ang problemang P o NP, isa sa mga pinakamahahalagang problemang di pa nalulutas, dahil malaki ang implikasyon ng magiging solusyon nito sa mga problema itinuring na mga mahirap makompyut, na madalas basehan sa modernong kriptograpiya.[66]

Lohika at teorya ng pangkat

A blue and pink circle and their intersection labeled
Ang diagramang Venn, na madalas gamitin bilang representasyon sa mga pangkat. Ipinapakita ng ang salubungan ng pangkat at . Sa madaling salita, ipinapakita nito ang lahat ng mga elemento na meron ang dalawang pangkat.

Bagamat matagal na'ng pinag-aaralan ang lohika at teorya ng pangkat, naging pormal itong bahagi ng matematika pagsapit ng dulo ng ika-19 na siglo.[67] Bago ito, hindi kinokonsiderang mga bagay sa matematika ang mga pangkat, at mas ginugrupo naman ang lohika sa pilosopiya, bagamat ginagamit rin ito sa mga pagpapatunay sa matematika.[68]

Bago pag-aralan ni Georg Cantor ang mga walang-hanggang pangkat, hindi tinatanggap ng mga matematiko ang ideya ng isang koleksyong tunay na walang-hanggan, at mas kumikiling sa ideya ng kawalang-hangganan bilang resulta ng walang katapusang enumerasyon. Kontrobersiyal ang ideyang ito ni Cantor, dahil sa implikasyon na may iba't-ibang laki ang kawalang-hangganan na pinapatunayan ng argumentong pahalang ni Cantor.[69][70] Sa panahon ding ito natukoy sa maraming sangay ng matematika na may mga bagay sa matematika na hindi sapat ang kahulugan upang masiguro ang kahigpitan.[71] Kalaunan, nagresulta ito sa isang krisis sa mga haligi ng matematika.[72]

Naresolba rin ito kalaunan sa matematika sa pamamagitan ng pagsasagawa sa isang sistematikong kaparaanan ng paggawa ng mga aksoma sa loob ng isang pormalisadong teorya ng pangkat. Sa madaling salita, binibigyang-kahulugan ang bawat bagay sa matematika gamit ang pangkat ng lahat na magkakatulad na mga bagay at ang mga katangiang dapat meron ito.[40] Halimbawa, sa aritmetika ni Peano, binibigyang-kahulugan ang likas na bilang sa pahayag na "isang bilang ang sero", "may natatanging susunod ang bawat bilang", "may natatanging nauna ang bawat bilang maliban sa sero", at ibang mga tuntunin.[73] Nakaayon sa pilosopiya ng pormalismo ni David Hilbert ang kabasalan sa matematika mula sa realidad.[74]

Nananatiling isang problema sa pilosopiya ang kalikasan ng matematika, bagamat may mga matematikong may opinyon patungkol rito. Dahil dito, kinonsidera ang mga lohika, pangkat, patunay, at iba pa bilang mga bagay sa matematika, upang mabigyan sila ng mga teorema magpapatunayan sa mga ito. Halimbawa, sa mga teorema ng di-pagkakumpleto ni Gödel, sinasabi na sa bawat konsistent na pormalisadong sistema na naglalaman ng mga likas na bilang, may mga teorema na totoo (na mapapatunayan sa isang mas malakas na sistema) na hindi mapapatunayan sa sistemang yon.[75]

Estadistika at agham pandesisyon

Distribusyong normal na nagpapakita rin sa pamantayang paglihis.

Estadistika ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagkolekta at pagproseso sa mga datos, gamit ang mga kaparaanang hango sa matematika, lalo sa probabilidad. Gumagawa ng mga datos ang mga estadistiko gamit ang naka-random na sample o eksperimento.[76]

Pinag-aaralan sa teorya ng estadistika ang mga problema sa pagdedesisyon tulad ng pagpapababa ng panganib (inaasahang pagkalugi) sa isang gawain. Gumagamit sila ng isang proseso para rito: pagtatáya, pagte-test, at pagpili sa pinakatama. Sa tradisyonal na sangay na ito ng estadistikang pangmatematika, nagagawa ang isang problema sa pagdedesisyon sa pamamagitan ng pagpapababa sa punsiyon ng pagkalugi o gastos sa ilalim ng ilang partikular na balakid. Halimbawa, madalas na napapababa ng mga sarbey ang gastos sa pagtatáya sa medya (Ingles: mean) ng populasyon para sa isang partikular na antas ng pagkasigurado (Ingles: confidence level).[77] Dahil gamit nito sa optimisasyon, madalas na kasama rin ang estadistika sa ibang mga agham pandesisyon, tulad ng pananaliksik pang-operasyon, teorya ng kontrol, at matematikang pang-ekonomika.[78]

Matematikang komputasyonal

Ang teorema ng apat na kulay ang unang teoremang napatunayan sa tulong ng kompyuter.[79] Ayon sa teoremang ito, apat na kulay lang ang kailangan upang kulayan ang mapa nang walang magkatabing magkaparehong kulay, na ipinapakita nitong mapa ng mundo.

Matematikang komputasyonal ang pag-aaral ng mga problema sa matematika na madalas malaki masyado para makompyut ng mga tao.[80] Pinag-aaralan sa pagsusuring pambilang ang mga kaparaanang para sa mga problema sa pagsusuri gamit ang pagsusuring punsiyonal at teorya ng pagtatáya.[81] Nakatuon ito sa pagtatáya at pagdidiskreto na may pokus sa mga error sa pag-round. Ginagamitan madalas ang mga ito ng kompyuter o superkompyuter upang makagawa ng mga patunay.

Kaugnayan

Sobra-sobrang pagkamabisa

Ang sobra-sobrang pagkamabisa ng matematika sa ibang mga larangan, na unang napansin ni Eugene Wigner, ay isang penomenang kung saan maraming teorya sa matematika, kahit maging mga teorya sa purong sangay nito, ay nakahanap ng gamit labas sa mga layunin nito.[82] May mga teorya kasi na nagawa bago lumitaw ang teknolohiyang makakagamit nito.[83] Halimbawa nito ang pangunahing pagsasalik (Ingles: prime factorization) sa mga likas na bilang, na unang nadiskubre 2,000 taon na ang nakararaan at nagamit lang sa praktikal na paraan nang maimbento ang kriptosistemang RSA para sa seguridad sa internet.[84] Noong ika-19 na siglo, dumating kalaunan ang heometriya sa punto na natuklasan ng mga matematiko ang mga heometriyang di-Euclides, mga dimensiyon na higit sa tatlo, at mga manipoldo. Sa puntong ito ng kasaysayan, wala itong direktang gamit sa pisikal na realidad, hanggang noong nadebelop ni Albert Einstein ang kanyang teorya ng relatibidad na gumagamit sa tatlong konseptong ito; isang espasyong di-Euclides ang espasyo-panahon na inilarawan sa natatanging relatibidad na may apat na dimensiyon, at ang espasyo-panahon naman ng pangkalahatang relatibidad ay isang nakakurbang manipoldo na may apat na dimensiyon.[85][86]

Sa pisika naman, ginagamit ang matematika upang makagawa ng mga hinuha ukol sa mga posibleng partikulo na meron sa kalikasan. Halimbawa nito ang pagkadiskubre sa positron at baryon, na unang nailarawan sa teoryang matematikal bago natuklasan ang mga ito sa mga sumunod na taon sa pamamagitan ng mga eksperimento.[87][88]

Mga agham

Ginagamit madalas ang matematika sa agham sa pagmomodelo ng mga penomena upang makagawa ng mga prediksiyon base sa mga eksperimental na batas.[89] Matuturing na nakadepende lamang ang katumpakan ng mga prediksiyong ito sa kakayahan ng modelo dahil sa kalayaan ng katotohanan sa matematika mula sa kahit anong mga pag-eeksperimento.[90] Dahil dito, masasabing mali ang modelong ginagamit kung mali ang prediksiyon, imbes na mali ang mismong konseptong matematikal.[91] Halimbawa, maipapaliwanag lamang ang perihelyon ng Merkuryo sa pangkalahatang relatibidad ni Albert Einstein, na pumalit sa naunang batas sa grabidad ni Isaac Newton.[92]

Matematikang puro at nalalapat

Isang bahagi ng Paaralan ng Atenas ni Michelangelo, na nagpapakita kay Euclides o Arkimedes, na gumuguhit sa isang maliit na pisara.

Hanggang noong ika-19 na siglo, nakaangkla ang pag-aaral sa matematika dahil sa pangangailangan ng teknolohiya at agham; walang malinaw na pagkakaiba ang matematikang puro at nalalapat.[93] Halimbawa, ipinakilala ang mga likas na bilang at aritmetika dahil sa pangangailangan ng pagbibilang, at heometriya naman ang resulta ng agrimensura, arkitektura, at astronomiya. Naipaliwanag ang paggalaw ng mga planeta pagsapit ng pag-usbong ng kalkulo. Sa panahong ito, tipikal na siyentipiko rin ang mga matematiko, at kabaligtaran.[94] Gayunpaman, sa sinaunang Gresya, may hiwalay na pag-aaral para sa matematikang puro.[95] Walang gamit labas sa matematika ang pagsasalik sa buumbilang (Ingles: integer factorization), na unang inimbestigahan ni Euclides noong 300 BKP, hanggang noong naimbento ang kriptosistemang RSA na ginagamit ngayon sa mga network ng kompyuter.[84]

Noong ika-19 na siglo, nagsimulang mag-imbestiga nang malaliman ang mga matematiko tulad nina Karl Weierstrass at Richard Dedekind sa mga problema ng matematika.[93] Nahati ang matematika bilang resulta nito, sa dalawang sangay na puro at nalalapat. Bagamat magkahiwalay, madalas na walang malinaw na hangganan ang dalawang sangay na ito. Matapos ng Ikalawang Digmaang Pandaigdig, mabilis na umusad ang pagdebelop sa matematikang nalalapat sa Estados Unidos at ibang lugar. Marami sa mga teoryang nadebelop para magamit ay resulta ng interes ng mga matematikong purista, na kalaunan ay nakahanap din ng gamit labas sa matematika.[96]

Pisika

Mailalarawan gamit matematika ang paggalaw ng isang pendulo. Dito, makikita ang mga puwersang nakakaapekto sa galaw nito: ang tensyon () at ang puwersang dulot ng grabidad () at masa (), gayundin ang anggulo mula sa ekwilibriyo ().

