Teorema ni Pitagoras

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya
Jump to navigation Jump to search
Teorema ni Pitagoras Magkatumbas ang kabuuan ng sukat ng dalawang parisukat sa mga paa (a at b) sa sukat ng parisukat ng gilis (c).

Sa sipnayan, ang teorema ni Pitagoras (Kastila: teorema de Pitágoras, Ingles: Pythagorean theorem) ay isang pangunahing relasyon sa heometriyang Euclidyana ng tatlong gilid ng isang tatsulok na may sihang tadlong. Sinasabi nito na ang parirami ng gilis (ang gilid katapat ng sihang tadlong) ay katumbas ng kabuuan ng parirami ng natitirang dalawang gilid. Maaaring sulatin ang teorema bilang isang ekwasyon na nag-uugnay ng mga haba ng gilid na nag-uugnay ng mga haba ng panig na a, b and c na kadalasang tinatawag na "Ekwasyong Pitagoriko":[1]

kung saan kumakatwan ang "c" sa haba ng gilis at ang "a" at "b" sa mga haba ng natitirang dalawang gilid.

Kahit madalas na pinagtatalunan na may kaalaman na sa teorema bago si Pitagoras,[2][3] ipinangalan ang teorema kay Pitagoras (s. 570–495 BK), isang dalubbilang sa sinaunang Gresya, dahil siya, ayon sa tradisyon, ang ipinalagay na may pinakaunang patibay, ngunit wala itong ebidensya.[4][5][6] May kaunting ebidensya na naintindihan ng mga Babilonyang dalubbilang ang pormula, ngunit halos walang nagpapahiwatig ng paggamit sa isang balangkas-sipnayan.[7][8] Nadiskubre nang magkahiwalay ng mga Mesopotamyang, Indiyanong and Tsinong dalubbilang, at, sa mga ibang pagkakataon, ay nagbigay ng patibay para sa mga kasong espesyal.

Nabigyan ang teorema ng mararaming patibay, marahil na ang pinakamarami para sa anumang teoremang matematiko. Iba't iba ang mga ito, kabilang ang heometrikong patibay at alhebraikong patibay, ilan na pinetsahang libu-libong taon na ang nakalilipas. Maaaring heneralisahin ang teorema sa iba't ibang paraan, kasama na ang mga espasyo na may mas mataas na sukod, mga espasyong di-Euclidyano, sa mga bagay na hindi tatsihang tadlong, at sa katunayan, sa mga bagay na hindi tatsulok talaga, pero mga solido na may n na sukod. Nakaakit ang teoremang Pitagoras ng interes sa labas ng sipnayan bilang simbolo ng sipnayaning kalabuan, kahiwagaan, o kapangyarihang intelektuwal; managana ang mga pagtukoy nito sa panitikan, mga dula, mga musikal, mga kanta, mga selyo, at guhit-larawan.

Patibay ng pag-iibang-ayos[baguhin | baguhin ang batayan]

Ang patibay ng pag-iibang-ayos (i-click para makita ang animasyon)

Naglalaman ang dalawang malaking parisukat na ipinapakita sa pigura ng tig-apat na magkakaparehong tatsulok, at ang pagkakaiba lamang ng dalawang malaking parisukat ay magkaiba ang pagsasaayos ng mga tatsulok. Samakatuwid, magkatumbas dapat ang sukat ng mga puting puwang sa loob ng dalawang parisukat. Nagbubunga ang pag-ekweyt ng sukat ng puting puwang ng teorema ni Pitagoras, Q.E.D.[9]

Ibinibigay ni Heath ang patibay na ito sa kanyang komentaryo sa Proposition I.47 sa Mga Elemento ni Euclid, at ibinabangit ang mga panukala ni Bretschneider at Hankel na posibleng naunawaan ni Pitagoras ang patibay na ito. Mas gusto ni Heath mismo ang ibang panukala para sa Pitagorikong katibayan, pero inaamin sa umpisa pa lamang ng pagtatalakay na "Hindi naglalaman ang Griyegong panitikan na inaarian natin na nagmumula sa unang limang siglo pagkatapos ni Pitagoras ng pahayag na nagbabanggit dito o anumang dakilang heometrikong pagkatuklas mula sa kanya."[10] Lumalaki ang pagdududa ng kamakailang iskolarsip sa anumang papel ni Pitagoras bilang manlilikha ng sipnayan, ngunit tuloy pa rin ang pakikipagtalo tungkol dito.[11]

