Pagpaparami (matematika)

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya
(Idinirekta mula sa Multiplikasyon)
Jump to navigation Jump to search
Magreresulta sa 12 holen ang 4 na bag na may tig-tatlong holen sa loob (o sa sulating matematikal, 4 × 3 = 12).

Sa matematika, ang pagpaparami[1] o multiplikasyon (mula Kastila multiplicación) ay isa sa apat na pangunahing operasyon ng aritmetika. Sinisimbolo ito ng tandang pamparami (multiplication sign) - madalas sa anyong pa-ekis na "×", ngunit maaari ring isulat bilang isang gitnang tuldok na "" (ginagamit kadalasan sa mataas na paaralan) o di kaya'y isang asterisko, "*" (ginagamit sa mga wikang pamprograma at kompyuter). Tinatawag na produkto (mula Ingles product) ang resulta ng operasyong ito.

Isang animasyon para sa ekspresyong 2 × 3 = 6.

Maaaring itulad ang proseso ng pagpaparami ng mga buumbilang (whole number) sa paulit-ulit na pagdaragdag - ibig sabihin, ang pagpaparami sa dalawang bilang ay katulad lamang ng paulit-ulit na pagdagdag ng paparamihin (Ingles: multiplicand) sa sarili nito nang ilang beses (Ingles: multiplier). Ang dalawang bilang na ito ay magkasamang tinatawag na salik (Ingles: factors).

      

Bilang halimbawa, maaari ring ikalkula ang (binabásang "apat pinarami nang 3 beses") sa paraang ito:

      

Sa ekspresyong ito, ang 4 at 3 ay ang mga salik, samantalang 12 naman ang naging produkto nito.[2]

Maaaring magpalit-puwesto ang mga salik - ibig sabihin, sa halimbawa sa itaas, 12 pa rin ang magiging produkto nito kahit na mauna ang 3 sa 4:

      

Isang representasyon ng 4 × 5 = 20. May 20 parisukat sa loob nitong parihaba. Ang bawat parisukat ay may tig-iisang yunit sa parehong gilid.

Nangangahulugan ito na hindi mahalaga ang puwesto sa pagpaparami. Dahil rito, nabibigyang-kahulugan gamit ng isang sistematikong paglalahat (generalization) nito ang pagpaparami sa mga buumbilang (kasama na ang mga negatibong bilang), tuwirang bilang (rational numbers) at mga hatimbilang (fractions), at maging ng mga tunay na bilang.

Representasyon para sa lawak ng isang telang 4.5m × 2.5m, na nagreresulta sa 11.25m2. Maaari ring tingnan ito bilang 4½ × 2½ = 11¼.

Maaaring ilarawan ang pagpaparami gamit ang pagbibilang sa mga bagay na nakaayos sa isang parihaba (para sa mga buumbilang) dahil ang paghahanap sa sagot sa lawak (area) nito () ay katumbas sa kabuuang bilang ng mga bagay na nasa loob nito (basta ba napunan ang lahat ng hilera't hanay). Dahil sa katangian ng pagpapalit-puwesto, hindi naapektuhan ang magiging resulta ng paghahanap sa lawak ng isang parihaba.

Sa pagsukat, ang produkto ng dalawang sukat ay isang bagong sukat. Halimbawa, ang pagpaparami sa dalawang haba ng isang parihaba ay magreresulta sa lawak nito. Inaanalisa ang mga ganitong produkto sa pag-aanalisang dimensiyonal.

Ang operasyon na kabaligtaran ng pagpaparami ay ang paghahati. Halimbawa, dahil 12 ang produkto ng 4 at 3, kung hahatiin ang 12 sa 3, magreresulta ito sa 4. Sa ganito ring pananaw, kung hahatiin sa 3 ang pinarami ng 3, babalik lang ito sa bilang nito bago ito pinarami (o sa sulating matematikal, ).

Binibigyang-kahulugan din ang pagpaparami para sa iba pang mga uri ng bilang, tulad ng mga komplikadong bilang (complex number) at sa mga basal (abstract) na bagay tulad ng mga baskagan (matrix). Di tulad ng ibang mga bilang, mahalaga para sa ilan sa mga uring ito ang ayos ng bilang.

Notasyon at terminolohiya[baguhin | baguhin ang batayan]

Sa aritmetika, madalas isinusulat ang pagpaparami gamit ang tandang pamparami sa anyong pa-ekis na "" sa pagitan ng dalawang termino. Tinatawag ang ayos na ito bilang nakalinyang ayos (Ingles: infix notation). Halimbawa:

("dalawa pinarami nang tatlong beses ay anim")
("tatlo pinarami nang apat na beses ay labindalawa")
("anim pinarami nang limang beses ay tatlumpu")

Bukod sa ekis, ginagamit din ang ibang mga simbolo para ipakita ang operasyon:

  • Madalas ginagamit sa mataas na paaralan, dahil na rin maaari itong ikalito sa baryabol na na madalas gamitin sa alhebra, ang gitnang tuldok na "⋅".

