Brahmagupta

Brahmagupta
Brahmagupta
Kapanganakan	c. 598 CE; Bhillamala, Gurjaradesa, kaharian ng Chavda ; (makabagong-panahong Bhinmal, Rajasthan, Indya)
Kamatayan	c. 668 CE (edad c. 69–70); Ujjain, Imperyong Chalukya ; (makabagong-panahong Madhya Pradesh, Indya)
Kilala sa	Patakaran para sa pakalkula na may Sero; Makabagong sistemang pamilang; Teorema ni Brahmagupta; Identidad ni Brahmagupta; Problema ni Brahmagupta; Identidad ni Brahmagupta–Fibonacci; Pormulang interpolasyon ni Brahmagupta; Pormula ni Brahmagupta;
	Karera sa agham
Larangan	Astronomiya, matematika

Ang Brahmagupta (c. 598 – c. 668 CE) ay isang matematiko at astronomo mula sa Indiya. Siya ang may-akda ng dalawang maagang gawa sa matematika at astronomiya: ang Brāhmasphuṭasiddhānta (BSS, "tama na itinatag ang doktrina ng Brahma", na may petsang 628), isang teoretikal na sanaysay, at ang Khandakhadyaka ("nakakain sa kagat", na may petsang 665), isang mas praktikal na teksto.

Noong 628 CE, unang inilarawan ni Brahmagupta ang grabidad bilang isang puwersang atraksyon, at ginamit ang terminong "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" sa Sanskrito upang ilarawan ito.^[1]^[2] Binigay din sa kanya ang kredito sa unang malinaw na paglalarawan ng pormulng kuwadratiko (ang solusyon ng ekwasyong kuwadratiko) sa kanyang pangunahing gawa, ang Brāhma-sphuṭa-siddhānta.

Buhay at karera

Si Brahmagupta, ayon sa kanyang sariling pahayag, ay isinilang noong 598 CE. Ipinanganak sa Bhillamāla sa Gurjaradesa^[3] (modernong-panahong Bhinmal sa Rajasthan, Indiya) sa panahon ng paghahari ng pinuno ng dinastiyang Chavda na si Vyagrahamukha. Anak siya ni Jishnugupta at Hindu ang relihiyon, partikular, isang Shaivite.^[4] Nanirahan at nagtrabaho siya doon para sa isang magandang bahagi ng kanyang buhay. Tinawag siya ni Prithudaka Svamin, isang komentarista sa kalaunan, bilang Bhillamalacharya, ang guro mula sa Bhillamala.^[5]

Ang Bhillamala ay ang kabisera ng Gurjaradesa, ang pangalawang pinakamalaking kaharian ng Kanlurang Indiya, na binubuo ng timog Rajasthan at hilagang Gujarat sa modernong-panahong Indiya. Ito rin ang sentro ng pag-aaral para sa matematika at astronomiya. Naging astronomo siya ng paaralang Brahmapaksha, isa sa apat na pangunahing paaralan ng astronomiyang Indiyano sa panahong ito. Pinag-aralan niya ang limang tradisyonal na mga Siddhanta sa astronomiya ng Indiya gayundin ang mga gawa ng iba pang mga astronomo kabilang sina Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin at Vishnuchandra.^[5]

Noong taong 628, sa edad na 30, binuo niya ang Brāhmasphuṭasiddhānta ("pinahusay na sanaysay ng Brahma") na pinaniniwalaang isang binagong bersyon ng natanggap na Siddhanta ng paaralang Brahmapaksha ng astronomiya. Sinasabi ng mga iskolar na isinama niya ang napakaraming orihinalidad sa kanyang rebisyon, na nagdagdag ng malaking halaga ng bagong materyal. Binubuo ang aklat ng 24 na mga kabanata na may 1008 na mga taludtod sa ārya meter. Ang isang magandang panukala dito ay astronomiya, subalit naglalaman din ito ng mga pangunahing kabanata sa matematika, kabilang ang alhebra, heometriya, trigonometriya at algoritmiya, na pinaniniwalaang naglalaman ng mga bagong pananaw dahil mismo kay Brahmagupta.^[5]^[6]^[7]

Nang maglaon, lumipat si Brahmagupta sa Ujjaini, Avanti,^[5] isang pangunahing sentro ng astronomiya sa gitnang Indiya. Sa edad na 67, binuo niya ang kanyang susunod na kilalang akda na Khanda-khādyaka, isang praktikal na manwal ng astronomiya ng Indiya sa kategoryang karana na nilalayong gamitin ng mga mag-aaral.^[5]

Namatay si Brahmagupta noong 668 CE, at ipinapalagay na namatay siya sa Ujjain.