Iba pang anyo ng teorema[baguhin | baguhin ang batayan]

Kapag tumutukoy ang c sa haba ng gilis at tumutukoy ang a at b sa haba ng dalawa pang panig, maaaring ipahayag ang teorema ni Pitagoras bilang ang ekwasyong Pitagoriko:

Kapag alam ang haba ng a at b, maaaring ikalkula ang c bilang

Kapag alam ang gilis ng c at ng isang panig (a o b), maaaring ikalkula ang haba ng isa pang panig bilang

o

Iniuugnay ng ekwasyong Pitagoriko ang mga panig ng sihang tadlong sa simpleng paraan, kaya kung alam ang haba ng anumang dalawang panig, maaaring hanapin ang haba ng ikatlong panig. Isa pang koralariya ng teorema ay sa anumang sihang tadlong, mas malaki ang gilis kaysa sa isa sa mga iba pang panig, pero mas maliit kaysa sa kanilang kabuuan.

Isang heneralisasyon ng teoremang ito ang batas ng kasinway na nagpapahintulot ng komputasyon ng haba ng anumang panig ng anumang tatsulok, basta nandoon ang haba ng dalawa pang panig at ang anggulo sa gitna nila. Kapag sihang tadlong ang anggulo sa gitna ng iba pang panig, pumapayak ang batas ng kasinway para maging ekwasyong Pitagoriko.

Mga iba pang katibayan ng teorema[baguhin | baguhin ang batayan]

Posible na ang teoremang ito ay mas maraming kilalang katibayan kaysa sa iba (ang batas ng dawaking resiprosidad ay isa pang kalaban para sa karangalan); naglalaman ang aklat na The Pythagorean Proposition ng 370 katibayan.[12]

Katibayan gamit ang magkahawig na tatsulok[baguhin | baguhin ang batayan]

Proof using similar triangles

Nakabatay ang pruwebang ito sa pagkaproporsyonado ng mga panig ng dalawang magkahawig na tatsulok, iyon ay, magkatumbas ang ratio ng anumang dalawang naaayong panig ng magkahawig na tatsulok anuman ang laki ng mga tatsulok.

Ipalagay na kumakatawan ang ABC sa tatsihang tadlong kung saan matatagpuan ang sihang tadlong sa C, tulad ng ipinapakita sa larawan. Ilarawan ang tayog mula sa punto C, at tawagin ang H bilang kanyang sagandaan kasama ang panig AB. Hinahati ng punto H ang haba ng gilis c sa mga bahaging d at e. Magkahawig ang bagong tatsulok ACH sa tatsulok ABC, dahil may mga sihang tadlong sila (ayon sa kahulugan ng tayog), and nakikibahagi sila ng anggulo sa A, ibig sabihin na parehas din ang ikatlong anggulo sa dalawang tatsulok na iminamarka ng θ sa pigura. Sa katulad na pangangatuwiran, magkahawig din ang tatsulok CBH sa ABC. Kinakailangan ng katibayan ng pagkakahawig ng tatsulok ang saligang tatsulok: ang kabuuan ng mga anggulo sa isang tatsulok ay dalawang sihang tadlong, at magkatumbas ito sa saligang agapay. Humahantong ang pagkakahawig ng mga tatsulok sa katumbasan ng mga ratio ng mga naaayon na panig:

Pinapatumbas ng unang resulta ang kasinway ng mga anggulong θ, samantalang pinapatumbas ng ikalawang resulta ang kanilang sinway.