Bagamat madalas ginagamit ang mga simbolong ito, may iba ring mga notasyon ang ginagamit:

  • Sa alhebra, ang pagpaparami sa mga ekspresyong may baryabol ay isinusulat nang magkadikit sa isa't isa (tulad ng at ). Sa Ingles, kilala itong implied multiplication.[3] Maaari rin itong gamitin para sa mga kantidad (quantity) na nasa loob ng mga panaklong (hal. o para sa "lima pinarami nang 2 beses"), dahil maaari itong ipagkamali sa mga bunin (function), na nakasulat sa anyong . Maaaring magkaproblema rin sa tamang ayos ng operasyon (PEMDAS) ang mga nakasulat sa ganitong anyo.
  • Sa pagpaparaming pambektor (vector multiplication), may pinagkaiba ang mga simbolong ekis at gitnang tuldok. Sinisimbolo ng ekis ang produktong pa-krus (cross product) ng dalawang bektor, na nagreresulta sa isa pang bektor, samantalang nagreresulta naman sa isang iskala (scalar) ang pagkuha sa produktong patuldok ng dalawang bektor.

Ginagamit ng karamihan ng mga wikang pamprograma ang asterisko ("*") upang maipakita ang operasyon ng pagpaparami. Ito'y dahil limitado lamang sa isang pangkat ng mga karakter (character sets) tulad ng ASCII at EBCDIC ang mga kompyuter simula pa noon - di kasama kalimitan sa pangkat na iyon ang parehong mga simbolong ekis at tuldok, ngunit malimit na isinasali ang asterisko sa mga ito. Una itong ginawa ng wikang FORTRAN.

Tinatawag na salik (Ingles: factor) ang mga bilang na gagamitin sa operasyong ito. Ang bilang na paparamihin ay tinatawag na paparamihin (Ingles: multiplicand), samantalang tinutukoy naman ng beses (Ingles: multiplier) ang bilang pag-ulit na gagawin sa paparamihin. Madalas na itinuturing na ang pangalawang bilang ay ang beses at ang una naman ay ang paparamihin,[4] pero minsan, ang beses muna ang mauuna kaysa sa paparamihin.[2] Mapa-anuman ang gamitin, dahil sa katangiang nagpapalit-puwesto, di masyado mahalaga ang pagtukoy sa mga ito, liban lamang sa ilang mga algoritmo ng pagpaparami tulad ng mahabaang pagpaparami (long multiplication), kaya naman madalas na itinuturing na magkasingkahulugan ang dalawang ito at ng "salik."[5] Samantala, sa alhebra, tinatawag na katuwang (coefficient) ang beses ng isang ekspresyong alhebraiko (tulad ng sa ).

Ang resulta ng pagpaparami ay tinatawag na produkto (mula Ingles product). Isang hakbang (multiple) ang produkto ng parehong mga salik. Halimbawa, produkto ng 3 at 5 ang 15, at parehong hakbang ito ng 3 at 5.

Mga sanggunian[baguhin | baguhin ang batayan]

  1. "pagpaparami". Diksiyonaryo.ph. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.
  2. 2.0 2.1 Devlin, Keith (Enero 2011). "What Exactly is Multiplication?" [Ano ba Talaga ang Pagpaparami?] (sa wikang Ingles). Mathematical Association of America. Tinago mula sa orihinal noong Mayo 27, 2017. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020. With multiplication you have a multiplicand (written second) multiplied by a multiplier (written first) (Sa [operasyon ng] pagpaparami, paparamihin ng beses (unang isinusulat) ang paparamihin (pangalawang isinusulat).)
  3. Announcing the TI Programmable 88! [Inaanunsyo ang Tl Programmable 88!] (PDF) (sa wikang Ingles). Texas Instruments. 1982–1983. Tinago (PDF) mula sa orihinal noong Agosto 3, 2017. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020.CS1 maint: date format (link)
  4. Crewton Ramone. "Multiplicand and Multiplier" [[Ang] Paparamihin at [ang] Beses] (sa wikang Ingles). Crewton Ramone's House of Math. Tinago mula sa orihinal noong Oktubre 26, 2015. Nakuha noong Nobyembre 7, 2020..
  5. Chester Litvin (2012). Advance Brain Stimulation by Psychoconduction [Mataas na Pagpapasigla sa Utak gamit ng Sikokonduksiyon]. mga pa. 2–3, 5–6. ISBN 978-1-4669-0152-0 – sa pamamagitan ng/ni Google Book Search.


Matematika Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.