Ekwasyong diperensiyal

Biswalisasyon ng paglipat ng init sa isang kahang pambomba na nilkha sa pamamagitan ng paglutas ng ekwasyong init. Ang init ay panloob na nalilikha sa kaha at lumalamig sa hangganan na nagbibigay ng isang estadong nakapirmeng distribusyong temperatura.

Ang isang tingiring tumbasan, ekwasyong diperensiyal, tumbasan ng pagkakaiba, o pagpapantay ng kaibahan (Ingles: differential equation) ay isang ekwasyon o pagpapantay na pangmatematika na kinasasangkutan ng mga baryable (mga "nagbabago") na katulad ng x o y, pati na ang antas na ikinapagbabago ng mga baryableng iyan. Natatangi ang mga ekwasyon ng pinagkadiperensiyahan sapagkat ang solusyon o kalunasan ng isang ekwasyong pangdiperensiya ay isa mismong tungkuling pangmatematika (punksiyon), sa halip na isang bilang.

Paliwanag

Ang isang ekwasyong diperensiyal ay isang ekwasyon ng matematika para sa isang hindi alam na punsiyon ng isa o maraming mga bariabulo na nag-uugnay sa mga halaga ng mismong punsiyon at mga deribatibo ng iba't ibang mga order. Ang mga ekwasyong diperensiyal ay gumagampan ng isang kilalang papel sa inhinyerya, pisika, ekonomika at iba pang mga disiplina. Ang mga ekwasyong dipeensiyal ay lumilitaw sa maraming mga sakop ng agham at teknolohiya na sa spesipiko ay kapag ang isang relasyong deterministiko na kinasasangkutan ng isang tuloy tuloy na nagbabagong mga kantidad (na minodelo ng mga punsiyon) at mga rate ng pagbabago nito sa espasyo at/o panahon (na inihahayag bilang mga deribatibo) ay alam o pinostulado. Ang mga batas ng mosyon ni Newtoon ay pumapayag sa isa (sa ibinigay na posisyon, belosidad, akselerasyon at iba't ibang mga pwersa na umaasal sa katawan) na ihayag ang mga bariabulong ng dinamiko bilang ekwasyong diperensiyal para sa hindi alam na posisyon ng katawan bilang isang punsiyon ng panahon. Sa ilang mga kaso, ang ekwasyong diperensiyal na ito (na tinatawag na mga ekwasyon ng mosyon) ay maaaring malutas nang hayagan. Ang isang halimbawa ng pagmomodelo ng problemang sa tunay na daigdig gamit ang mga ekwasyong diperensiyal ang pagtukoy ng belosidad ng isang bola na bumabagsak sa hanging na nagsasaalang alang lamang ng grabidad at resistansiya ng hanging. Ang akselerasyon ng bola tungo sa lupa ang akselerasyon sanhi ng grabidad na binawasan ng deselerasyon sanhi ng resistansiya ng hangin. Ang grabidad ay itinuturing na konstante at ang resistansiya ng hangin ay maaaring imodelo bilang proporsiyonal sa belosidad ng bola. Ito ay nangangahulugang ang akselerasyon ng bola na isang deribatibo ng belosidad nito ay nakasalalay sa belosidad. Ang paghahanap ng belosidad bilang isang punsiyon ng panahon ay kinasasangkutan ng paglutas ng isang ekwasyong diperensiyal. Ang mga ekwasyong diperensiyal ay matematikong pinag-aaralan mula sa iba't ibang mga perspektibo na karamihang umuukol sa mga solusyon nito na hanay ng mga punsiyon na sumasapat sa ekwasyon. Ang tanging ang pinakasimpleng mga ekwasyong diperensiyal ang tumatanggap ng mga solusyong ibinigay ng mga hayagang pormula. Gayunpaman, ang ilang mga katangian ng mga solusyon ng isang ibinigay na ekwasyong diperensiyal ay maaaring matukoy nang hindi hahanapin ang eksaktong anyo ng mga ito. Kung isang sapat sa sariling pormula para sa solusyon ay hindi makukuha, ang solusyon ay maaaring numerikal na matantiya gamit ang mga kompyuter. Ang teoriya ng mga sistemang dinamikal ay nagbibigay diin sa analisis na kwalitatibo ng mga sistemang inilalarawan ng mga ekwasyong diperensiyal samantalang ang maraming mga pamamaraang numerikal ay pinaunlad upang matukoy ang mga oslusyon na may isang ibinigay na digri ng pagiging tumpak.