Maaaring isulat ang mga ratio bilang

Nagreresulta ang pagdaragdag ng dalawang katumbasang ito sa

na, pagkatapos ng pagpapayak, ay ipinapahayag ang teorema ni Pitagoras:

Katibayan ni Euclid[baguhin | baguhin ang batayan]

Katibayan sa Mga Elemento ni Euclid

Sa isang balangkas, narito kung paano ang pruweba sa Mga Elemento ni Euclid. Hinahati ang malaking parisukat sa isang kaliwa at isang kanang parisukat. Nabubuo ang isang tatsulok na may kalahating dawak ng kaliwang parihaba. Pagkatapos, may nabubuong tatsulok na may kalahating dawak ng parisukat sa kaliwang banda. Ipinapakita na magkalapat ang dalawang tatsulok na nagpapatunay na parehas ang dawak ng parisukat sa dawak ng kaliwang parihaba.Sumusunod sa argumentong ito ang isang magkatulad na bersyon para sa kanang parihaba at sa natitirang parisukat. Kapag isinama ang dalawang parihaba para ibuo muli ang parisukat sa gilis, parehas ang kanyang dawak sa kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat. Sumusunod ang mga detalye.

Ipalagay na A, B, C ang mga bagtasan ng sihang tadlong na may sihang tadlong sa A. Maglagay ng perpendikular mula A hanggang sa panig katapat ng gilis sa parisukat sa gilis. Ang linyang iyon ay naghahati sa parisukat sa gilis para maging dalawang parihaba, bawat isa na may parehong dawak sa isa sa mga dalawang parisukat sa paa.

Para sa pormal na katibayan, kailangan ng apat na elementaryang lemmata:

  1. Kapag ang dalawang tatsulok ay may dalawang panig ng isang tatsulok na magkatumbas sa dalawang panig ng isa pang tatsulok, bawat isa, at magkatumbas ang mga anggulo na isinama ng mga panig na iyon, magkalapat ang mga tatsulok (panig-anggulo-panig).
  2. Ang dawak ng isang tatsulok ay kalahati ng dawak ng anumang paralelogram na nasa parehas na base at magkapareho ang tayog.
  3. Ang dawak ng parihaba ay magkatumbas sa produkto ng dalawang magkatabing panig.
  4. Ang dawak ng isang parisukat ay magkatumbas sa produkto ng kanyang dalawang panig (sumusunod mula sa 3).

Pagkatapos, kaugnay ang bawat tuktok na parisukat sa isang tatsulok na magkalapat sa isa pang tatsulok na kaugnay naman sa isa sa dalawang parihaba na nagbubuo ng parisukat sa ibaba.[13]

Larawan kasama ang mga bagong linya
Ipinapakita ang dalawang kalapat na tatsulok na kalahati ng dawak ng parihabang BDLK at parisukat na BAGF.

Sumusunod ang katibayan:

  1. Ipalagay na ACB ay isang tatsulok na may sihang tadlong na CAB.
  2. Sa bawat panig na BC, AB, at CA, gumuhit ng mga parisukat, CBDE, BAGF, at ACIH, sa ganoong pagkaayos. Kinakailangan ng pagbuo ng mga parisukat ang mga nakaraang teorema sa Euclid, at nakadepende sa batayang palagay ng pagkaagapay.[14]
  3. Mula sa A, gumuhit ng linyang agapay sa BD at CE. Tadlong ang pagbatas nito sa BC at DE sa K at L, ayon sa pagkabanggit.
  4. Pagsamahin ang CF at AD upang ibuo ang mga tatsulok na BCF at BDA.
  5. Kapwa sihang tadlong ang sihang CAB at BAG; samakatuwid kaguhit ang C, A, at G. Ganito rin para sa B, A, at H.
  6. Kapwa sihang tadlong ang sihang CBD at FBA; samakatuwid magkatumbas ang sihang ABD at sihang FBC, dahil kapwa kabuuan ang dalawa ng tadlong sihang at sihang ABC.
  7. Dahil magkatumbas ang AB sa FB, at magkatumbas ang BD sa BC, sa gayon dapat magkalapat ang tatsulok na ABD sa tatsulok na FBC.
  8. Dahil tuwid na linya ang A-K-L na agapay sa BD, doble ang dawak ng parihabang BDLK ng tatsulok na ABD dahil parehong BD ang kani-kanilang base, at magkapareho ang kanilang tayog na BK, ibig sabihin na isang linyang pareho sa kanilang magkaparehong base na kumokonekta sa mga agapayang linyang BD at AL. (ika-2 lemmata)
  9. Dahil kaguhit ang C sa A at G, dapat doble ang dawak ng parisukat na BAGF sa tatsulok na FBC.
  10. Samakatuwid, magkatumbas dapat ang dawak ng tatsulok BAGF = AB2.
  11. Katulad nito, maaaring ipakita na dapat magkatumbas ang dawak ng parihabang CKLE at ang parisukat ACIH = AC2.
  12. Kapag ipinagsama ang dalawang resulta, AB2 + AC2 = BD × BK + KL × KC
  13. Dahil BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
  14. Samakatuwid, AB2 + AC2 = BC2, dahil parisukat ang CBDE.

