Paktoryal

Mga paktorial na nakapipili; pinapantay ang mga saysay sa notasyong pang-agham
$n$	$n!$
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5040
8	40320
9	362880
10	3628800
11	39916800
12	479001600
13	6227020800
14	87178291200
15	1307674368000
16	20922789888000
17	355687428096000
18	6402373705728000
19	121645100408832000
20	2432902008176640000
25	1.551121004×10²⁵
50	3.041409320×10⁶⁴
70	1.197857167×10¹⁰⁰
100	9.332621544×10¹⁵⁷
450	1.733368733×10¹⁰⁰⁰
1000	4.023872601×10²⁵⁶⁷
3249	6.412337688×10¹⁰⁰⁰⁰
10000	2.846259681×10³⁵⁶⁵⁹
25206	1.205703438×10¹⁰⁰⁰⁰⁰
100000	2.824229408×10⁴⁵⁶⁵⁷³
205023	2.503898932×10^1000004
1000000	8.263931688×10^5565708
10¹⁰⁰	10^{10^{101.9981097754820}}

Sa matematika, lalo na sa kombinatorika, ang paktoryal (Ingles at Kastila: factorial) ng isang di-negatibong buumbilang $n$ , itinala ng $n!$ , ay pagpaparami ng lahat ng mga positibong buumbilang menos kaysa o katumbas sa $n$ . Ang paktoryal ng $n$ din ay katumbas sa bunga ng $n$ at kasunod na mas maliit na paktoryal:

{\begin{aligned}n!&=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\&=n\times (n-1)!\\\end{aligned}}

Halimbawa,

5!=5\times 4!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.

Ang saysay ng 0! ay 1, ayon sa kumbensyon para sa isang basyong bunga (Ingles: empty product).

Nadiskubre ang mga paktoryal ng maraming sinaunang kultura, lalo na sa matematikang Indiyano sa kanonikong mga obra ng panitikan ng Hainismo, at ng mga mistikong Hudyo sa Talmudikong aklat Sefer Yetzirah. Hinahanap ang operasyong paktoryal sa maraming sangay ng matematika, lalo na sa kombinatorika, kung saan ang pinakabasal na paggamit ay bumibilang ng mga posibleng natatanging sekwensiya — mga permutasyon — ng $n$ natatanging bagay: may $n!$ . Sa pagsusuring matematikal, ginagamit ang mga paktoryal sa mga makapangyarihang serye para sa eksponensiyal na punsiyon at ibang mga punsiyon, at saka may mga aplikasyon sa alhebra, teorya ng bilang, teorya ng probabilidad, at agham pangkompyuter.

Nilinang ang karamihan ng matematika ng punsiyong paktoryal noong huling bahagi ng ika-18 at unang bahagi ng ika-19 na mga siglo. Idinudulot ng aproksimasyon ni Stirling ang tamang aproksimasyon ng mga paktoryal ng mga malalaking bilang, at ipinapakita na lumalaki mas mabilis kaysa sa eksponensiyal na paglaki. Inilalarawan ng pormula ni Legendre ang mga eksponente ng mga pangunahing bilang sa pangunahing paktorisasyon ng mga paktoryal, at nagagamit para sa bumilang ng pinal na mga sero ng mga paktoryal. Nagamit nina Daniel Bernoulli at Leonhard Euler ang paktoryal na punsiyon sa patuloy na punsiyon ng mga komplikadong bilang, kundi sa mga negatibong mga buumbilang, sa madaling salita, ang punsiyong gama (Ingles: gamma function, o $Γ$ ).

Ang maraming ibang sikat na mga punsiyon at mga sekwensiya ng bilang ay malapit na kaugnay sa mga paktoryal. Mga ito ay sumasaklaw ng koepisyenteng binomyal, ng dobleng paktoryal, ng paktoryal na nagbabawas, ng primoryal, at ng subpaktoryal. Ang mga implementasyon ng paktoryal na punsiyon ay karaniwan na ginagamit para sa ipakita ang mga estilo sa pagpoprograma sa kompyuter, at sinasaklaw sa mga kalkulador pang-agham.