Itinuturing ang matematika bilang isang mahalagang kagamitan sa pisika, at kabaligtaran.[97] Sa Pisika, inilarawan ni Aristoteles ang pagkakaiba ng dalawang larangan.[98] Ang pananaw na wika ng kalikasan ang matematika ay unang ipinahayag ng Pitagorasismo, na nagsasabing "lahat ay bilang" at "bilang ang hari ng mundo".[99] Sang-ayon si Galileo Galilei sa pananaw na ito, na nagsabi na isinulat sa wika ng matematika ang aklat ng kalikasan.[100]

Kompyuting

Isang pagpapakita sa distansiyang Hamming, isang mahalagang panukat sa teorya ng kodigo.

Malapit ang kaugnayan ng larangan ng kompyuting sa matematika. Kinokonsidera ang teoretikal na agham pangkompyuter bilang isang sangay ng matematika.[101] Ginagamit naman sa matematikang komputasyonal ang mga sangay ng matematika, kagaya ng aritmetika, sa kriptograpiya at teorya ng kodigo. Ginagamit din sa agham pangkompyuter ang matematikang diskreto para sa larangan nito tulad ng mga teorya ng pagkakomplikado, impormasyon, at grap. Sa pagsapit ng paggamit sa mga malalakas na kompyuter at superkompyuter, nagsimula ring gamitin ng mga matematiko ang mga ito upang tulungan sila sa pagpapatunay sa mga teoryang mahirap patunayan nang mano-mano. Isa sa mga mahahalagang napatunayan na teorya gamit nito ay ang konhetura ni Kepler ukol sa pagpapakete sa isang espero (Ingles: sphere packing), na napatunayan noong 1998, at kalauna'y nakumpirma noong dekada 2010s.[102]

Biolohiya at kimika

Maipapaliwanag sa matematika ang mga pattern sa balat ng mga hayop katulad nitong isdang globo; isa itong pattern na Turing na mamomodelo gamit ang isang sistemang reaksyon-dipyusyon.

Ginagamit sa biolohiya ang probabilidad sa mga larangan kagaya ng ekolohiya at neurosiyensiya.[103] Madalas rin itong ginagamit sa mga usapin ukol sa kakayahang ebolusyonal (Ingles: evolutionary fitness).[103] Ginagamit sa ekolohiya ang pagmomodelo upang mailarawan ang dinamika ng populasyon,[103] pag-aralan ang mga ekosistema at ang sistema ng nakakain-kinakain (Ingles: predator-prey), pagsukat sa polusyon,[104] at makakuhang datos ukol sa pagbabago ng klima.[105] Mailalarawan sa matematika ang dinamika ng populasyon gamit ang ilang mga ekwasyong deribatibo, kagaya ng mga ekwasyong Lotka-Volterra.[106]

Ginagamit naman sa pagsubok sa hinuhang pang-estadistika ang mga datos na nakukuha mula sa mga pagsubok klinikal upang malaman kung epektibo ba ang mga bagong gamot.[107] Simula noong ika-20 siglo, nagsimulang gamitin sa kimika ang mga kompyuter upang imodelo ang mga molekula sa tatlong dimensiyon.[108]

Agham pandaigdig

Ang tindi ng paglihis sa pamantayang grabidad ng Daigdig; mas matindi ang mas pula. Sobra-sobra ang pagpapakita sa halimbawang ito upang makita ang pagkakaiba; sa katunayan, masyadong itong maliit upang maramdaman ng mga tao ang epekto.

Ginagamit ang matematika sa heograpiya at heolohiya, lalo na sa mga larangan ng heolohiyang estraktural at klimatolohiya upang makagawa ng mga modelong ginagamit sa prediksyon sa mga sakuna sa hinaharap kagaya ng mga bagyo. Ganito rin ang kaso sa mga larangan ng meteorolohiya, oseanograpiya, at agham pamplaneta.[109]

Agham panlipunan

Isang grap na nagpapakita sa interaksyon sa pagitan ng suplay at kailangan.

Malawak ang paggamit sa estadistika at probabilidad, gayunin sa mga ekwasyong deribatibo, sa mga agham panlipunan, kagaya ng sa lingguwistika, ekonomika, sosyolohiya, at sikolohiya.

Mahalagang konsepto sa matematikang pang-ekonomika ang ideya ng isang rasyonal na indibidwal na aktor, ang homo economicus (lit. na 'tao ng ekonomiya').[110] Sa modelong ito, palaging susundin ng indibidwal ang kanyang interes at isesentro ang lahat ng mga gagawin niyang pagpili gamit ang perpektong impormasyon.[111] Sa ganitong pananaw napapadali ang paggamit ng matematika sa ekonomika. Maaaring mamodelo sa tulong nito ang mga mekanismong nagpapaandar sa ekonomiya. Hindi lahat ng mga ekonomista ay sang-ayon sa ideya ng homo economicus.

Simula noong ika-20 siglo, nagkaroon ng mga adhikain sa larangan upang mailarawan ang mga kilusan sa kasaysayan sa anyong matematikal. Noong 1922, ipinahayag ni Nikolai Kondratiev ang kanyang konsepto ng mga siklong ipinangalan sa kanya, na nagpapaliwanag sa mga panahon ng pag-usad ng ekonomiya at ang mga krisis.[112] Sa pagtatapos ng nakaraang siglo, nagsimulang gamitin ng mga matematiko ang matematika sa heopolitika. Noong dekada 1990s, dinebelop ni Peter Turchin ang kliodinamika.[113]

Hindi sa lahat ng pagkakataon ay magagamit ang matematika sa larangan. Sa kanilang kontrobersyal na aklat na Fashionable Nonsense (1997), kumontra sina Alan Sokal at Jean Bricmont sa abusadong paggamit ng mga terminolohiya sa agham, lalo na sa matematika at pisika, sa agham panlipunan.[114] Gumagamit ng matematika ang pag-aaral sa mga sistemang komplikado. Gayunpaman, nananatili pa ring kontrobersyal ang paggamit nito para sa ilang mga kriteryon, kagaya ng sa kawalang-trabaho.[115]

Astrolohiya at esoterismo

Mga astrologo din ang ilang mga matematiko, kagaya nina Ptolemeo at Johannes Kepler. Noong Gitnang Kapanahunan, kinokonsidera bilang isang agham ang astrolohiya, na kinabibilangan ng matematika. Sa ensiklopedyang isinulat ni Theodor Zwinger, astrolohiya ang "agham pangmatematika na nag-aaral sa aktibong paggalaw ng bawat bagay sa langit", at matematika naman ang "ginagamit upang makalkula ang probabilidad ng mga impluwensiya ng mga bituin upang malaman agad ang kanilang pagsalubong at paghihiwalay".[116] Hindi na itinuturing na agham ang astrolohiya sa modernong panahon, at karaniwan na itong ginugrupo sa mga seudosiyensiya.[117]

Pilosopiya

Realidad

Paksa na sa mga debate sa pilosopiya ang koneksyon ng matematika at ang materyal na realidad simula pa noong panahon ni Pitagoras. Ayon kay Platon, may mga sari-sariling realidad ang mga kabasalan na nagpapakita sa materyal na realidad na labas sa espasyo at panahon; ito ang pundasyon ng Platonismong matematikal.[118] Ibinuod ni Armand Borel ang ganitong pananaw sa matematika. Ayon sa kanya:[119]

Magiging obhetibo (imbes na "subhetibo") ang isang bagay kung tayo ay kumbinsido na may ganito sa kaisipan ng iba sa anyong kapareho ng sa atin at kung maiisip ba natin ito at madidiskurso. Dahil sobrang tiyak ng wika ng matematika, sakto ito para sa pagbibigay-kahulugan sa mga konseptong napagkasunduang umiiral. Sa aking opinyon, sapat na yon upang mabigyan tayo ng pakiramdam na obhetibong umiiral ito, sa realidad ng matematika...[d]

Gayunpaman, taliwas ito sa pagiging sobra-sobrang pagkamabisa ng matematika sa ibang mga larangan.[113]

Mungkahing kahulugan

Walang napagkakasunduang kahulugan para sa matematika, gayundin sa estado nito sa epistemolohiya.[120][121] Walang pake kadalasan ang mga matematiko sa kahulugan nito, o di kaya'y sinasabi na lang na wala itong kahulugan.[121] Hindi rin malinaw kung sining o agham ba ang matematika.[120] Madalas sabihin sa karaniwang diskurso ang katagang "matematika ang ginagawa ng mga matematiko", na bagamat isang pagdadahilang pabilog (Ingles: circular reasoning) ay maiintindihan pa rin, dahil madalas napapagkakasunduan kung alin ang itinuturing na matematika sa hindi.[121] Marami sa mga mungkahing kahulugan ay kahulugan batay sa pinag-aaralan nito.[122]

Ayon kay Aristoteles, matematika ang "agham ng kantidad". Ang pananaw na ito ang nanatiling kahulugan ng matematika hanggang noong ika-18 siglo. Gayunpaman, binigyang-pansin din niya na hindi sapat ang kantidad upang maihiwalay ang matematika mula sa mga agham tulad ng pisika; ayon sa kanya, ang natatanging naghihiwalay sa matematika ay ang kabasalan at ang pag-aaral sa kantidad bilang katangian na hinihiwalay ng kaisipan mula sa realidad.[123] Simula noong ika-19 na siglo, nang nagsimulang pag-aralan ng mga matematiko ang mga walang-hanggang pangkat, na hindi makikita sa realidad, nagsimulang lumitaw ang mga bagong kahulugan sa larangan.[124] Pagsapit ng ika-20 siglo, ang mabilis na pagdami ng mga bagong larangan ang naging dahilan upang ituring ng ilang mga matematiko na mahirap bigyang-kahulugan ang matematika.