Pinapatunayan ng katibayang ito na mahahanap sa Mga Elemento ni Euclid sa Panukalang 47 sa Ika-1 Aklat,[15] na ang dawak ng parisukat sa gilis ay ang kabuuan ng dawak ng dalawa pang parisukat.[16]

Kakaiba ito sa katibayan gamit ang magkahawig na tatsulok na ipinapalagay ay ang katibayan na ginamit ni Pitagoras.[17][18]

Mga katibayan sa panisnisan at pagbabago ng ayos[baguhin | baguhin ang batayan]

Napag-usapan na natin ang katibayang Pitagoriko na isang katibayan sa pagbabago ng ayos. Ipinapayahag ang parehong ideya sa pinakakaliwang animasyon sa ibaba na binubuo ng isang malaking parisukat, panig a + b, na naglalaman ng apat na magkaparehong sihang tadlong. Ipinapakita ang mga tatsulok sa dalawang pagsasaayos, ang una kung saan hindi natatakip ang dalawang parisukat na a2 at b2, at ang ikalawa kung saan hindi nakatakip ang parisukat na c2 . Hindi nagbabago ang dawak ng panlabas na parisukat, at magkapareho ang dawak ng apat na tatsulok sa simula at sa huli, kaya dapat magkatumbas ang mga dawak ng mga itim na parisukat, samakatuwid a2 + b2 = c2.

Ibinibigay ng gitnang animasyon ang ikalawang katibayan sa pagbabago ng ayos. Nabubuo ang isang malaking parisukat na may dawak na c2 mula apat na magkaparehong tadlong sihang na may panig na a, b at c, na kinasya sa isang maliit na parisukat sa gitna. Pagkatapos, nabubuo ang dalawang parihaba na may panig na a at b sa pamamagitan ng paggalaw ng mga tatsulok. Kapag pinagsama ang mas maliit na parisukat sa mga parihaba, nabubuo ang dalawang parisukat na may dawak na a2 at b2, na may parehong dawak dapat sa unang malaking parisukat.[19]

Mayroon ding katibayan ang ikaltong pinakakanang larawan. Nakahati ang mga dalawang parisukat sa itaas tulad ng ipinakita ng mga kulay bughaw at luntian na maaaring ikasya sa parisukat sa ibaba sa gilis – o pasalungat nito maaaring hatiin ang malaking parisuat tulad ng ipinapakita sa mga piraso na nagpupuno ng dalawa pang parisukat. Tinatawag na panisnisan ang ganitong paraan ng paghati sa isang pigura sa mga piraso at ayusin muli para matamo ang isa pang pigura. Ipinapakita nito na magkatumbas ang dawak ng malaking parisukat sa dawak ng dalawang mas maliit na parisukat.[20]

Isang animasyon na nagpapakita ng katibayan sa pamamagitan ng apat na magkakaparehong tatsulok na may tadlong sihang
Isang animasyon na nagpapakita ng isa pang katibayan sa pamamagitan ng pagbabago ng ayos
Isang katibayan gamit ang isang masalimuot na pag-iibang-ayos

Talasanggunian[baguhin | baguhin ang batayan]