Mga gawa

Binubuo ni Brahmagupta ang mga sumusunod na sanaysay:

Brāhmasphuṭasiddhānta,^[8] binubuo noong 628 CE.
Khaṇḍakhādyaka,^[8] binubuo noong 665 CE.
Grahaṇārkajñāna,^[8] (na inilarawan sa isang manuskrito)

Pagtanggap

Ang mga pagsulong sa matematika ni Brahmagupta ay isinagawa pa ni Bhāskara II, isang angkan na inapo sa Ujjain, na inilarawan si Brahmagupta bilang ganaka-chakra-chudamani (ang hiyas ng pangkat ng mga matematiko). Nagsulat si Prithudaka Svamin ng mga komentaryo sa parehong kanyang mga gawa, na gumagawa ng mahihirap na talata sa mas simpleng wika at nagdagdag ng mga ilustrasyon. Nagsulat sina Lalla at Bhattotpala noong ika-8 at ika-9 na dantaon ng mga komentaryo sa Khanda-khadyaka.^[6] Patuloy na naisulat ang karagdagang mga komentaryo noong ika-12 dantaon.^[5]

Ilang dekada pagkatapos ng kamatayan ni Brahmagupta, sumailalim ang Sindh sa Kalipatong Arabe noong 712 CE. Ipinadala ang mga ekspedisyon sa Gurjaradesa ("Al-Baylaman sa Jurz", ayon sa mga Arabong historyador). Tila nalipol ang kaharian ng Bhillamala subalit tinanggihan ng Ujjain ang mga pag-atake. Tumanggap ang hukuman ni Kalipa Al-Mansur (754–775) ng isang embahada mula sa Sindh, kabilang ang isang astrologo na tinatawag na Kanaka, na nagdala (maaaring naisaulo) ng mga astronomikal na teksto, kabilang ang mga gawa mula kay Brahmagupta. Isinalin ang mga teksto ni Brahmagupta sa Arabe ni Muḥammad ibn Ibrāhīm al-Fazārī, isang astronomo sa korte ni Al-Mansur, sa ilalim ng mga pangalang Sindhind at Arakhand. Ang isang agarang resulta ay ang pagkalat ng sistemang desimal na ginamit sa mga teksto. Sumulat ang matematikong si Al-Khwarizmi (800–850 CE) ng isang teksto na tinatawag na al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind (Pagdaragdag at Pagbabawas sa Aritmetikong Indiyano), na isinalin sa Latin noong ika-13 danton bilang Algorithmi de numero indorum. Sa pamamagitan ng mga tekstong ito, kumalat sa buong mundo ang sistemang desimal na numero at ang mga algoritmo ni Brahmagupta para sa aritmetika. Nagsulat din si Al-Khwarizmi ng sarili niyang bersyon ng Sindhind, iginuhit ang bersyon ni Al-Fazari at isinasama ang mga elementong Ptolemaiko. Malawakang kumalat ang materyal na astronomiko ng Indiya sa loob ng maraming siglo, kahit na nakapasok sa mga medyebal na tekstong Latin.^[9]^[10]^[11]

Tinawag ng mananalaysay ng agham na si George Sarton si Brahmagupta na "isa sa mga pinakadakilang siyentipiko sa kanyang lahi at pinakadakila sa kanyang panahon."^[5]

Mathematika

Alhebra

Ibinigay ni Brahmagupta ang solusyon ng pangkalahatang linyar na ekwasyon sa ika-labingwalong kabanata ng Brahmasphuṭasiddhānta,