Ginagamit ding kahulugan ang ideya na matematika na'ng maituturing ang isang larangan kung ginagamit nito ang mga kaparaanan sa matematika. Halimbawa nito ay ang pagpapatunay sa mga teorema, na nangangailangan ng lohika sa pagdadahilan.[125] Isa ring ginagamit na kahulugan ay ang teorya ng aksomatikong pangkat (Ingles: axiomatic set theory), ang teoryang kinokonsidera na ngayon bilang haligi ng modernong pag-aaral sa matematika.[126]

Kahigpitan

Kinakailangan ang kahigpitan sa matematika. Ibig sabihin, dapat malinaw ang mga kahulugan at maisusulat ang mga patunay sa isang serye ng paggamit sa mga tuntunin sa imperensiya nang di agad gumagamit ng mga ebidensiyang empirikal o kutob.[127] Bagamat hindi lamang sa matematika isinasagawa ang kahigpitan, mataas ang antas ng pagkahigpit sa larangan. Kahit na may mga tiyak na kahulugan sa matematika, kadalasang umaabot ng daan-daang pahina upang maisulat ang mga patunay. Mas lalo pa itong pinalawak pagsapit ng pag-usbong ng mga katulong na kompyuter sa pagpapatunay.[128] Nagresulta ito sa pilosopiyang kwasi-empirisismo (Ingles: quasi-empiricism), na nagsasabing di kailanman masasabing tama ang isang patunay dahil may probabilidad na kaakibat ang mga ito.[49]

Sa dulo ng ika-19 na siglo, humantong ang matematika sa puntong may mga kahulugan na hindi masyadong tiyak para maiwasan ang mga kabalintunaan (Ingles: paradox) at kontradiksiyon. Naresolba ito sa pamamagitan ng pagsama sa mga aksoma na may mga apodiktikong tuntunin ng imperensiya sa mga teoremang matematikal.[49] Tanging sa pamamagitan ng pagtanggap ng marami sa patunay bilang tama sa paglipas ng panahon ay maituturing ang teoremang ito bilang mapagkakatiwalaan. Dahil dito, ang tradisyonal na konsepto ng kahigpitan ay nawala,[129] bagamat ginagamit pa rin ito para sa pagtuturo sa mga baguhan ukol sa pagpapatunay sa matematika.[130]

Pagtuturo

Ayon sa arkeolohiya, itinuturo na ang matematika simula pa noong ikalawang milenyo BKP sa Babilonya.[131] May mga nakita ring ebidensiya ng pagtuturo sa sinaunang Malapit na Silangan at sa mundong Greko-Romano mula noong 300 BKP.[132] Ang pinakamatandang aklat ng matematika ay ang papiro ni Rhind, na tinatayang ginawa noong 1650 BKP sa Ehipto.[133] Dahil sa kakulangan ng mga aklat, pinagpasa-pasahan ng mga matematiko sa sinaunang India ang kaalaman sa matematika sa pamamagitan ng pagkakabisado sa mga tradisyong pasalita simula noong panahon ng mga Veda.[134] Noong dinastiyang Tang naman sa Tsina, isinama ang matematika sa kurikulum para sa imperyal na pagsusulit upang makasama sa burokrasya ng estado.[135]

Matapos ang Madilim na Panahon sa Europa, itinuro ang matematika sa mga paaralang panrehiliyon bilang bahagi ng quadrivium. Nagsimula naman ang pormal na pagtuturo sa pedagohiya sa mga paaralan ng mga Heswita noong ika-16 at ika-17 siglo. Praktikal ang kurikulum ng matematika hanggang noong ika-19 na siglo, nang nagsimula itong seryosohin sa Alemanya at Pransiya, kung saan itinatag ang unang akademikong dyornal para sa pagtuturo ng matematika, ang L'Enseignement Mathématique, na nagsimula noong 1899.[136] Ang pag-usad ng agham at teknolohiya sa Kanluraning Mundo ang nagpahantong sa pagtatatag sa mga sentralisadong sistema ng pagtuturo sa maraming mga bansa, kung saan kabilang ang matematika sa mga mahahalagang asignatura, dahil sa pangangailangan ng militar nung una.[137] Bagamat iba-iba ang nilalaman ng kurikulum at kalidad ng pagtuturo, itinuturo ang matematika sa lahat ng mga bansa sa mundo sa kasalukuyang panahon.[138]

Habang nag-aaral, may korelasyon ang kakayahan ng isang bata sa matematika sa magiging karera niya sa hinaharap. Nakakaimpluwensiya sa interes ng bata sa matematika ang mga panlabas na salik tulad ng motibasyon ng mga guro, magulang, at kaklase.[139] Gayunpaman, maaari ring humantong ang ilan sa pagkatakot sa naturang asignatura, kilala sa tawag na pagkabalisa sa matematika, na kinokonsidera bilang isa sa mga pinakanakakaapekto sa kahusayan sa klase ng isang mag-aaral. Maaaring madebelop ang pagkabalisa sa maraming paraan, partikular na ang ugali ng magulang o guro sa pagturo sa matematika, mga maling akala sa lipunan, at maging mga personal na dahilan. Upang maiwasan o maagapan ito, marami sa mga paaralan sa mundo ang nagbabago sa paraan ng pagtuturo sa matematika.[140]

Epekto sa kultura

Sining

Isang animasyon sa pangkat na Mandelbrot, isang praktal na nagpapakita sa pagkakamukha habang lumalapit.

Nakasulat sa simpleng rasyo ang mga nota na kinokonsiderang magandang pakinggan sa Kanluraning musika. Nirerepresenta nito ang mga tiyak na dalasan, kagaya ng pagdoble nito sa kada pagpalit ng oktaba (Ingles: octave), at ang perpektong sangkalima (Ingles: perfect fifth) na nangyayari sa kada bahagi.[141][142]

Kinokonsiderang maganda rin ng mga tao ang pagkakapantay-pantay o simetriya.[143] Sa matematika, bumubuo ng isang grupo ang mga simetriya ng isang bagay.[144] Halimbawa, ang grupo na may simetriyang nakasalamin (baligtaran) ay isang grupong sikliko ng dalawang elemento, . Ang pagsubok na Rorschach ay isang pigurang di nababago ng simetriya.[145] Magkakamukha naman ang mga detalye ng isang praktal (Ingles: fractal).[146][147]

Popularisasyon

Matematikang popular ang sangay ng matematika na nakatuon sa pagpapaliwanag sa mga konsepto sa matematika sa anyong maiintindihan ng marami.[148] Dahil madalas ay malayo sa realidad ang marami sa mga konsepto sa matematika, madalas ding nahihirapan ang mga taong hindi aral sa paksa.[149] Ipinapaliwanag ang mga ito kadalasan sa anyong nagagamit o nalalapat sa pang-araw-araw na buhay.[150]

Parangal at paligsahan

Ang harapang bahagi ng Medalyang Fields, na nagpapakita kay Arkimedes.

Ang pinakamataas na parangal sa matematika ay ang Medalyang Fields,[151][152] na unang ibinigay noong 1936 at binibigay kada apat na taon (maliban noong Ikalawang Digmaang Pandaigdig) sa hanggang apat na tao.[153] Ito ang kinokonsiderang katumbas ng Gantimpalang Nobel sa matematika.[153]

Pinagsama ni David Hilbert ang sikat na ngayo'y na 23 di pa nalulutas na problemang kilala ngayon sa tawag na mga problema ni Hilbert.[154] Sa kasalukuyang, depende sa interpretasyon, labintatlo sa mga ito ay nalutas na.[154]

Samantala, inilathala naman noong 2000 ang pitong mahahalagang problema na kilala sa tawag na Mga Problema ng Premyo ng Milenyo. Isa lamang sa mga ito, ang hinuhang Riemann, ang nasa listahan din ni Hilbert. May kaakibat na premyong aabot ng $1 milyon (₱58.5 milyon sa 2024).[155] Sa ngayon, isa pa lang sa mga ito ang nalutas na, ang konhetura ni Poincaré.[155]

Tingnan din

Talababa

  1. ibang katawagan: sipnayan[2]
  2. Halimbawa nito ang paggamit ni Platon sa ika-6 na aklat, bahagi 510c ng kanyang Republika, bagamat hindi niya itong direktang sinabi.[5]
  3. Ginagamit din minsan ang ilang mga konsepto sa pagsusuri, tulad ng mga kaparaanan sa pagsusuring komplikado para sa paggawa ng serye.
  4. Ingles: Something becomes objective (as opposed to "subjective") as soon as we are convinced that it exists in the minds of others in the same form as it does in ours and that we can think about it and discuss it together. Because the language of mathematics is so precise, it is ideally suited to defining concepts for which such a consensus exists. In my opinion, that is sufficient to provide us with a feeling of an objective existence, of a reality of mathematics ...