Mga direksiyon ng pag-aaral

Ang pag-aaral ng mga ekwasyong diperensiyal ay isang malawak na larangan sa purong matematika at nilalapat na matematika, pisika, meteorolohiya at inhinyerya. Ang lahat ng mga disiplinang ito ay umuukol sa mga katangian ng mga ekwasyong diperensiyal ng iba't ibang mga uri. Ang purong matematika ay pumopokus sa pag-iral at pagiging walang katulad ng mga solusyon samantalang ang nilalapat na matematika ay nagbibigay diin sa mahigpit na pangangatwiran ng mga paraan para sa mga nagtatantiyang solusyon. Ang mga ekwasyong diperensiyal ay gumagampan ng isang mahalagang papel sa pagmomodelo ng halos bawat prosesong pisikal, teknikal o biolohikal mula sa galaw na pangkalawakan hanggang sa pagdidisenyo ng tulay hanggang sa mga interaksiyon ng mga neuron. Ang mga ekwasyong diperensiyal gaya ng mga ginagamit upang lutasin ang mga problemang tunay na buhay ay maaaring hindi kinakailangang direktang malulutas na ang ibig sabihin ay walang anyong sarado. Bagkus, ang mga solusyon ay maaaring tantiyahin gamit ang mga pamamaraang numerikal. Ang mga matematiko ay nag-aaral rin ng mga solusyong mahina (na umaasa sa mga deribatibong mahina) na mga uri ng mga solusyon na hindi kinakailangang diperensiyable kahit saan. Ang pagpapalawig na ito ay kadalasang kinakailangan para ang mga solusyon ay umiiral at ito ay nagreresulta rin sa mas pisikal na makatwirang mga katangian ng mga solusyon gaya ng posibleng presensiya ng pagkabiglas para sa mga ekwasyon ng uring hiperboliko. Ang pag-aaral ng pagiging matatag ng mga solusyon ng mga ekwasyong diperensiyal ay kilala bilang teoriya ng pagiging matatag.

Nomenklatura

Ang teoriya ng mga ekwasyong diperensiyal ay mahusay na maunlad at ang mga pamamaraang ginagamit upang pag-aralan ang mga ito ay malaking nagbabago sa uri ng ekwasyon.

Ordinaryo at parsiyal

• Ang isang ekwasyong ordinaryong diperensiyal (ODE) ay isang ekwasyong diperensiyal kung saan ang hindi alam na punsiyon ay isang punsiyon ng isang independiyenteng bariabulo. Sa pinakasimpleng anyo, ang hindi alam na punsiyon ay isang may halagang real o kompleks ngunit sa mas pangkalahatang, ito ay maaaring punsiyong may halagang bektor o may halagang matriks. Ito ay tumutugon sa pagsasaalang ng isang sistema ng mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal para sa isang punsiyon.

Ang mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal ay karagdagan pang inuuri ayon sa order ng pinakamataas na deribatibo ng dependiyenteng bariabulo sa respeto ng independiyenteng bariabulo na lumilitaw sa ekwasyon. Ang pinaka mahalagang mga kaso para sa mga aplikasyon ang unang-order at ikalawang-order. Halimbawa, ang ekwasyong diperensiyal ni Bessel na:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0$

(kung saan ang y ang dependiyenteng bariabulo) ay isang ikalawang-order na ekwasyong diperensiyal. Sa klasikong panitikan, ang isang distinksiyon ay ginawa rin sa pagitan ng mga ekwasyong diperensiyal na hayagang nilulutas sa respeto ng pinakamataas na deribatibo at mga ekwasyong diperensiyal sa anyong hindi hayagan.

• Ang isang ekwasyong parsiyal diperensiyal (PDE) ay isang ekwasyong diperensiyal kung saan ang hindi alam na punsiyon ay isang punsiyon ng maraming mga independiyenteng bariabulo at ang ekwasyon ay kinasasangkutan ng mga parsiyal na deribatibo. Ang order ay parehong inilalarawan sa kaso ng mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal ngunit ang karagdagang pag-uuri sa mga ekwasyong eliptiko, hiperboliko at paraboliko ay ng sukdulang kahalagahan. Ang ilang mga ekwasyong parsiyal diperensiyal ay hindi nahuhulog sa anuman sa mga kategoryang ito sa ibabaw ng buong sakop ng mga independiyenteng bariabulo at ang mga ito ay ng uring halo.

Linyar at hindi-linyar

Ang parehong mga ekwasyong ordinaryong diperensiyal at parsiyal diperensiyal ay malawak na inuuri bilang linyar at hindi linyar'.