Ang pagkakaiba sa pagitan ng rupas, kapag binaligtd at hinati sa pagkakaiba ng [koepisiyente] ng [mga di-alam], ay ang hindi alam sa ekwasyon. Ang rupas ay [ibawas sa gilid] sa ibaba ng kung saan ang parisukat at ang hindi alam ay dapat ibawas.

na isang solusyon para sa ekwasyong $bx + c = dx + e$ kung saan ang rupas ay tumutukoy sa mga di-nagbabagong $c$ at $e$ . Ang ibinigay na solusyon ay katumbas ng $x = e - c / b - d$ . Nagbigay pa siya ng dalawang katumbas na solusyon sa pangkalahatang ekwasyong kuwadratiko:

18.44. Bawasan ng gitnang [bilang] ang pariugat ng rupas na pinarami ng apat na beses ng parisukat at nadagdagan ng parisukat ng gitnang [bilang]; hatiin ang natitira sa dalawang beses sa parisukat. [Ang resulta ay] ang gitnang [bilang]. 18.45. Anuman ang pariugat ng rupas na pinarami ng parisukat [at] nadagdagan ng parisukat ng kalahati ng hindi alam, nabawasan na sa kalahati ng hindi alam [at] hatiin [ang natitira] sa parisukat nito. [Ang resulta ay] hindi alam.

na, ayon sa pagkakabanggit, mga solusyon para sa ekwasyon na $ax 2 + bx = c$ katumbas ng,

x={\frac {\pm {\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}

at

x={\frac {\pm {\sqrt {ac+{\tfrac {b^{2}}{4}}}}-{\tfrac {b}{2}}}{a}}

Aritmetika

Ang apat na pangunahing operasyon (pagdaragdag, pagbabawas, pagpaparami, at paghahati) ay kilala sa maraming kalinangan bago si Brahmagupta. Ang kasalukuyang sistemang ito ay batay sa sistemang pamilang na Hindu–Arabe at unang lumitaw sa Brāhmasphuṭasiddhānta. Inilalarawan ng Brahmagupta ang pagpaparami sa sumusunod na paraan:

Inuulit ang multiplikando tulad ng tali ng baka, kung gaano kadalas mayroong mga integrante na bahagi sa multiplikador at inuulit ang pagpaparami nito sa pamamagitan nila at ang mga produkto ay dinadagdag ng magkasama. Multiplikasyon ito. O inuulit ng maraming beses ang multiplikando hanggang mayroong bahagi sa multiplikador.^[12]

Sero

Ang Brahmasphuṭasiddhānta ni Brahmagupta ay ang unang aklat na nagbibigay ng mga panuntunan para sa mga manipulasyon sa aritmetika na nalalapat sa sero at sa mga negatibong numero.^[13] Ang Brāhmasphuṭasiddhānta ay ang pinakaunang kilalang teksto na tinatrato ang sero bilang isang numero sa sarili nito, sa halip na isang pamalit na tambilang na kumakatawan sa isa pang numero tulad ng ginawa ng mga taga-Babilonya o bilang isang simbolo para sa kakulangan ng dami tulad ng ginawa ni Ptolomeo at ng mga Romano. Sa ika-labingwalong kabanata ng kanyang Brāhmasphuṭasiddhānta, inilalarawan ni Brahmagupta ang mga operasyon sa mga negatibong numero. Una niyang inilalarawan ang pagdaragdag at pagbabawas,

18.30. [Ang kabuuan] ng dalawang positibo ay positibo, ng dalawang negatibong negatibo; ng isang positibo at isang negatibo [ang kabuuan] ay ang kanilang pagkakaiba; kung sila ay pantay ito ay sero. Ang kabuuan ng negatibo at sero ay negatibo, [na] ng positibo at sero na positibo, [at iyon] ng dalawang sero na sero.
[...]
18.32. Ang negatibong binawasan ng sero ay negatibo, ang isang positibong [binawasan ng sero] ay positibo; ang sero [binawasan ng sero] ay sero. Kapag ang isang positibo ay ibawas mula sa isang negatibo o isang negatibo mula sa isang positibo, pagkatapos ito ay dapat idagdag.