Sanggunian

Sipi

  1. 1.0 1.1 "matematika - Diksiyonaryo". diksiyonaryo.ph. Nakuha noong 13 Hunyo 2024.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  2. 2.0 2.1 "sipnayan": Del Rosario, Gonsalo (1969). Salcedo, Juan (pat.). Maugnaying Talasalitaang Pang-agham Ingles-Pilipino (sa wikang Filipino). Maynila, Pilipinas: Lupon sa Agham. p. 39.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  3. 3.0 3.1 Dunne, Edward; Hulek, Klaus (Marso 2020). "Mathematics Subject Classification 2020" (PDF). Notices of the American Mathematical Society (sa wikang Ingles). 67 (3): 410–411. doi:10.1090/noti2052. eISSN 1088-9477. ISSN 0002-9920. LCCN sf77000404. OCLC 1480366. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 3 Agosto 2021.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  4. Harper, Douglas (28 Marso 2019). "Mathematic (n.)" [Matematika (png.)]. Online Etymology Dictionary (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 7 Marso 2013.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  5. Platon (1969) [375 BKP]. Republic [Republika] (sa wikang Ingles). Sinalin ni Paul Shorey. Harvard University Press. Inarkibo mula sa orihinal noong 24 Pebrero 2024.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  6. Harper, Douglas (22 Disyembre 2018). "Mathematical (adj.)" [Matematikal (pnu.)]. Online Etymology Dictionary (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 26 Nobyembre 2022.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  7. Perisho, Margaret W. (Tagsibol 1965). "The Etymology of Mathematical Terms" [Ang Etimolohiya ng mga Terminong Pangmatematika]. Pi Mu Epsilon Journal (sa wikang Ingles). 4 (2): 62–66. ISSN 0031-952X. JSTOR 24338341. LCCN 58015848. OCLC 1762376.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  8. Boas, Ralph P. (1995). "What Augustine Didn't Say About Mathematicians" [Kung Anong Hindi Sinabi ni San Agustin Patungkol sa mga Matematiko]. Sa Alexanderson, Gerald L.; Mugler, Dale H. (mga pat.). Lion Hunting and Other Mathematical Pursuits: A Collection of Mathematics, Verse, and Stories [Pangangaso sa Leon at Ibang Mga Tunguhing Matematikal: Koleksyon ng Matematika, Berso, at Kuwento] (sa wikang Ingles). Mathematical Association of America. p. 257. ISBN 978-0-88385-323-8. LCCN 94078313. OCLC 633018890.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  9. Gallardo, Susana (7 Agosto 2013). "Matemática o matemáticas ¿Una cuestión de número?" [Matemática o matemáticas Tanong ng bilang?]. NEXciencia (sa wikang Kastila). Pamantasan ng Buenos Aires.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  10. "Maths (Noun)". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles). Oxford University Press.
  11. "Math (Noun³)". Oxford English Dictionary (sa wikang Ingles). Oxford University Press. Inarkibo mula sa orihinal noong 4 Abril 2020.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  12. Almario, Virgilio S. (1997). Tradisyon at wikang Filipino. Sentro ng Wikang Filipino, Sistemang Unibersidad ng Pilipinas. ISBN 978-971-8781-69-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  13. "Early Human Counting Tools" [Mga Sinaunang Kagamitang Pambilang ng mga Tao]. Math Timeline (sa wikang Ingles).
  14. Zaslavsky, Claudia (1999). Africa Counts: Number and Pattern in African Culture [Nagbibilang ang Aprika: Bilang at Terno sa Kulturang Aprikano.] (sa wikang Ingles). Chicago Review Press. ISBN 978-1-61374-115-3. OCLC 843204342.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  15. Kline 1990, Kabanata 1.
  16. Boyer 1991, "Mesopotamia" pp. 24–27.
  17. Heath, Thomas Little (1981) [1921]. A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid [Kasaysayan ng Matematikang Griyego: Mula Tales hanggang Euclides] (sa wikang Ingles). New York: Dover Publications. p. 1. ISBN 978-0-486-24073-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  18. Mueller, I. (1969). "Euclid's Elements and the Axiomatic Method" [Mga Elemento ni Euclides at ang Kaparaanang Aksomatiko]. The British Journal for the Philosophy of Science (sa wikang Ingles). 20 (4): 289–309. doi:10.1093/bjps/20.4.289. ISSN 0007-0882. JSTOR 686258.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  19. Boyer 1991, "Euclid of Alexandria" p. 119.
  20. Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 120.
  21. Boyer 1991, "Archimedes of Syracuse" p. 130.
  22. Boyer 1991, "Revival and Decline of Greek Mathematics" p. 180.
  23. Boyer 1991, "Greek Trigonometry and Mensuration" p. 162.
  24. Boyer 1991, "Apollonius of Perga" p. 145.
  25. Ore, Øystein (1988). Number Theory and Its History [Teorya ng bilang at ang Kasaysayan nito] (sa wikang Ingles). Courier Corporation. pp. 19–24. ISBN 978-0-486-65620-5.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  26. Singh, A. N. (Enero 1936). "On the Use of Series in Hindu Mathematics" [Ukol sa Paggamit ng Serye sa Matematikang Hindu]. Osiris (sa wikang Ingles). 1: 606–628. doi:10.1086/368443. JSTOR 301627. S2CID 144760421.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  27. Kolachana, A.; Mahesh, K.; Ramasubramanian, K. (2019). "Use of series in India" [Paggamit ng serye sa India]. Studies in Indian Mathematics and Astronomy [Pag-aaral sa Matematika at Astronomiya ng India]. Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences (sa wikang Ingles). Singapore: Springer. pp. 438–461. doi:10.1007/978-981-13-7326-8_20. ISBN 978-981-13-7325-1. S2CID 190176726.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  28. Saliba, George (1994). A history of Arabic astronomy: planetary theories during the golden age of Islam [Kasaysayan ng astronomiyang Arabo: mga teoryang pamplaneta noong ginintuang panahon ng Islam] (sa wikang Ingles). New York University Press. ISBN 978-0-8147-7962-0. OCLC 28723059.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  29. Faruqi, Yasmeen M. (2006). "Contributions of Islamic scholars to the scientific enterprise" [Mga ambag ng mga iskolar na Muslim sa maagham na tunguhin]. International Education Journal (sa wikang Ingles). Shannon Research Press. 7 (4): 391–399. Inarkibo mula sa orihinal noong 14 Nobyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  30. Lorch, Richard (Hunyo 2001). "Greek-Arabic-Latin: The Transmission of Mathematical Texts in the Middle Ages" [Griyego-Arabo-Latin: Ang Paglipat ng mga Tekstong Matematikal sa Gitnang Kapanahunan] (PDF). Science in Context (sa wikang Ingles). Cambridge University Press. 14 (1–2): 313–331. doi:10.1017/S0269889701000114. S2CID 146539132. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 17 Disyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  31. Kent, Benjamin (2022). History of Science [Kasaysayan ng Agham] (PDF) (sa wikang Ingles). Bol. 2. Bibliotex Digital Library. ISBN 9781984668677.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: url-status (link)
  32. Archibald, Raymond Clare (Enero 1949). "History of Mathematics After the Sixteenth Century" [Kasaysayan ng Matematika Matapos ng Ika-16 na Siglo]. The American Mathematical Monthly. Part 2: Outline of the History of Mathematics (sa wikang Ingles). 56 (1): 35–56. doi:10.2307/2304570. JSTOR 2304570.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  33. Raatikainen, Panu (Oktubre 2005). "On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems" [Ukol sa Kahalagahang Pilosopikal ng mga Teorema ng Di-Pagkakumpleto ni Gödel]. Revue Internationale de Philosophie (sa wikang Ingles). 59 (4): 513–534. doi:10.3917/rip.234.0513. JSTOR 23955909. S2CID 52083793. Inarkibo mula sa orihinal noong 12 Nobyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  34. Sevryuk 2006, pp. 101–109.
  35. Silver, Daniel S. (Nobyembre–Disyembre 2017). "The New Language of Mathematics" [Ang Bagong Wika ng Matematika]. The American Scientist (sa wikang Ingles). Sigma Xi. 105 (6): 364–371. doi:10.1511/2017.105.6.364. ISSN 0003-0996. LCCN 43020253. OCLC 1480717. S2CID 125455764.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  36. Tiwari, Sarju (1992). "A Mirror of Civilization" [Salamin ng Sibilisasyon]. Mathematics in History, Culture, Philosophy, and Science [Matematika sa Kasaysayan, Kultura, Pilosopiya, at Agham] (sa wikang Ingles) (ika-1 (na) edisyon). New Delhi: Mittal Publications. p. 27. ISBN 978-81-7099-404-6. LCCN 92909575. OCLC 28115124.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  37. Restivo, Sal (1992). "Mathematics from the Ground Up" [Matematika mula Simula]. Sa Bunge, Mario (pat.). Mathematics in Society and History [Matematika sa Lipunan at Kasaysayan]. Episteme (sa wikang Ingles). Bol. 20. Kluwer Academic Publishers. p. 14. ISBN 0-7923-1765-3. LCCN 25709270. OCLC 92013695.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  38. Musielak, Dora (2022). Leonhard Euler and the Foundations of Celestial Mechanics [Si Leonhard Euler at ang mga Haligi ng Mekanikang Pangkalawakan]. History of Physics (sa wikang Ingles). Springer International Publishing. doi:10.1007/978-3-031-12322-1. eISSN 2730-7557. ISBN 978-3-031-12321-4. ISSN 2730-7549. OCLC 1332780664. S2CID 253240718.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  39. Biggs, N. L. (Mayo 1979). "The roots of combinatorics" [Simulain ng kombinatorika]. Historia Mathematica (sa wikang Ingles). 6 (2): 109–136. doi:10.1016/0315-0860(79)90074-0. eISSN 1090-249X. ISSN 0315-0860. LCCN 75642280. OCLC 2240703.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  40. 