• Ang isang ekwasyong diperensiyal ay linyar kung ang hindi alam na punsiyon at mga deribatibo nito ay lumilitaw sa kapangyarihang 1 (ang produkto ay hindi pinapayagan) at hindi linyar kung hindi ganito. Ang natatanging katangian ng mga ekwasyong linyar ay ang mga solusyon nito ay bumubuo ng subespasyong affin ng isang angkop na espasyong punsiyon na nagreresulta sa labis na mas maunlad na teoriya ng mga ekwasyong linyar diperensiyal. Ang mga pantay (homogeneous) na ekwasyong linyar diperensiyal ay ang karagdagang pang-ilalim na uri kung saan ang espasyo ng mga solusyon ay isang linyar na subespasyo na nangangahulugang ang suma ng anumang hanay ng mga solusyon o multiple ng mga solusyon ay isa ring solusyon. Ang mga koepisyente ng mga hindi alamn na punsiyon at mga deribatibo nito sa isang ekwasyong linyar diperensiyal ay pinapayag na maging (alam) na mga punsiyon ng independiyenteng bariabulo o mga bariabulo. Kung ang mga koepisyente ito ay mga konstante, kung gayon maaaring salitain ng isa ang isang ekwasyong konstanteng koepisyenteng linyar na diperensiyal.

• May labis na ilang mga pamamaraan ng eksaktong paglutas ng mga ekwasyong hindi linyar na diperensiyal. Ang mga alam ay tipikal na nakasalalay sa ekwasyong may partikular na mga simetria. Ang mga ekwasyong hindi linyar diperensiyal ay maaaring magpakita ng labis na komplikadong pag-aasal sa loob ng pinalawig na mga interbal ng panahon na katangian ng teoriya ng kaguluhan. Kahit ang mga pundamental na tanong ng pag-iral, pagiging walang katulad at pagiging mapapalawig ng mga solusyon para sa mga ekwasyong hindi linyar diperensiyal at ang pagiging mahusay-na-itinaghal ng mga problemang inisyal at halagang hangganan para sa mga hindi linyar na PDE ay mga mahihirap na problema at ang resolusyon ng mga ito sa mga espesyal na kaso ay itinuturing na mahalgang pagsulong sa teoriyang matematikal. Ang mga ekwasyong linyar diperensiyal ay kadalasang lumilitaw bilang mga aproksimasyon sa mga ekwasyong hindi linyar. Ang mga aproksimasyong ito ay tanging balido sa ilalim ng itinakdang mga kondisyon. Halimbawa, ang ekwasyong harmonikong osilador ay isang aproksimasyon sa ekwasyong hindi linyar na pendulum na balido para sa maliit na amplitudong mga osilasyon.

Mga halimbawa

Sa unang pangkat ng mga halimbawa, hayaang ang u na maging isang hindi alam na punsiyon ng x at ang c at ω ay mga alam na konstante.

• Ang hindi pantay na unang order na konstanteng koepisyenteng ekwasyong ordinaryong diperensiyal:

${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

• Pantay na ikalawang order na linyar na ordinaryong diperensiyal na ekwasyon:

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$

• Pantay na ikalawang order na linyar na konstanteng koepisyenteng ordinaryong diperensiyal na ekwaysong naglalarawan ng harmonikong osilador:

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+\omega ^{2}u=0.$

• Hindi pantay na unang order na hindi linyar na ordinaryong diperensiyal na ekwasyon:

${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

• Ikalawang order na hindi linyar na ordinaryong diperensiyal na ekwasyong naglalarawan ng pendulum ng habang L:

$L{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+g\sin u=0.$

Sa sumunod na pangkat ng mga halimbawa, ang hindi alam na punsiyong u ay nakasalalay sa dalawang mga bariabulong x at t o x at y.

• Pantay na unang order na linyar parsiyal diperensiyal na ekwasyon:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+t{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

• Pantay na ikalawang order na linyar na konstanteng koepisyenteng parsiyal diperensiyal na ekwasyon ng uring eliptiko na ekwasyong Laplace:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0.$

• Ikatlong order na hindi linyar na parsiyal diperensiyal na ekwasyon na ekwasyong Korteweg–de Vries:

${\frac {\partial u}{\partial t}}=6u{\frac {\partial u}{\partial x}}-{\frac {\partial ^{3}u}{\partial x^{3}}}.$

Mga kaugnay na konsepto

• Ang isang ekwasyong antalang diperensiyal (DDE) ay isang ekwasyon para sa isang punsiyon ng isang baribaulo na karaniwang tinatawag na panahon kung saan ang deribatibo ng punsiyon sa isang panahon ay ibinigay sa mga termino ng mga halaga ng punsiyon sa mas maagang mga panahon.

• Ang isang ekwasyong stokastikong diperensiyal (SDE) ay isang ekwasyon kung saan ang hindi alam na kantidad ay isang prosesong stokastiko at ang ekwasyon ay kinasasangkutan ng isang alam na mga prosesong stokastiko halimbawa, ang prosesong Wiener sa kaso ng mga ekwasyong dipusyon.

• Ang isang ekwasyong diperensiyal alhebraiko (DAE) ay isang ekwasyong diperensiyal na binubuo ng mga terminong diperensiyal at alhebraiko na ibinigay sa anyong hindi hayagan.