Nagpatuloy siya sa paglalarawan ng pagpaparami,

18.33. Ang produkto ng isang negatibo at isang positibo ay negatibo, ng dalawang negatibong positibo, at ng mga positibong positibo; ang produkto ng sero at negatibo, ng sero at positibo, o ng dalawang sero ay sero.

Subalit ang kanyang paglalarawan ng paghahati sa pamamagitan ng sero ay naiiba sa ating modernong pag-unawa:

18.34. Ang positibong hinati sa positibo o negatibong hinati sa negatibo ay positibo; ang sero na hinati sa sero ay sero; ang positibong hinati sa negatibo ay negatibo; ang negatibong hinati sa positibo ay negatibo [din]. 18.35. Ang isang negatibo o isang positibong hinati sa sero ay mayroong [sero] na iyon bilang panghati nito, o sero na hinati sa isang negatibo o isang positibo [may negatibo o positibong iyon bilang panghati nito]. Ang parisukat ng isang negatibo o positibo ay positibo; [ang parisukat] ng sero ay sero. Yaong kung saan [ang parisukat] ay ang parisukat ay [nito] parisukat na ugat [o pariugat].

Dito sinabi ni Brahmagupta na 0/0 = 0 at para sa tanong ng $a$ /0 kung saan $a$ ≠ 0 hindi niya pinasyahan ito. Ang kanyang mga alituntunin para sa aritmetika sa mga negatibong numero at sero ay medyo malapit sa makabagong pag-unawa, maliban na sa modernong matematika dibisyon sa pamamagitan ng sero ay naiwang hindi natukoy.

Heometriya

Pormula ni Brahmagupta

Ang pinakatanyag na resulta ni Brahmagupta sa heometriya ay ang kanyang pormula para sa kuwadilaterong sikliko. Dahil sa haba ng mga gilid ng anumang kuwadilaterong sikliko, nagbigay si Brahmagupta ng tinatayang at eksaktong pormula para sa lugar ng pigura,

12.21. Ang tinatayang lugar ay ang produkto ng mga kalahati ng mga kabuuan ng mga gilid at magkasalungat na gilid ng isang tatsulok at isang kuwadralatero. Ang tumpak na [sukat] ay ang pariugat mula sa produkto ng mga kalahati ng mga kabuuan ng mga gilid na pinaliit ng [bawat] gilid ng kuwadralatero.

Kung ibinigay ang mga haba $p$ , $q$ , $r$ at $s$ ng isang kuwadralatero sikliko, ang tinatayang sukat ay $p + r / 2 \cdot q + s / 2$ habang, hinahayaan ang $t = p + q + r + s / 2$ . ang eksakstong sukat ay

\sqrt (t - p)(t - q)(t - r)(t - s)

.

Bagaman hindi tahasang sinabi ni Brahmagupta na sikliko ang mga kuwadralatero, maliwanag sa kanyang mga tuntunin na ito ang kaso. Ang pormula ni Heron ay isang espesyal na kaso ng pormula na ito at maaari itong makuha sa pamamagitan ng pagtatakda ng isa sa mga panig na katumbas ng sero.

Mga tatsulok

Inilaan ni Brahmagupta ang isang malaking bahagi ng kanyang gawa sa heometriya. Nagbibigay ang isang teorama ng mga haba ng dalawang piraso na ang base ng tatsulok ay nahahati sa altitud nito:

12.22. Ang base ay nabawasan at nadagdagan ng pagkakaiba sa pagitan ng mga parisukat ng mga gilid na hinati ng base; kapag hinati sa dalawa sila ang tunay na mga piraso [o segmente]. Ang [altitud] na patayo ay ang pariugat mula sa parisukat ng isang gilid na pinaliit ng parisukat ng piraso nito.