40.0 40.1 Warner, Evan. "Splash Talk: The Foundational Crisis of Mathematics" [Mabilisang Usapan: Ang Krisis sa Haligi ng Matematika] (PDF) (sa wikang Ingles). Columbia University. Inarkibo mula sa ang orihinal (PDF) noong 22 Marso 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  41. LeVeque, William J. (1977). "Introduction" [Simula]. Fundamentals of Number Theory [Mga Simulain sa Teorya ng Bilang] (sa wikang Ingles). Addison-Wesley Publishing Company. pp. 1–30. ISBN 0-201-04287-8. LCCN 76055645. OCLC 3519779. S2CID 118560854.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  42. Goldman, Jay R. (1998). "The Founding Fathers" [Mga Haliging Ama]. The Queen of Mathematics: A Historically Motivated Guide to Number Theory [Ang Reyna ng Matematika: Isang Gabay Pangkasaysayan ukol sa Teorya ng Bilang] (sa wikang Ingles). Massachusetts: A K Peters. pp. 2–3. doi:10.1201/9781439864623. ISBN 1-56881-006-7. LCCN 94020017. OCLC 30437959. S2CID 118934517.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  43. Weil, André (1983). Number Theory: An Approach Through History From Hammurapi to Legendre [Teorya ng Bilang: Pagtingin sa Kasaysayan mula kay [Hammurabi] hanggang Legendre] (sa wikang Ingles). Birkhäuser Boston. pp. 2–3. doi:10.1007/978-0-8176-4571-7. ISBN 0-8176-3141-0. LCCN 83011857. OCLC 9576587. S2CID 117789303.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  44. Hesselink, Wim H. (3 Abril 2008). "Computer verification of Wiles' proof of Fermat's Last Theorem" [Beripikasyon sa kompyuter ng patunay ni Wiles sa Huling Teorema ni Fermat]. www.cs.rug.nl (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 18 Hunyo 2008.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  45. Wang, Yuan (2002). The Goldbach Conjecture [Ang Konhetura ni Goldbach]. Series in Pure Mathematics (sa wikang Ingles). Bol. 4 (ika-2 (na) edisyon). World Scientific. pp. 1–18. doi:10.1142/5096. ISBN 981-238-159-7. LCCN 2003268597. OCLC 51533750. S2CID 14555830.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  46. 46.0 46.1 46.2 Straume, Eldar (4 Setyembre 2014). "A Survey of the Development of Geometry up to 1870" [Sarbey sa Pagdebelop ng Heometriya hanggang 1870] (sa wikang Ingles). arXiv:1409.1140 [math.HO].{{cite arXiv}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  47. Hartshorne, Robin (2000). "Euclid's Geometry" [Heometriya ni Euclides]. Geometry: Euclid and Beyond [Heometriya: Mula kay Euclides] (sa wikang Ingles). Springer New York. pp. 9–13. ISBN 0-387-98650-2. LCCN 99044789. OCLC 42290188.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  48. Boyer, Carl B. (2004) [1956]. "Fermat and Descartes" [Si Fermat at Descartes]. History of Analytic Geometry [Kasaysayan ng Heometriyang Pasuri] (sa wikang Ingles). Dover Publications. pp. 74–102. ISBN 0-486-43832-5. LCCN 2004056235. OCLC 56317813.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  49. 49.0 49.1 49.2 Kleiner, Israel (Disyembre 1991). "Rigor and Proof in Mathematics: A Historical Perspective" [Higpit at Patunay sa Matematika: Isang Pananaw sa Kasaysayan]. Mathematics Magazine (sa wikang Ingles). Taylor & Francis, Ltd. 64 (5): 291–314. doi:10.1080/0025570X.1991.11977625. eISSN 1930-0980. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690647. LCCN 47003192. MR 1141557. OCLC 1756877. S2CID 7787171.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  50. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Pebrero 1996). "Non-Euclidean geometry" [Heometriyang di-Euclides]. MacTuror (sa wikang Ingles). Eskosya: University of St. Andrews. Inarkibo mula sa orihinal noong 6 Nobyembre 2022.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  51. Kleiner 2007, "History of Classical Algebra" pp. 3–5.
  52. Shane, David (2022). "Figurate Numbers: A Historical Survey of an Ancient Mathematics" [Mga Bilang Pigura: Isang Sarbey sa Kasaysayan ng isang Sinaunang Matematika] (PDF). Methodist University (sa wikang Ingles). p. 20.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  53. Overbay, Shawn; Schorer, Jimmy; Conger, Heather. "Al-Khwarizmi". University of Kentucky.
  54. Berntjes, Sonja. "Algebra" [Alhebra]. Encyclopaedia of Islam Online (sa wikang Ingles) (ika-3 (na) edisyon). ISSN 1573-3912. LCCN 2007238847. OCLC 56713464.
  55. Oaks, Jeffery A. (2018). "François Viète's revolution in algebra" [Ang rebolusyon ni François Viète sa alhebra] (PDF). Archive for History of Exact Sciences (sa wikang Ingles). 72 (3): 245–302. doi:10.1007/s00407-018-0208-0. eISSN 1432-0657. ISSN 0003-9519. LCCN 63024699. OCLC 1482042. S2CID 125704699. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 9 Nobyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  56. Kleiner 2007, "History of Linear Algebra" pp. 79–101.
  57. Corry, Leo (2004). "Emmy Noether: Ideals and Structures" [Emmy Noether: Mga Ideya at Estraktura]. Modern Algebra and the Rise of Mathematical Structures [Modernong Alhebra at ang Pag-angat ng mga Estrakturang Pangmatematika] (sa wikang Ingles) (ika-2nd revised (na) edisyon). Alemanya: Birkhäuser Basel. pp. 247–252. ISBN 3-7643-7002-5. LCCN 2004556211. OCLC 51234417.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  58. Riche, Jacques (2007). "From Universal Algebra to Universal Logic" [Mula Pangkalahatang Alhebra hanggang Pangkalahatang Lohika]. Sa Beziau, J. Y.; Costa-Leite, Alexandre (mga pat.). Perspectives on Universal Logic [Mga Pananaw sa Pangkalahatang Lohika] (sa wikang Ingles). Milano, Italya: Polimetrica International Scientific Publisher. pp. 3–39. ISBN 978-88-7699-077-9. OCLC 647049731.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  59. Krömer, Ralph (2007). Tool and Object: A History and Philosophy of Category Theory [Kagamitan at Bagay: Kasaysayan at Pilosopiya ng Teorya ng Kategorya]. Science Networks - Historical Studies (sa wikang Ingles). Bol. 32. Alemanya: Springer Science & Business Media. pp. xxi–xxv, 1–91. ISBN 978-3-7643-7523-2. LCCN 2007920230. OCLC 85242858.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  60. Guicciardini, Niccolo (2017). "The Newton–Leibniz Calculus Controversy, 1708–1730" [Ang Kontrobersiya nina Newton at Leibniz sa Kalkulo, 1708-1730] (PDF). Sa Schliesser, Eric; Smeenk, Chris (mga pat.). The Oxford Handbook of Newton [Handbook ng Oxford tungkol kay Newton]. Oxford Handbooks (sa wikang Ingles). Oxford University Press. doi:10.1093/oxfordhb/9780199930418.013.9. ISBN 978-0-19-993041-8. OCLC 975829354. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 9 Nobyembre 2022.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  61. O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. (Setyembre 1998). "Leonhard Euler". MacTutor. Eskosya: University of St Andrews. Inarkibo mula sa orihinal noong 9 Nobyembre 2022.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  62. "Calculus (Differential and Integral Calculus with Examples)" [Kalkulo (Kalkulong Deribatibo at Integral na may mga Halimbawa)]. Byju's (sa wikang Ingles).
  63. Franklin, James (Hulyo 2017). "Discrete and Continuous: A Fundamental Dichotomy in Mathematics" [Diskreto at Tuluyan: Pundamental na Dikotomiya sa Matematika]. Journal of Humanistic Mathematics (sa wikang Ingles). 7 (2): 355–378. doi:10.5642/jhummath.201702.18. ISSN 2159-8118. LCCN 2011202231. OCLC 700943261. S2CID 6945363.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  64. Maurer, Stephen B. (1997). "What is Discrete Mathematics? The Many Answers" [Ano ang Matematikang Diskreto? Mga Mararami Nitong Sagot]. Sa Rosenstein, Joseph G.; Franzblau, Deborah S.; Roberts, Fred S. (mga pat.). Discrete Mathematics in the Schools [Matematikang Diskreto sa mga Paaralan]. DIMACS: Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science (sa wikang Ingles). Bol. 36. American Mathematical Society. pp. 121–124. doi:10.1090/dimacs/036/13. ISBN 0-8218-0448-0. ISSN 1052-1798. LCCN 97023277. OCLC 37141146. S2CID 67358543.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  65. Hales, Thomas C. (2014). "Turing's Legacy: Developments from Turing's Ideas in Logic" [Legasiya ni Turing: Mga Nadebelop mula sa mga Ideya ni Turing sa Lohika]. Sa Downey, Rod (pat.). Turing's Legacy [Legasiya ni Turing]. Lecture Notes in Logic (sa wikang Ingles). Bol. 42. Cambridge University Press. pp. 260–261. doi:10.1017/CBO9781107338579.001. ISBN 978-1-107-04348-0. LCCN 2014000240. OCLC 867717052. S2CID 19315498.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  66. Sipser, Michael (Hulyo 1992). The History and Status of the P versus NP Question [Ang Kasaysayan at Estado ng Tanong na P o NP]. STOC 1992 (sa wikang Ingles). pp. 603–618. doi:10.1145/129712.129771. S2CID 11678884.{{cite conference}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  67. Ewald, William (17 Nobyembre 2018). "The Emergence of First-Order Logic" [Ang Pag-usbong ng Lohika ng Unang Antas]. Stanford Encyclopedia of Philosophy (sa wikang Ingles). ISSN 1095-5054. LCCN sn97004494. OCLC 37550526.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  68. Ferreirós, José (Disyembre 2001). "The Road to Modern Logic—An Interpretation" [Ang Daan patungong Modernong Lohika - Interpretasyon] (PDF). The Bulletin of Symbolic Logic (sa wikang Ingles). 7 (4): 441–484. doi:10.2307/2687794. eISSN 1943-5894. hdl:11441/38373. ISSN 1079-8986. JSTOR 2687794. LCCN 95652899. OCLC 31616719. S2CID 43258676.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  69. Wolchover, Natalie, pat. (26 Nobyembre 2013). "Dispute over Infinity Divides Mathematicians" [Hati ang mga Matematiko sa Problema ng Kawalang-Hanggan]. Quanta Magazine (sa wikang Ingles).{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  70. Zhuang, Chaohui. "Wittgenstein's analysis on Cantor's diagonal argument" [Pagsusuri ni Wittgenstein sa argumentong pahalang ni Cantor] (DOC). PhilArchive (sa wikang Ingles).
