Kwadratikong pormula

Sa mababang alhebra, ang kwadratikong pormula ay isang pormula na nagbibigay ang (mga) solusyon sa isang kwadratikong ekwasyon. May iba pang mga paraan upang malutas ng kwadratikong ekwasyon sa halip na kwadratikong pormula, kagaya ng paktorisasyon (tuwirang paktorisasyon, pagpapangkat, metodo ng AC), kompletuhin ang parisukat, mag-grap ng punsiyon, at iba pa.

Para sa isang pangkalahatan kwadratikong ekwasyon na may porma

$ax^{2}+bx+c=0$

kung saan ang x ay kumakatawan ng isang baryable, at a, b at c ng mga konstante kung saan a ≠ 0, ang kwadratikong pormula ay:

$$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\ \$$

kung saan ang simbolo ± (plus at minus) ay ipahiwatig na ang kwadratikong ekwasyon ay may dalawang solusyon. Hiwalay na isinulat, sila ay naging:

$x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\quad {\text{at}}\quad x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Ang bawa't solusyon ay tinatawag din itong sero (o ugat) ng kwadratikong ekwasyon. Heometriko na, mga ugat na ito ay kumakatawan ng mga halagang x kung saan anumang parabola, na tahasang sinabi bilang y = ax² + bx + c, tumatawid ng x-axis at y-axis.

Ang kwadratikong pormula hindi lamang ay pormula na ibibigay ang mga sero ng anumang parabola, kundi pati na rin ay maaari magamit upang makilala ang axis na simetriya ng parabola, at ang bilang ng mga tunay na sero na kwadratikong ekwasyon.

Mga katumbas na pagbabalangkas

Maisusulat din ang kwadratikong pormula ng

$x={\frac {-b}{2a}}\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}\ \ ,$

na masimplehin bilang

$x=-{\frac {b}{2a}}\pm {\sqrt {\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}}}\ \ .$

Ang ekspresyon sa loob na pariugat ay tinatawag ang diskriminante.

Ang bersyon na ito ay padaliin ang paghahanap para sa mga ugat gamit ang kalkulador.

Maginhawa din ang nasa itaas na bersyon kapag kasali ang mga komplikadong ugat, kung saan ang ekspresyon sa labas na pariugat ay tunay na bahagi at ang ekspresyon sa loob na pariugat ay imahinaryong bahagi:

$x=-{\frac {\ b}{2a}}\pm i{\sqrt {{\Big |}\left({\frac {\ b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {c}{a}}{\Big |}}}\ \ .$

Pamamaraan ni Muller

Isang hindi gaanong kilalang pamamaraan, na ginagamit sa pamamaraan ni Muller at na mahinahanap gamit ang mga pormula ni Vieta, ibibigay ang mga parehong ugat gamit ang ekwasyon:

$x={\frac {-2c}{b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}}={\frac {2c}{-b\mp {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}}\ \ .$

Mga pagbabalangkas batay sa mga alternatibong parametrisasyon

Ang karaniwang parametrisasyon ng kwadratikong ekwasyon ay

$ax^{2}+bx+c=0\ \ .$

Ang ilang mga mapagkukunan, lalo na ang mga mas matanda, ay gumagamit ng mga alternatibong parametrisasyon ng kwadratikong ekwasyong bilang

$ax^{2}-2b_{1}x+c=0$, kung saan $b_{1}=-b/2$,

o

$ax^{2}+2b_{2}x+c=0$, kung saan $b_{2}=b/2$.

Ibibigay ng mga alternatibong parametrisasyon na ito ang bahagyang magkakaibang mga porma para sa solusyon, pero kung hindi ay katumbas ng karaniwang parametrisasyon.

Pangkasaysayan ng pag-unlad

Mga pinakamaagang pamamaraan para sa paglutas ng mga kwadratikong ekwasyon ay heometriko. Mga taga-Babiloniang pangkuneiporme ng tableta ay may mga problema na nababawasan sa paglutas ng mga kwadratikong ekwasyon. Ang taga-Ehiptong Papyrus na Berlin, mula sa Gitnang Kaharian (2050 BK–1650 BK), ay may paglutas para sa kwadratikong ekwasyon na may dalawang termino.