Kaya ang haba ng dalawang segmente ay $1 / 2 (b \pm c 2 - a 2 / b)$

Teorama ni Brahmagupta

Patuloy ni Brahmagupta,

12.23. Ang pariugat ng kabuuan ng dalawang produkto ng mga gilid at magkasalungat na gilid ng isang hindi pantay na kuwadralatero ay ang dayagonal. Ang parisukat ng diyagonal ay pinaliit ng parisukat ng kalahati ng kabuuan ng base at tuktok; ang pariugat ay ang [altitud] na patayo.

Kaya, sa isang "hindi pantay" na kuwadralaterong sikliko (iyon ay, isang trapesoid na isosseles), ang haba ng bawat diyagonal ay $\sqrt pr + qs$ .

Pi

Sa taludtod 40, nagbibigay siya ng mga halaga ng $π$ ,

12.40. Ang diyametero at ang parisukat ng radyo [bawat isa] na pinarami ng 3 ay [ayon sa pagkakabanggit] ang praktikal na sirkumperensya at ang lugar [ng isang bilog]. Ang tumpak na [mga halaga] ay ang mga pariguat mula sa mga parisukat ng dalawang iyon na pinarami ng sampu.

Kaya ginagamit ni Brahmagupta ang 3 bilang isang "praktikal" na halaga ng $π$ , at ${\sqrt {10}}\approx 3.1622\ldots$ bilang isang "tumpak" na halaga ng $π$ , na may kamalian na mas mababa sa 1%.

Maagang konsepto ng grabidad

Unang inilarawan ni Brahmagupta noong 628 ang grabidad bilang isang puwersang atraksyon, gamit ang katawagang "gurutvākarṣaṇam (गुरुत्वाकर्षणम्)" upang ilarawan ito:^[1]^[2]

Ang lupa sa lahat ng panig nito ay pareho; lahat ng tao sa lupa ay tumayo nang tuwid, at lahat ng mabibigat na bagay ay nahuhulog sa lupa sa pamamagitan ng batas ng kalikasan, dahil likas na katangian ng mundo ang umakit at panatilihin ang mga bagay, dahil likas na katangian ng tubig ang dumaloy ... Kung nais ng isang bagay na mas malalim kaysa sa lupa, hayaang subukan ito. Ang lupa ay ang tanging mababang bagay, at ang mga buto ay palaging bumabalik dito, sa anumang direksyon maaari mong itapon ang mga ito, at hindi kailanman tumaas mula sa lupa.^[14]^[15]^[a]

Astronomiya

Itinuro ni Brahmagupta ang maraming kritisismo sa gawain ng mga karibal na astronomo, at nagpapakita ang kanyang Brāhmasphuṭasiddhānta ng isa sa mga pinakaunang paghahati sa mga matematikong Indiyano. Pangunahing tungkol ang dibisyon sa aplikasyon ng matematika sa pisikal na mundo, sa halip na tungkol sa matematika mismo. Sa kaso ni Brahmagupta, ang mga hindi pagkakasundo ay nagmula sa pagpili ng mga astronomikal na parametro at teorya.^[16] Lumilitaw ang mga kritika sa mga karibal na teorya sa buong unang sampung astronomikal na kabanata at ganap na nakatuon ang ikalabing-isang kabanata sa pagpuna sa mga teoryang ito, bagama't walang mga pagpuna na lumilitaw sa ikalabindalawa at ikalabinwalong kabanata.^[16]

Mga sanggunian

Mga pananda

↑ Ang pinagmulan ng sipi ay sa Al-Biruni's India (c. 1030).^[14]