  71. Tanswell, Fenner Stanley (2024). Mathematical Rigour and Informal Proof [Kahigpitan sa Matematika at Impormal na Patunay]. Cambridge Elements in the Philosophy of Mathematics (sa wikang Ingles). Cambridge University Press. doi:10.1017/9781009325110. eISSN 2399-2883. ISBN 978-1-009-49438-0. ISSN 2514-3808. OCLC 1418750041.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  72. Avigad, Jeremy; Reck, Erich H. (11 Disyembre 2001). ""Clarifying the nature of the infinite": the development of metamathematics and proof theory" ["Paglilinaw sa kalikasan ng kawalang-hanggan": ang pagdebelop ng metamatematika at teorya ng patunay] (PDF). Carnegie Mellon University (sa wikang Ingles).{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  73. Hamilton, Alan G. (1982). Numbers, Sets and Axioms: The Apparatus of Mathematics [Bilang, Pangkat, at Aksoma: Mga Aparato ng Matematika] (sa wikang Ingles). Cambridge University Press. pp. 3–4. ISBN 978-0-521-28761-6.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  74. Snapper, Ernst (Setyembre 1979). "The Three Crises in Mathematics: Logicism, Intuitionism, and Formalism" [Ang Tatlong Krisis sa Matematika: Lohisismo, Intuisiyonismo, at Pormalismo]. Mathematics Magazine (sa wikang Ingles). 52 (4): 207–216. doi:10.2307/2689412. JSTOR 2689412.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  75. Raatikainen, Panu (Oktubre 2005). "On the Philosophical Relevance of Gödel's Incompleteness Theorems" [Ukol sa Kaugnayang Pilosopikal ng mga Teorema ng Di-Pagkakumpleto ni Gödel]. Revue Internationale de Philosophie (sa wikang Ingles). 59 (4): 513–534. doi:10.3917/rip.234.0513. JSTOR 23955909. S2CID 52083793. Inarkibo mula sa orihinal noong 12 Nobyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  76. Rao, C. Radhakrishna (1997) [1989]. Statistics and Truth: Putting Chance to Work [Estadistika at Katotohanan: Paglalagay ng Tiyansa sa Gawa] (sa wikang Ingles) (ika-2 (na) edisyon). World Scientific. pp. 3–17, 63–70. ISBN 981-02-3111-3. LCCN 97010349. MR 1474730. OCLC 36597731.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  77. Rao, C. Radhakrishna (1981). "Foreword" [Panimula]. Sa Arthanari, T.S.; Dodge, Yadolah (mga pat.). Mathematical programming in statistics [Pagpoprogramang matematikal sa estadistika]. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics (sa wikang Ingles). New York: Wiley. pp. vii–viii. ISBN 978-0-471-08073-2. LCCN 80021637. MR 0607328. OCLC 6707805.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  78. Whittle 1994, pp. 10–11, 14–18.
  79. Swart, Edward Reinier (1980), "The philosophical implications of the four-color problem" [Ang mga implikasyon sa pilosopiya ng problema ng apat na kulay], American Mathematical Monthly (sa wikang Ingles), Mathematical Association of America, bol. 87, blg. 9, pp. 697–702, doi:10.2307/2321855, JSTOR 2321855, MR 0602826{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  80. Johnson, Gary M.; Cavallini, John S. (Setyembre 1991). Phua, Kang Hoh; Loe, Kia Fock (mga pat.). Grand Challenges, High Performance Computing, and Computational Science [Mga Dakilang Hamon, Kompyuting na High Performance, at Agham Komputasyonal]. Singapore Supercomputing Conference 1990 (sa wikang Ingles). World Scientific. p. 28. LCCN 91018998.{{cite conference}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  81. Trefethen, Lloyd N. (2008). "Numerical Analysis" [Pagsusuring Pambilang]. Sa Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (mga pat.). The Princeton Companion to Mathematics [Ang Katulong ng Princeton sa Matematika] (PDF) (sa wikang Ingles). Princeton University Press. pp. 604–615. ISBN 978-0-691-11880-2. LCCN 2008020450. MR 2467561. OCLC 227205932. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 7 Marso 2023.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  82. Wigner, Eugene (1960). "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences" [Ang Sobra-sobrang Pagkamabisa ng Matematika sa mga Likas na Agham]. Communications on Pure and Applied Mathematics (sa wikang Ingles). 13 (1): 1–14. Bibcode:1960CPAM...13....1W. doi:10.1002/cpa.3160130102. S2CID 6112252. Inarkibo mula sa orihinal noong 28 Pebrero 2011.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  83. Sarukkai, Sundar (10 Pebrero 2005). "Revisiting the 'unreasonable effectiveness' of mathematics" [Pagbisita muli sa 'sobra-sobrang pagkamabisa' ng matematika]. Current Science (sa wikang Ingles). 88 (3): 415–423. JSTOR 24110208.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  84. 84.0 84.1 Wagstaff, Samuel S. Jr. (2021). "History of Integer Factoring" [Kasaysayan ng Pagsasalik sa Buumbilang] (PDF). Sa Bos, Joppe W.; Stam, Martijn (mga pat.). Computational Cryptography, Algorithmic Aspects of Cryptography, A Tribute to AKL [Kriptograpiyang Komputasyonal, Mga Aspeto ng Algoritmo ng Kriptograpiya, isang Pagpupugay kay AKL]. London Mathematical Society Lecture Notes Series 469 (sa wikang Ingles). Cambridge University Press. pp. 41–77. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 20 Nobyembre 2022.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  85. Mukunth, Vasudevan (10 Setyembre 2015). "Beyond the Surface of Einstein's Relativity Lay a Chimerical Geometry" [Lagpas sa Nakikita sa Relatibidad ni Einstein ay ang Mala-kimerang Heometriya]. The Wire (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 20 Nobyembre 2022.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  86. Wilson, Edwin B.; Lewis, Gilbert N. (Nobyembre 1912). "The Space-Time Manifold of Relativity. The Non-Euclidean Geometry of Mechanics and Electromagnetics" [Ang Manipoldo ng Espasyo-panahon ng Relatibidad. Ang Heometriyang di-Euclides ng Mekanika at Elektromagnetika]. Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences (sa wikang Ingles). 48 (11): 389–507. doi:10.2307/20022840. JSTOR 20022840.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  87. Hanson, Norwood Russell (Nobyembre 1961). "Discovering the Positron (I)" [Pagtuklas sa Positron (I)]. The British Journal for the Philosophy of Science (sa wikang Ingles). The University of Chicago Press. 12 (47): 194–214. doi:10.1093/bjps/xiii.49.54. JSTOR 685207.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  88. Ginammi, Michele (Pebrero 2016). "Avoiding reification: Heuristic effectiveness of mathematics and the prediction of the Ω particle" [Pag-iwas sa pagtatama: Heuristikong pagkamabisa ng matematika at ang prediskyon sa partikulong Ω]. Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics (sa wikang Ingles). 53: 20–27. Bibcode:2016SHPMP..53...20G. doi:10.1016/j.shpsb.2015.12.001.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  89. Bellomo, Nicola; Preziosi, Luigi (22 Disyembre 1994). Modelling Mathematical Methods and Scientific Computation [Mga Kaparaanan sa Pagmomodelong Matematikal at Komputasyong Maagham]. Mathematical Modeling (sa wikang Ingles). Bol. 1. CRC Press. p. 1. ISBN 978-0-8493-8331-1.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  90. Hennig, Christian (2010). "Mathematical Models and Reality: A Constructivist Perspective" [Mga Modelong Matematikal at Realidad: Isang Konstruktibismong Pananaw]. Foundations of Science (sa wikang Ingles). 15: 29–48. doi:10.1007/s10699-009-9167-x. S2CID 6229200.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  91. Frigg, Roman; Hartmann, Stephan (4 Pebrero 2020). "Models in Science" [Mga Modelo sa Agham]. Stanford Encyclopedia of Philosophy (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 17 Nobyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  92. Stewart, Ian (2018). "Mathematics, Maps, and Models" [Matematika, Mapa, at Modelo]. Sa Wuppuluri, Shyam; Doria, Francisco Antonio (mga pat.). The Map and the Territory: Exploring the Foundations of Science, Thought and Reality [Ang Mapa at ang Teritoryo: Paglalakbay sa mga Haligi ng Agham, Kaisipan, at Realidad]. The Frontiers Collection (sa wikang Ingles). Springer. pp. 345–356. doi:10.1007/978-3-319-72478-2_18. ISBN 978-3-319-72478-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  93. 93.0 93.1 Ferreirós, J. (2007). "Ό Θεὸς Άριθμητίζει: The Rise of Pure Mathematics as Arithmetic with Gauss" [Ό Θεὸς Άριθμητίζει: Ang Pag-angat ng Matematikang Puro bilang Aritmetika ni Gauss]. Sa Goldstein, Catherine; Schappacher, Norbert; Schwermer, Joachim (mga pat.). The Shaping of Arithmetic after C.F. Gauss's Disquisitiones Arithmeticae [Ang Paghuhulma sa Aritmetika matapos ang Disquisitiones ARithmeticae ni C.F. Gauss] (sa wikang Ingles). Springer Science & Business Media. pp. 235–268. ISBN 978-3-540-34720-0.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  94. Kuhn, Thomas S. (1976). "Mathematical vs. Experimental Traditions in the Development of Physical Science" [Matematikal vs. Eksperimental na Tradisyon sa Pagdebelop ng Pisikal na Agham]. The Journal of Interdisciplinary History (sa wikang Ingles). The MIT Press. 7 (1): 1–31. doi:10.2307/202372. JSTOR 202372.