Koneksiyon sa mga ekwasyong diperensiya

Ang teoriya ng mga ekwasyong diperensiyal ay malapit na kaugnay ng teoriya ng mga ekwasyong diperensiya kung saan ang mga koordinado ay kumukuha lamang mga halagang diskreto at ang relasyon ay kinasasangkutan ng mga halaga ng hindi alam na punsiyon o mga punsiyon at mga halaga sa malapit na mga koordinado. Maraming mga pamamaraan upang kwentahin ang mga solusyong numerikal ng mga ekwasyong diperensiyal o pag-aaral ng mga katangian ng mga ekwasyong diperensiyal ay kinasasangkutan ng aproksimasyon ng solusyon ng isang ekwasyong diperensiyal sa solusyon ng isang tumutugong ekwasyong diperensiya.

Unibersalidad ng deskripsiyong matematikal

Maraming mga batas pundamental ng pisika at kimika ay maaaring ipormula bilang mga ekwasyong diperensiyal. Sa biolohiya at ekonomika, ang mga ekwasyong diperensiyal ay ginagamit upang imodelo ang pag-aasal ng mga sistemang komplikado. Ang teoriyang matematiko ng mga ekwasyong diperensiyal ay unang pinaunlad kasama ng mga agham kung saan ang mga ekwasyon ay nagmula at ang mga resulta ay nakanap ng aplikasyon. Gayunpaman, ang iba't ibang mga problema na minsang nagmumula sa medyo natatanging mga larangang pang-agham ay maaaring magpalitaw ng katulad na mga ekwasyong diperensiyal. Sa tuwing ito ay nangyayari, ang teoriyang matematiko sa lokod ng mga ekwasyon ay maaaring makita bilang nagpapaisang prinsipyo sa likod ng iba't ibang mga phenomena. Bilang halimbawa, isaalang alang ang paglaganap ng liwanag at tunog sa atmospero at ng mga alon sa ibabaw ng isang tubigan. Ang lahat ng mga ito ay maaaring maglarawan ng parehong ikalawang order na ekwasyong parsiyal diperensiyal na ekwasyong alon na pumapayag sa ating isipin ang liwanag at tunog bilang mga anyo ng alon na labis na katulad ng mga pamilyar na alon ng tubig. Ang konduksiyon ng init na teoriya na pinaunlad ni Joseph Fourier ay pinangangasiwaan ng isa pang ikalawang order na ekwasyong parsiyal dipeensiyal na ekwasyon ng init. Lumalabas na maraming mga prosesong dipusyon bagaman tila iba ay nilalarawan ng parehong ekwasyon. Halimbawa, ang ekwasyong Black–Scholes sa pinansiya ay kaugnay ng ekwasyon ng init.

Mga kilalang ekwasyong diperensiyal

Pisika at inhinyerya

• Ang Ikalawang Batas ni Newton sa dinamika (mekanika)
• Ang Ekwasyong Euler–Lagrange sa klasikong mekanika
• Ang Mga ekwasyon ni Hamilton sa klasikong mekanika
• Ang Pagkabulok na radioaktibo sa pisikang nukleyar
• Ang batas ng paglamig ni Newton sa termodinamika
• Ang ekwasyong alon
• Ang Mga ekwasyon ni Maxwell sa elektromagnetismo
• Ang ekwasyon ni Laplace na naglalarawan ng mga punsiyong harmoniko
• Ang ekwasyon ni Poisson
• Ang Mga ekwasyong field ni Einstein sa pangkalahatang relatibidad
• Ang ekwasyong Schrödinger sa mekanikang quantum
• Ang ekwasyong heodesiko
• Ang Mga ekwasyong Navier-Stokes sa dinamikang pluido
• Ang ekwasyong dipusyon sa mga prosesong stokastiko
• Ang Mga ekwasyong Cauchy-Riemann sa kompleks na analisis
• Ang ekwasyong Poisson-Boltzmann sa dinamikang molekular
• Ang mga ekwasyon ng mababaw na tubig
• Ang ekwasyong unibersal diperensiyal
• Ang taga-akit na Lorenz na ang mga solusyon ay nagpapakita ng magulong daloy.

Biolohiya

• Ang ekwasyong Verhulst na biolohikal na paglago ng populasyon
• Ang modelong von Bertalanffy na biolohikal na paglago ng indibidwal
• Ang Mga ekwasyong Lotka-Volterra na biolohikal na dinamika ng populasyon
• Ang Dinamikang replikador na maaaring matagpuan sa teoretikal na biolohiya
• Ang modelong Hodgkin-Huxley na naglalarawan ng mga aksiyon potensiyal ng neuron

Ekonomika

• Black-Scholes
• Modelong paglagong eksohenoso
• Modelong paglagong Malthusian
• Modelong Sethi