Mga pagsipi

↑ ^1.0 ^1.1 Pickover, Clifford (2008). Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them (sa wikang Ingles). Oxford University Press. p. 105. ISBN 978-0-19-979268-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^2.0 ^2.1 Sen, Amartya (2005). The Argumentative Indian (sa wikang Ingles). Allen Lane. p. 29. ISBN 978-0-7139-9687-6.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Sachau, Edward C. (1910), Alberuni's India, Volume I (sa wikang Ingles), London: Kegan Paul, Trench and Trubner, p. 153, Brahma-siddhānta, so-called from Brahman, composed by Brahmagupta, the son of Jishnu, from the town of Bhillamāla between Multān and Anhilwāra, 16 yojana from the latter place (?){{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Bhattacharyya 2011: "Brahmagupta, one of the most celebrated mathematicians of the East, indeed of the world, was born in the year 598 CE, in the town of Bhillamala during the reign of King Vyaghramukh of the Chapa Dynasty." (sa Ingles)
↑ ^5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Gupta 2008.
↑ ^6.0 ^6.1 Bhattacharyya 2011.
↑ Bose, Sen & Subbarayappa 1971.
↑ ^8.0 ^8.1 ^8.2 Pingree, David E. (1970–1994). Pingree's Census of the Exact Sciences in Sanskrit (sa wikang Ingles). APS. pp. A4, 256 ff., A5, 239–240 et passim.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Avari 2013.
↑ Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (2 Nobyembre 2006), Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period (sa wikang Ingles), Cambridge University Press, pp. 302–303, ISBN 978-0-521-02887-5{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ van Bladel, Kevin (28 Nobyembre 2014), "Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace", sa Asad Q. Ahmed; Benham Sadeghi; Robert G. Hoyland (mga pat.), Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone (sa wikang Ingles), BRILL, pp. 257–294, ISBN 978-90-04-28171-4{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Brahmagupta; Bhāskara II (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara (sa wikang Ingles). Sinalin ni Henry Thomas Colebrooke. John Murray. p. 319.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero (sa wikang Ingles). London: Allen Lane/The Penguin Press. pp. 68–75. Bibcode:2000tnti.book.....K.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^14.0 ^14.1 Alberuni's India (sa wikang Ingles). London: Kegan Paul, Trench, Trübner & Co., 1910. Electronic reproduction. Vol. 1 and 2. New York: Columbia University Libraries, 2006. p. 272. Nakuha noong 3 Hunyo 2014.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ Kitāb al-Jawharatayn al-'atīqatayn al-mā'i'atayn min al-ṣafrā' wa-al-bayḍā': al-dhahab wa-al-fiḍḍah كتاب الجوهرتين العتيقتين المائعتين من الصفراء والبيضاء : الذهب والفضة (sa wikang Arabe). Cairo: Maṭba'at Dār al-Kutub wa-al-Wathā'iq al-Qawmīyah bi-al-Qāhirah. 2004. pp. 43–44, 87. OCLC 607846741.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
↑ ^16.0 ^16.1 Plofker (2007, pp. 418–419)

Bibliograpiya

Avari, Burjor (2013), Islamic Civilization in South Asia: A history of Muslim power and presence in the Indian subcontinent (sa wikang Ingles), Routledge, ISBN 978-0-415-58061-8{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971), A Concise History of Science in India (sa wikang Ingles), New Delhi: Indian National Academy of Science, pp. 95–97, inarkibo mula sa orihinal noong Disyembre 8, 2015{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
Bhattacharyya, R. K. (2011), "Brahmagupta: The Ancient Indian Mathematician", sa B. S. Yadav; Man Mohan (mga pat.), Ancient Indian Leaps into Mathematics (sa wikang Ingles), Springer Science & Business Media, pp. 185–192, ISBN 978-0-8176-4695-0{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Gupta, Radha Charan (2008), "Brahmagupta", sa Selin, Helaine (pat.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, pp. 162–163, ISBN 978-1-4020-4559-2{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
Plofker, Kim (2007), "Mathematics in India", sa Victor Katz (pat.), The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (sa wikang Ingles), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11485-9{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

Karagdagang pagbabasa

Setsuro Ikeyama (2003). Brāhmasphuṭasiddhānta (Chapter 21) of Brahmagupta with Commentary of Pṛthūdhakasvāmin, critically edited with English translation and notes (sa wikang Ingles). INSA.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)
David Pingree. Census of the Exact Sciences in Sanskrit (CESS) (sa wikang Ingles). American Philosophical Society. A4, p. 254.
Shashi S. Sharma. Mathematics & Astronomers of Ancient India (sa wikang Ingles). Pitambar Publishing. ISBN 9788120914216.