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  95. Asper, Markus (2009). "The two cultures of mathematics in ancient Greece" [Ang dalawang kultura ng matematika sa sinaunang Gresya]. Sa Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (mga pat.). The Oxford Handbook of the History of Mathematics [Ang Handbook ng Oxford sa Kasaysayn ng Matematika]. Oxford Handbooks in Mathematics (sa wikang Ingles). OUP Oxford. pp. 107–132. ISBN 978-0-19-921312-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  96. Silver, Daniel S. (2017). "In Defense of Pure Mathematics" [Depensa sa Matematikang Puro]. Sa Pitici, Mircea (pat.). The Best Writing on Mathematics, 2016 [Ang mga Pinakamagagandang Kasulatan sa Matematika, 2016] (sa wikang Ingles). Princeton University Press. pp. 17–26. ISBN 978-0-691-17529-4.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  97. Uhden, Olaf; Karam, Ricardo; Pietrocola, Maurício; Pospiech, Gesche (20 Oktubre 2011). "Modelling Mathematical Reasoning in Physics Education" [Pagmomodelo sa Pagdadahilang Matematikal sa Pagtuturo ng Pisika]. Science & Education (sa wikang Ingles). 21 (4): 485–506. Bibcode:2012Sc&Ed..21..485U. doi:10.1007/s11191-011-9396-6. S2CID 122869677.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  98. Lear, Jonathan (1990). Aristotle: the desire to understand [Aristoteles: ang kagustuhang maintindihan] (sa wikang Ingles). Cambridge, Reyno Unido: Cambridge Univ. Press. p. 232. ISBN 9780521347624.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  99. Al-Rasasi, Ibrahim (21 Hunyo 2004). "All is number" [Lahat ay bilang] (PDF) (sa wikang Ingles). King Fahd University of Petroleum and Minerals. Inarkibo mula sa ang orihinal (PDF) noong 28 Disyembre 2014.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  100. Aharon Kantorovich (1 Hulyo 1993). Scientific Discovery: Logic and Tinkering [Maagham na Pagtuklas: Lohika at Pagbubutingting] (sa wikang Ingles). SUNY Press. p. 59. ISBN 978-0-7914-1478-1.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  101. "Theoretical Computer Science" [Teoretikal na Agham Pangkompyuter]. math.mit.edu (sa wikang Ingles).
  102. Hales, Thomas; Adams, Mark; Bauer, Gertrud; Dang, Tat Dat; Harrison, John; Hoang, Le Truong; Kaliszyk, Cezary; Magron, Victor; Mclaughlin, Sean; Nguyen, Tat Thang; Nguyen, Quang Truong; Nipkow, Tobias; Obua, Steven; Pleso, Joseph; Rute, Jason; Solovyev, Alexey; Ta, Thi Hoai An; Tran, Nam Trung; Trieu, Thi Diep; Urban, Josef; Vu, Ky; Zumkeller, Roland (2017). "A Formal Proof of the Kepler Conjecture" [Pormal na Patunay sa Konhetura ni Kepler]. Forum of Mathematics, Pi (sa wikang Ingles). 5: e2. doi:10.1017/fmp.2017.1. hdl:2066/176365. ISSN 2050-5086. S2CID 216912822. Inarkibo mula sa orihinal noong 4 Disyembre 2020.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  103. 103.0 103.1 103.2 Millstein, Roberta (8 Setyembre 2016). "Probability in Biology: The Case of Fitness" [Probabilidad sa Biolohiya: Ang Kaso sa Kakayahan] (PDF). Sa Hájek, Alan; Hitchcock, Christopher (mga pat.). The Oxford Handbook of Probability and Philosophy [Ang Handbook ng Oxford sa Probabilidad at Pilosopiya] (sa wikang Ingles). pp. 601–622. doi:10.1093/oxfordhb/9780199607617.013.27. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 7 Marso 2023.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  104. Bouleau 1999, pp. 282–283.
  105. Bouleau 1999, p. 285.
  106. "1.4: The Lotka-Volterra Predator-Prey Model" [1.4: Ang Modelo ng Kumakain-Kinakain ni Lotka-Volterra]. Mathematics LibreTexts (sa wikang Ingles). 5 Enero 2022. Inarkibo mula sa orihinal noong 29 Disyembre 2022.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  107. Salsburg, David (17 Agosto 1992). "Commentary" [Komentaryo] (PDF). The Use of Statistical Methods in the Analysis of Clinical Studies (sa wikang Ingles). 46: 17.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  108. National Research Council (2003). "8". Beyond the Molecular Frontier: Challenges for Chemistry and Chemical Engineering [Lagpas sa Hinaharap ng Molekula: Mga Hamon sa Kimika at Inhinyerang Pangkimika] (sa wikang Ingles). NAP.edu. pp. 71–73. doi:10.17226/10633. ISBN 978-0-309-16839-7. PMID 25032300.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  109. "Using Mathematical Models to Investigate Planetary Habitability" [Paggamit sa mga Modelong Matematikal upang Maimbestigahan ang Antas ng Pagiging Tirahan ng mga Planeta] (PDF). NASA (sa wikang Ingles).
  110. Zak, Paul J. (2010). Moral Markets: The Critical Role of Values in the Economy [Mga Merkadong Moral: Ang Kritikal na Gampanin ng mga Halaga sa Ekonomiya] (sa wikang Ingles). Princeton University Press. p. 158. ISBN 978-1-4008-3736-6.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  111. Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (Setyembre 2004). Introduction to Choice Theory [Panimula sa Teorya ng Pagpili] (PDF) (sa wikang Ingles).{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  112. "Kondratiev, Nikolai Dmitrievich | Encyclopedia.com". www.encyclopedia.com (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 1 Hulyo 2016.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  113. 113.0 113.1 "Cliodynamics: a science for predicting the future" [Kliodinamika: ang agham para sa prediksyon sa hinaharap]. ZDNET (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 29 Disyembre 2022.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  114. Sokal, Alan; Jean Bricmont (1998). Fashionable Nonsense [Marangyang Kalokohan] (sa wikang Ingles). New York: Picador. ISBN 978-0-312-19545-8. OCLC 39605994.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  115. "Modern Macroeconomic Models as Tools for Economic Policy" [Makroekonomiko bilang mga Kagamitan sa Patakarang Pang-ekonomiya]. Federal Reserve Bank of Minneapolis (sa wikang Ingles).
  116. Beaujouan, Guy (1994). Comprendre et maîtriser la nature au Moyen Age: mélanges d'histoire des sciences offerts à Guy Beaujouan [Pag-unawa at pag-master ng kalikasan sa Middle Ages: mga pinaghalong kasaysayan ng agham na inaalok kay Guy] (sa wikang Pranses). Librairie Droz. p. 130. ISBN 978-2-600-00040-6.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  117. "L'astrologie à l'épreuve : ça ne marche pas, ça n'a jamais marché !" [Sinubukan ang astrolohiya: hindi ito gumagana, hindi ito gumana!]. Afis Science – Association française pour l’information scientifique (sa wikang Pranses). Inarkibo mula sa orihinal noong 29 Enero 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  118. Balaguer, Mark (2016). "Platonism in Metaphysics" [Platonismo sa Metapisika]. Sa Zalta, Edward N. (pat.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (sa wikang Ingles). Metaphysics Research Lab, Stanford University. Inarkibo mula sa orihinal noong 30 Enero 2022.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  119. Borel, Armand (1983). "Mathematics: Art and Science" [Matematika: Sining at Agham]. The Mathematical Intelligencer (sa wikang Ingles). Springer. 5 (4): 9–17. doi:10.4171/news/103/8. ISSN 1027-488X.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  120. 120.0 120.1 Tobies, Renate; Neunzert, Helmut (2012). Iris Runge: A Life at the Crossroads of Mathematics, Science, and Industry [Iris Runge: Buhay sa Salubungan ng Matematika, Agham, at Industriya] (sa wikang Ingles). Springer. p. 9. ISBN 978-3-0348-0229-1.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  121. 121.0 121.1 121.2 Mura, Roberta (Disyembre 1993). "Images of Mathematics Held by University Teachers of Mathematical Sciences" [Mga Imahe ng Matematika na Pinanghahawakan ng mga Guro ng mga Agham Pangmatematika sa mga Pamantasan]. Educational Studies in Mathematics (sa wikang Ingles). 25 (4): 375–85. doi:10.1007/BF01273907. JSTOR 3482762. S2CID 122351146.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  122. Ziegler, Günter M.; Loos, Andreas (2 Nobyembre 2017). Kaiser, G. (pat.). "What is Mathematics?" and why we should ask, where one should experience and learn that, and how to teach it ["Ano ang Matematika?" at bakit natin dapat tanungin yon, saan mararanasan at matutunan ng isa tungkol rito, at paano ito ituturo]. Proceedings of the 13th International Congress on Mathematical Education. ICME-13 Monographs (sa wikang Ingles). Springer. pp. 63–77. doi:10.1007/978-3-319-62597-3_5. ISBN 978-3-319-62596-6.{{cite conference}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  123. Franklin, James (2009). Philosophy of Mathematics [Pilosopiya ng Matematika] (sa wikang Ingles). Elsevier. pp. 104–106. ISBN 978-0-08-093058-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  124. Cajori, Florian (1991) [1893]. A History of Mathematics [Kasaysayan ng Matematika] (sa wikang Ingles). American Mathematical Society. pp. 285–286. ISBN 978-0-8218-2102-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  125. Brown, Ronald; Porter, Timothy (Enero 2000). "The Methodology of Mathematics" [Ang Metodolohiya ng Matematika]. The Mathematical Gazette (sa wikang Ingles). 79 (485): 321–334. doi:10.2307/3618304. JSTOR 3618304. S2CID 178923299. Inarkibo mula sa orihinal noong 23 Marso 2023.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  126. Strauss, Danie (2011). "Defining mathematics" [Pagbibigay-kahulugan sa matematika]. Acta Academica (sa wikang Ingles). 43 (4): 1–28.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  127. Hamami, Yacin (Hunyo 2022). "Mathematical Rigor and Proof" [Kahigpitang Pangmatematika at Patunay] (PDF). The Review of Symbolic Logic (sa wikang Ingles). 15 (2): 409–449. doi:10.1017/S1755020319000443. S2CID 209980693. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 5 Disyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  128. Peterson 1988, p. 4