Gumamit ang Griyegong matematikong Euclides (c. 300 BK) ng mga heometrikong pamamaraan upang malutas ang mga kwadratikong ekwasyon sa Aklat II ng kanyang Mga Elemento, isang maimpluwensiyang tratado. Lumitaw ang mga patakaran para sa mga kwadratikong ekwasyong sa Intsik na aklat na Siyam na mga Kabanata Tungkol sa Sining Matematika c. 200 BK. Sa kanyang tratadong Aritmetika, ang Griyegong matematikong Diophantus (c. 250 AD) ay naglutas ng mga kwadratikong ekwasyon gamit ang pamamaraan mas makikilala na alhebraiko kaysa sa heometrikong alhebra ni Euclides. Ibibigay ng kanyang paglutas ang isa lang ang ugat, kahit na ang parehong mga ugat ay positibo.

Tahasang inilarawan ng Indiyanong matematikong Brahmagupta (597–668 AD) ang kwadratikong pormula sa kanyang tratado Brāhmasphuṭasiddhānta na inilathala noong 628 AD, pero na nakasulat sa mga salita sa halip na simbolo. Kanyang paglutas ng kwadratikong ekwasyong ax² + bx = c ay kaya: "Sa ganap na halaga pinarami nang apat pinarami nang [koepisyente ng] kuwadrado, idagdag ang parirami ng [koepisyente ng] gitnang termino; ang pariugat na ito, binawasan ng [koepisyente ng] gitnang terminong, hinati ng dobleng [koepisyente ng] kuwadrado ay halaga." Ito ay katumbas na:

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ \ .$

Ang ika-9 na dantaong Persiyanong matematikong Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī ay naglutas ng mga kwadratikong ekwasyon gamit ang alhebra. Sa unang pagkakataon nakuha, ni Simon Stevin noong 1594, ang kwadratikong pormula na sumasaklaw sa lahat na mga kaso. Noong 1637 si René Descartes ay i-publish ang La Géométrie na may mga natatanging kaso ng kwadratikong pormula tulad ng alam natin ngayon.

Makakabuluhang gamit

Heometrikong kabuluhan

Tungkol sa koordinadong heometriya, ang parabola ay kurba na ang mga (x, y)-koordinado ay inilarawan ng isang ikadalawang digri ng polinomial, yan ay, anumang ekwasyon na may porma:

$y=p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\ \ ,$

kung saan kumatawan ang p ng ikadalawang digri ng polinomial at a₀, a₁, at a₂ ≠ 0 ay mga konstante ng koepisyente na ang mga subscript ay tumutugma sa digri ng mga kaukulang termino. Heometriko, tinutukoy ng kwadratikong pormula ang mga punto sa x-axis kung saan ang parabola ay tumatawid ng axis. At saka, kung ang kwadratikong pormula ay isinasaalang-alang bilang dalawang termino,

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}$

linilitaw ang axis na simetriya bilang linya x = −b/2a. Ng ibang termino, √b² − 4ac/2a, ay ibibigay ang distansya sa pagitan ng mga sero at axis na simetriya, kung saan kumakatawan ang simbolong plus ng distansya sa kanan, at ang simbolong minus ng distansya sa kaliwa.

Kung binabawasan ang distansiya na ito sa sero, ang halagang axis na simetriya ay ang x-halaga ng lamang sero, yan ay, ang kwadratikong ekwasyon ay may isa lang posibleng solusyon. Alhebraiko na, sabihin ito na √b² − 4ac = 0, o lamang b² − 4ac = 0 (kung saan ang kaliwang bahagi ay tinatawag na diskriminante). Ito ay isa sa tatlong kaso, kung saan ipinapahiwatig ng diskriminante ang bilang ng mga sero ng parabola. Kung ang diskriminante ay positibo, ang distansya ay di-sero, at may dalawang solusyon. Gayunman, kung ang diskriminante ay negatibo, ang distansya ay imahinaryo – o ilang maramihang ng komplikadong yunit i, kung saan i = √−1 – at ang mga sero ng parabola ay mga komplikadong bilang. Ang mga komplikadong ugat ay mga komplikadong konhugado, kung saan tunay na bahagi ng mga komplikadong ugat ay halagang axis na simetriya. May walang tulay na halagang x saan ang parabola ay tumatawid ng x-axis.

Dimensiyonal analisis

Kung mga konstante a, b, at/o c ay may mga yunit, kung gayon ang mga yunit na x dapat katumbas ng mga yunit na b/a, dahil sa pangangailangan na ax² at bx ay sumasang-ayon tungkol sa kanilang mga yunit. At saka, sa parehong lohika, ang mga yunit ng c dapat katumbas ng mga yunit na b²/a, napapatunayan nang walang paglutas para sa x. Ito ay isang malakas na kagamitan para sa pagpapatunay na isang kwadratikong ekspresyon ng mga pisikal na bilang ay ginawa tama, bago ang paglutas.

Tingnan din

• Pangunahing teorema ng alhebra
• Mga pormula ni Vieta