[16] Ang pinagmulan ng sipi ay sa Al-Biruni's India (c. 1030).^[14]

[Oxford-1] 1.0 ^1.1 Pickover, Clifford (2008). Archimedes to Hawking: Laws of Science and the Great Minds Behind Them (sa wikang Ingles). Oxford University Press. p. 105. ISBN 978-0-19-979268-9.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Sen-2] 2.0 ^2.1 Sen, Amartya (2005). The Argumentative Indian (sa wikang Ingles). Allen Lane. p. 29. ISBN 978-0-7139-9687-6.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Sachau2013-3] Sachau, Edward C. (1910), Alberuni's India, Volume I (sa wikang Ingles), London: Kegan Paul, Trench and Trubner, p. 153, Brahma-siddhānta, so-called from Brahman, composed by Brahmagupta, the son of Jishnu, from the town of Bhillamāla between Multān and Anhilwāra, 16 yojana from the latter place (?){{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Bhattacharyya-4] Bhattacharyya 2011: "Brahmagupta, one of the most celebrated mathematicians of the East, indeed of the world, was born in the year 598 CE, in the town of Bhillamala during the reign of King Vyaghramukh of the Chapa Dynasty." (sa Ingles)

[FOOTNOTEGupta2008-5] 5.0 ^5.1 ^5.2 ^5.3 ^5.4 ^5.5 ^5.6 Gupta 2008.

[FOOTNOTEBhattacharyya2011-6] 6.0 ^6.1 Bhattacharyya 2011.

[FOOTNOTEBoseSenSubbarayappa1971-7] Bose, Sen & Subbarayappa 1971.

[:0-8] 8.0 ^8.1 ^8.2 Pingree, David E. (1970–1994). Pingree's Census of the Exact Sciences in Sanskrit (sa wikang Ingles). APS. pp. A4, 256 ff., A5, 239–240 et passim.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[FOOTNOTEAvari2013-9] Avari 2013.

[YoungLatham2006-10] Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (2 Nobyembre 2006), Religion, Learning and Science in the 'Abbasid Period (sa wikang Ingles), Cambridge University Press, pp. 302–303, ISBN 978-0-521-02887-5{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[van_Bladel-11] van Bladel, Kevin (28 Nobyembre 2014), "Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace", sa Asad Q. Ahmed; Benham Sadeghi; Robert G. Hoyland (mga pat.), Islamic Cultures, Islamic Contexts: Essays in Honor of Professor Patricia Crone (sa wikang Ingles), BRILL, pp. 257–294, ISBN 978-90-04-28171-4{{citation}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Brahmagupta18172-12] Brahmagupta; Bhāskara II (1817). Algebra, with Arithmetic and Mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara (sa wikang Ingles). Sinalin ni Henry Thomas Colebrooke. John Murray. p. 319.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[13] Kaplan, Robert (1999). The Nothing That Is: A Natural History of Zero (sa wikang Ingles). London: Allen Lane/The Penguin Press. pp. 68–75. Bibcode:2000tnti.book.....K.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Alberuni-14] 14.0 ^14.1 Alberuni's India (sa wikang Ingles). London: Kegan Paul, Trench, Trübner & Co., 1910. Electronic reproduction. Vol. 1 and 2. New York: Columbia University Libraries, 2006. p. 272. Nakuha noong 3 Hunyo 2014.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[15] Kitāb al-Jawharatayn al-'atīqatayn al-mā'i'atayn min al-ṣafrā' wa-al-bayḍā': al-dhahab wa-al-fiḍḍah كتاب الجوهرتين العتيقتين المائعتين من الصفراء والبيضاء : الذهب والفضة (sa wikang Arabe). Cairo: Maṭba'at Dār al-Kutub wa-al-Wathā'iq al-Qawmīyah bi-al-Qāhirah. 2004. pp. 43–44, 87. OCLC 607846741.{{cite book}}: CS1 maint: date auto-translated (link)

[Plofker_418-419-17] 16.0 ^16.1 Plofker (2007, pp. 418–419)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[a]

[16]