  129. Perminov, V. Ya. (1988). "On the Reliability of Mathematical Proofs" [Ukol sa Pagtitiwala sa mga Patunay Pangmatematika]. Philosophy of Mathematics (sa wikang Ingles). Revue Internationale de Philosophie. 42 (167 (4)): 500–508.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  130. Davis, Jon D.; McDuffie, Amy Roth; Drake, Corey; Seiwell, Amanda L. (2019). "Teachers' perceptions of the official curriculum: Problem solving and rigor" [Mga pananaw ng mga guro sa opisyal na kurikulum: Pagreresolba sa mga problema at kahigpitan]. International Journal of Educational Research (sa wikang Ingles). 93: 91–100. doi:10.1016/j.ijer.2018.10.002. S2CID 149753721.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  131. Robson, Eleanor (2009). "Mathematics education in an Old Babylonian scribal school" [Pagtuturo sa matematika sa isang matandang paaralang pang-eskriba sa Babilonya]. Sa Robson, Eleanor; Stedall, Jacqueline (mga pat.). The Oxford Handbook of the History of Mathematics [Ang Handbook ng Oxford sa Kasaysayan ng Matematika] (sa wikang Ingles). OUP Oxford. ISBN 978-0-19-921312-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  132. Bernard, Alain; Proust, Christine; Ross, Micah (2014). "Mathematics Education in Antiquity" [Pagtuturo sa Matematika noong Sinaunang Panahon]. Sa Karp, A.; Schubring, G. (mga pat.). Handbook on the History of Mathematics Education [Handbook sa Kasaysayan ng Pagtuturo sa Matematika] (sa wikang Ingles). New York: Springer. pp. 27–53. doi:10.1007/978-1-4614-9155-2_3. ISBN 978-1-4614-9154-5.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  133. Dudley, Underwood (Abril 2002). "The World's First Mathematics Textbook" [Ang Unang Aklat ng Matematika sa Mundo]. Math Horizons (sa wikang Ingles). Taylor & Francis, Ltd. 9 (4): 8–11. doi:10.1080/10724117.2002.11975154. JSTOR 25678363. S2CID 126067145.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  134. Subramarian, F. Indian pedagogy and problem solving in ancient Thamizhakam [Pedagohiya ng India at pagreresolba ng problema sa sinaunang Thamizhakam] (PDF). History and Pedagogy of Mathematics conference (sa wikang Ingles). Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 28 Nobyembre 2022.{{cite conference}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  135. Siu, Man Keung (2004). "Official Curriculum in Mathematics in Ancient China: How did Candidates Study for the Examination?" [Opisyal na Kurikulum sa Matematika ng Sinaunang Tsina: Paano Nag-aaral ang mga Kandidato para sa Pagsusulit?]. How Chinese Learn Mathematics [Paano Natututo ang mga Tsino ng Matematika] (PDF). Series on Mathematics Education (sa wikang Ingles). Bol. 1. pp. 157–185. doi:10.1142/9789812562241_0006. ISBN 978-981-256-014-8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  136. Jones, Phillip S. (1967). "The History of Mathematical Education" [Ang Kasaysayan ng Pagtuturo sa Matematika]. The American Mathematical Monthly (sa wikang Ingles). Taylor & Francis, Ltd. 74 (1): 38–55. doi:10.2307/2314867. JSTOR 2314867.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  137. Schubring, Gert; Furinghetti, Fulvia; Siu, Man Keung (Agosto 2012). "Introduction: the history of mathematics teaching. Indicators for modernization processes in societies" [Panimula: ang kasaysayan ng pagtuturo sa matematika. Mga pantukoy para sa mga proseso ng modernisasyon sa mga lipunan]. ZDM Mathematics Education (sa wikang Ingles). 44 (4): 457–459. doi:10.1007/s11858-012-0445-7. S2CID 145507519.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  138. von Davier, Matthias; Foy, Pierre; Martin, Michael O.; Mullis, Ina V.S. (2020). "Examining eTIMSS Country Differences Between eTIMSS Data and Bridge Data: A Look at Country-Level Mode of Administration Effects" [Pagsisiyasat sa mga Pagkakaibang Pambansa ng eTIMSS sa pagitan ng Datos ng eTIMSS at Datos ng Tulay: Pagtingin sa mga Epekto sa Administrasyon sa Antas ng Bansa]. TIMSS 2019 International Results in Mathematics and Science [Mga Pandaigdigang Resulta sa Matematika at Agham ng TIMSS 2019] (PDF) (sa wikang Ingles). TIMSS & PIRLS International Study Center, Lynch School of Education and Human Development, at International Association for the Evaluation of Educational Achievement. p. 13.1. ISBN 978-1-889938-54-7. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 29 Nobyembre 2022.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  139. Rowan-Kenyon, Heather T.; Swan, Amy K.; Creager, Marie F. (Marso 2012). "Social Cognitive Factors, Support, and Engagement: Early Adolescents' Math Interests as Precursors to Choice of Career" [Mga Salik Kognitibong Panlipunan, Suporta, at Pakikiayon: Mga Interes sa Matematika ng mga Baguntao bilang mga Panimula sa Pagpili sa Tatahaking Karera] (PDF). The Career Development Quarterly (sa wikang Ingles). 60 (1): 2–15. doi:10.1002/j.2161-0045.2012.00001.x. Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 22 Nobyembre 2023.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  140. Luttenberger, Silke; Wimmer, Sigrid; Paechter, Manuela (2018). "Spotlight on math anxiety" [Pagtutok sa pagkabalisa sa matematika]. Psychology Research and Behavior Management (sa wikang Ingles). 11: 311–322. doi:10.2147/PRBM.S141421. PMC 6087017. PMID 30123014.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  141. Cazden, Norman (Oktubre 1959). "Musical intervals and simple number ratios" [Mga pagitang pangmusika at mga simpleng rasyo ng bilang]. Journal of Research in Music Education (sa wikang Ingles). 7 (2): 197–220. doi:10.1177/002242945900700205. JSTOR 3344215. S2CID 220636812.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  142. Budden, F. J. (Oktubre 1967). "Modern mathematics and music" [Modernong matematika at musika]. The Mathematical Gazette (sa wikang Ingles). Cambridge University Press. 51 (377): 204–215. doi:10.2307/3613237. JSTOR 3613237. S2CID 126119711.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  143. Enquist, Magnus; Arak, Anthony (Nobyembre 1994). "Symmetry, beauty and evolution" [Simetriya, kagandahan, at ebolusyon]. Nature (sa wikang Ingles). 372 (6502): 169–172. Bibcode:1994Natur.372..169E. doi:10.1038/372169a0. ISSN 1476-4687. PMID 7969448. S2CID 4310147. Inarkibo mula sa orihinal noong 28 Disyembre 2022.{{cite journal}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  144. Hestenes, David (1999). "Symmetry Groups" [Mga Grupong Simetrikal] (PDF). geocalc.clas.asu.edu (sa wikang Ingles). Inarkibo (PDF) mula sa orihinal noong 1 Enero 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  145. Bender, Sara (Setyembre 2020). "The Rorschach Test" [Ang Pagsubok na Rorschach]. Sa Carducci, Bernardo J.; Nave, Christopher S.; Mio, Jeffrey S.; Riggio, Ronald E. (mga pat.). The Wiley Encyclopedia of Personality and Individual Differences: Measurement and Assessment (sa wikang Ingles). Wiley. pp. 367–376. doi:10.1002/9781119547167.ch131. ISBN 978-1-119-05751-2.{{cite ensiklopedya}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  146. Bradley, Larry (2010). "Fractals – Chaos & Fractals" [Mga Praktal - Kaguluhan & Praktal]. www.stsci.edu (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 7 Marso 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  147. "Self-similarity" [Pagkakamukha]. math.bu.edu (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 2 Marso 2023.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  148. Kissane, Barry (Hulyo 2009). Popular mathematics [Matematikang popular]. Ika-22 Bienyal na Kumperensiya ng The Australian Association of Mathematics Teachers (sa wikang Ingles). Fremantle, Kanlurang Australia: Australian Association of Mathematics Teachers. pp. 125–126. Inarkibo mula sa orihinal noong 7 Marso 2023.{{cite conference}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  149. Steen, L. A. (2012). Mathematics Today Twelve Informal Essays [Labindalawang Impormal na Sanaysay ng Mathematics Today] (sa wikang Ingles). Springer Science & Business Media. p. 2. ISBN 978-1-4613-9435-8.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  150. Pitici, Mircea (2017). The Best Writing on Mathematics 2016 [Ang mga Pinakamagagandang Sulatin sa Matematika ng 2016] (sa wikang Ingles). Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-8560-2.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  151. Monastyrsky 2001, p. 1: "The Fields Medal is now indisputably the best known and most influential award in mathematics."
  152. Riehm 2002, pp. 778–782.
  153. 153.0 153.1 "Fields Medal" [Medalyang Fields]. Maths History (sa wikang Ingles). Inarkibo mula sa orihinal noong 22 Marso 2019.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  154. 154.0 154.1 "Hilbert's Problems: 23 and Math" [Mga Problema ni Hilbert: 23 at Matematika]. Simons Foundation (sa wikang Ingles). 6 Mayo 2020. Inarkibo mula sa orihinal noong 23 Enero 2022.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
  155. 155.0 155.1 "The Millennium Prize Problems" [Ang mga Problema ng Premyo ng Milenyo] (sa wikang eb). Clay Mathematics Institute. Inarkibo mula sa orihinal noong 3 Hulyo 2015.{{cite web}}: CS1 maint: date auto-translated (link) CS1 maint: unrecognized language (link)

Pinagkunan

Magbasa pa

Link sa labas