  1. Judith D. Sally; Paul Sally (2007). "Chapter 3: Pythagorean triples". Roots to research: a vertical development of mathematical problems. American Mathematical Society Bookstore. pa. 63. ISBN 0-8218-4403-2.
  2. Posamentier, Alfred. The Pythagorean Theorem: The Story of Its Power and Beauty, p. 23 (Prometheus Books 2010).
  3. O'Connor, J J; Robertson, E F (December 2000). "Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics". School of Mathematics and Statistics. University of St. Andrews, Scotland. Nakuha noong 25 January 2017. In this article we examine four Babylonian tablets which all have some connection with Pythagoras's theorem. Certainly the Babylonians were familiar with Pythagoras's theorem.
  4. George Johnston Allman (1889). Greek Geometry from Thales to Euclid (ika-Reprinted by Kessinger Publishing LLC 2005 (na) edisyon). Hodges, Figgis, & Co. pa. 26. ISBN 1-4326-0662-X. The discovery of the law of three squares, commonly called the "theorem of Pythagoras" is attributed to him by – amongst others – Vitruvius, Diogenes Laertius, Proclus, and Plutarch ...
  5. (Heath 1921, Vol I, p. 144): "Though this is the proposition universally associated by tradition with the name of Pythagoras, no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him. The comparatively late writers who attribute it to him add the story that he sacrificed an ox to celebrate his discovery."
  6. According to Heath 1921, Vol I, p. 147, Vitruvius says that Pythagoras first discovered the triangle (3,4,5); the fact that the latter is right-angled led to the theorem.
  7. Neugebauer 1969, p. 36. For a different view, see Dick Teresi (2003). Lost Discoveries: The Ancient Roots of Modern Science. Simon and Schuster. pa. 52. ISBN 0-7432-4379-X., where the speculation is made that the first column of tablet 322 in the Plimpton collection supports a Babylonian knowledge of some elements of trigonometry. That notion is pretty much laid to rest, however, by Eleanor Robson (2002). "Words and Pictures: New Light on Plimpton 322". The American Mathematical Monthly. Mathematical Association of America. 109 (2): 105–120. doi:10.2307/2695324. JSTOR 2695324. (pdf file). The generally accepted view today is that the Babylonians had no awareness of trigonometric functions. See also Abdulrahman A. Abdulaziz (2010). "The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples". arXiv:1004.0025 [math.HO]. §2, p. 7.
  8. Mario Livio (2003). The golden ratio: the story of phi, the world's most astonishing number. Random House, Inc. pa. 25. ISBN 0-7679-0816-3.
  9. Benson, Donald. The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies, pp. 172–173 (Oxford University Press, 1999).
  10. Euclid (1956), pp. 351–352
  11. Huffman, Carl. "Pythagoras". sa Zalta, Edward N. (pat.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2018 Edition)., "It should now be clear that decisions about sources are crucial in addressing the question of whether Pythagoras was a mathematician and scientist. The view of Pythagoras’ cosmos sketched in the first five paragraphs of this section, according to which he was neither a mathematician nor a scientist, remains the consensus."
  12. (Loomis 1968)
  13. See for example Pythagorean theorem by shear mapping, Saint Louis University website Java applet
  14. Jan Gullberg (1997). Mathematics: from the birth of numbers. W. W. Norton & Company. pa. 435. ISBN 0-393-04002-X.
  15. Elements 1.47 by Euclid. Retrieved 19 December 2006.
  16. Euclid's Elements, Book I, Proposition 47: web page version using Java applets from Euclid's Elements by Prof. David E. Joyce, Clark University
  17. Stephen W. Hawking (2005). God created the integers: the mathematical breakthroughs that changed history. Philadelphia: Running Press Book Publishers. pa. 12. ISBN 0-7624-1922-9. This proof first appeared after a computer program was set to check Euclidean proofs.
  18. The proof by Pythagoras probably was not a general one, as the theory of proportions was developed only two centuries after Pythagoras; see (Maor 2007, p. 25)
  19. Alexander Bogomolny. "Pythagorean theorem, proof number 10". Cut the Knot. Nakuha noong 27 February 2010.
  20. (Loomis 1968, p. 113, Geometric proof 22 and Figure 123)